MAPA DE NAVEGACIÓN
Ejemplos
Objetivo
General
Exponentes y Radicales
Índice
Objetivos y Teoría
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivo 9
Objetivo 10
Objetivo 11
Objetivos
específicos
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivo 9
Objetivo 10
Objetivo 11
•
•
•
•
•
Objetivo General
Objetivos Específicos
Ejemplos
Ejercicios Resueltos
Problemas Propuestos y soluciones a los problemas propuestos
ÍNDICE
ÍNDICE
EJEMPLOS
•
•
•
•
•
•
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3
OBJETIVO 4
OBJETIVO 5
OBJETIVO 6
•
•
•
•
•
OBJETIVO 7
OBJETIVO 8
OBJETIVO 9
OBJETIVO 10
OBJETIVO 11
ÍNDICE
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás
ejercicios y problemas en los que apliques
las leyes de los exponentes y de los
radicales.
ÍNDICE
Objetivos específicos:
1. Recordarás la notación exponencial, el
concepto de base y el de exponente.
2. Recordarás la ley para multiplicar factores con
la misma base y exponentes enteros.
3. Recordarás el significado de los exponentes
negativos y del exponente nulo.
4. Recordarás la ley para dividir factores con la
misma base y exponentes enteros.
5. Recordarás la ley para elevar una potencia a
otra potencia.
ÍNDICE
Objetivos específicos:
6. Recordarás las leyes para elevar un producto o un
cociente a una potencia.
7. Recordarás la notación de radicales.
8. Recordarás el significado de los exponentes
fraccionarios.
9. Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores
con exponentes fraccionarios o con radicales.
10. Racionalizarás expresiones algebraicas con radicales
en el denominador.
11. Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las
leyes de los exponentes y los radicales.
ÍNDICE
Objetivo 1.
• En la notación exponencial un número
cualquiera se descompone en dos
factores:
 Un
número
decimal
cuyo
valor
generalmente está entre 1 y 10, y
 Una potencia de 10, es decir 10 elevado a
la n (o sea, 10n).
• El número final es el producto de ambos
factores.
En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se
escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un
número natural, significa:
b  b  b  b  ...  b
n
( n factores)
En esta expresión, al número b se le conoce como la
base y al número n como el exponente.
Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el
exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a la dos,
o tres al cuadrado, y significa:
3  33
2
2
facto res 
Un signo negativo que precede directamente a
una expresión que está elevada a una potencia
tiene el efecto de hacer negativa a toda la
expresión. Entonces,
x
2
significa
 x  x
xx
y no
Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los
Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando x  0
x
x
2
2
siempre será una cantidad positiva mientras que
siempre será una cantidad negativa.
OBJETIVOS
OBJETIVO 1
ejemplos
1.) Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se
observa que
1, 322  1.322  1, 000
, de modo que
1, 322  1.322  10
2.) Para escribir en notación exponencial el número
7,500,000,000, se observa que
7, 500, 000, 000  7.5  1, 000, 000, 000 , por lo que
7, 500, 000, 000  7.5  10
9
3.) Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se
observa que
64,100  6.41  10, 000 , así que
64,100  6.41  10
4
3
1.)
2.)
5  5  5  5  125
3
 2 
(3 factores)
  2   2   2   2   2 
5
 32
(5 factores)
3.)
4.)
1
20
 1  1  1  ...  1
1
2
9
 3 
 3   3 

 


 4 
 4  4 

16
(20 factores)
(2 factores)
1.) Para evaluar
x
2
x 3
si
9
x  33
2
 x  9
2
y luego se tiene
2.) Para evaluar
, se calcula:
x
2
x  3
si
x   3  3
2
9
y luego se tiene
 x  9
2
, se calcula:
Objetivo 2.
• Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de
la misma base, su resultado es la misma base
elevada a una potencia igual a la suma de las
potencias de los factores.
a
m
a
n

a
mn
• En otra palabras, para multiplicar expresiones
exponenciales de la misma base, se conserva la
base común y se suman los exponentes.
OBJETIVOS
OBJETIVO 2
ejemplos
1.)
x x  x
3
5
2.)
3 3  3
3.)
 3a 
2
4
2
3 5
3
24
  3a    3a 
5
 x
25
6
  3a 
7
8
Objetivo 3.
• Para cualquier número real, a, distinto de
cero, y cualquier número natural m:
a
m

1
a
m
• Si a es cualquier número distinto de cero,
entonces:
a 1
0
OBJETIVOS
OBJETIVO 3
ejemplos
1.)
2
3
1

2
2.)
x
4


3
1
x
3.)
4.)
1
222

4

8
1
x x x x
3 1
0
1
x
3

1
1
x
3
1
 x
3
Para entender mejor está última expresión, es
conveniente recordar que para dividir dos números
basta con multiplicar al dividendo por el inverso del
divisor, de modo que
1
1
x
 1
1
x
3
x
3
3
1
1
 x
3
x
5 .)
y
2
3
1

x
1
2
y
3
Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar
1
x
1
2
y
6.)

y
1
x
2
1

y

3
x
3
3
3x 
0

1
3x 
0
1 y

y
3
2
3

1
1
1  y
3

y
3
x
2
1
y
3
Objetivo 4.
• Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la
misma base, su cociente es la misma base
elevada a una potencia igual a la diferencia
entre la potencia del dividendo y la del divisor.
m
a
mn

a
n
a
• Es decir, para dividir expresiones exponenciales
de la misma base, se conserva la base común y
se resta al exponente del dividendo el
exponente del divisor.
OBJETIVOS
OBJETIVO 4
ejemplos
1.)
2.)
3.)
x
7
x
4
 x
 x
74
5 5  5
2
a
7
3
a
4
27
3
5
a
3  ( 4 )
a
1
a
5

1
5
a
5
3  4
Objetivo 5.
• Ley III.- Cuando una potencia de una base
se eleva a otra potencia, el resultado es
un término de la misma base con un
exponente igual al producto de las dos
potencias.
n
m
m n
a   a
• Lo anterior indica que para elevar una
potencia de una base a otra potencia, se
conserva la base y se multiplican los dos
exponentes.
OBJETIVOS
OBJETIVO 5
ejemplos
1.)
2
2.)
x
3.)
5 
3

2
3
2

2
3
6
3 2
 x
5
2
 3  3
6
 x
 64
9
  2   6 
5
12
 244,140, 625

1
x
9
Objetivo 6.
• Ley IV.- Cuando un producto de dos o más
factores se eleva, todo a la vez, a una
potencia, el resultado es el mismo
producto pero con cada factor elevado a la
potencia dada.
m
m m
 ab 
a b
• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la
vez, a una potencia, el resultado es el mismo
cociente pero con el dividendo y el divisor
m
elevados a la potencia dada.
m
a
 
b

a
b
m
OBJETIVOS
OBJETIVO 6
ejemplos
1.) Para elevar el producto 3 xy
a la cuarta potencia, es decir para obtener  3 xy 
se eleva a la cuarta potencia cada uno de los
factores y se tiene
 3 xy 
4
3
4
x
4
y
4
2.) Para elevar el cociente
 81x y
4
4
2
5
al cuadrado, es decir para obtener
2
 
5
2
se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor
y queda
2
2
4
2
2
 

   2
25
5
5
4
3.) Para elevar el cociente al cubo,
es decir para obtener ,  2 a 
3
2a
3b


3
b


se elevan al cubo el dividendo y el
3
3
divisor para obtener  2 a   2 a 

 
3
3
b


 3b 
y, como tanto en el numerador como en el
denominador se tienen productos, se
aplica la ley para elevar un producto a una
potencia y queda
 2a 
3
 3b 
3

2 a
3
3
3
3
3 b

8a
3
27 b
3
Objetivo 7.
La raíz cuadrada principal o positiva de un
número positivo n, que se escribe , n es el
número positivo que al multiplicarse por sí
mismo da como resultado n.
Si en lugar de buscar un número que al
multiplicarse por sí mismo dé como resultado n,
se busca un número que elevado a la tercera,
cuarta o quinta potencia dé como resultado n,
se dice que dicho número es la raíz tercera (o
cúbica), cuarta o quinta de n, y así
sucesivamente.
Objetivo 7.
En la notación de radicales lo anterior se
escribe como , 3 n , 4 n , 5 n
etcétera.
En otras palabras,
2
x  n significa que n  x
3
y  n significa que
n y
y, en general,
m
significa
que
b
a b
3
a
m
Objetivo 7.
• Al símbolo que sirve para indicar una raíz,
se le llama signo radical.
• El número o expresión dentro del signo
radical es el radicando y al número que
sirve para indicar la raíz se le llama índice.
Signo radical
m
índice
n
radicando
OBJETIVOS
OBJETIVO 7
ejemplos
1.) En la expresión
3
8
el radicando es 8 y el índice es 3.
3
8 3
significa que
2.) En la expresión
4
82
3
81
el radicando es 81 y el índice es 4.
3
4
81
significa
que
.
3.) En la expresión
3  81
4
49
el radicando es 49 y el índice, que en este
caso no se escribe, es 2.
49  7
significa que
49  7
2
Objetivo 8.
Si
n0
, se define:
n
a a
1
n
De este modo, una base elevada a un exponente
fraccionario en el que el numerador es 1, es
equivalente a una expresión en notación radical,
en la que la base es el radicando y el denominador
del exponente es el índice.
Objetivo 8.
• Las leyes enunciadas anteriormente para
exponentes enteros, son también válidas
para exponentes fraccionarios. Por tanto,
de acuerdo con la ley para elevar una
potencia a otra potencia, se tiene:
,
n
a
m
 a
m
puesto que

1
n
a
m
n
 
n
a
1 1
m  
n n
m
 
 a
1
n
m
a
m
n
m

m 
n

OBJETIVOS
OBJETIVO 8
ejemplos
1.)
2.)
3.)
1
3

2
1
x
4
5

3
5
a a
x
1
4
1.)
2.)
62   62
3
2
n
y y
3
3.)
 8
4.)
 
3
4
7
6
3
2

 
 8
5
1
1

 62
3
1
 y
n
6
8
3
 
 7
1
4
5
6
3
2
3
3
n
8
7
2
5
4
Objetivo 9.
• Como ya se indicó, las leyes expuestas
para exponentes enteros son ciertas
cualesquiera que sean la base y los
exponentes m y n, tanto si son positivos
como negativos o nulos, enteros o
fraccionarios.
• Para el caso de los exponentes
fraccionarios, las leyes quedan así:
,
Objetivo 9.
  
Ley I.- a
1
1
m
a
n
a
1
m
1
nm
n
a
1
tomar común denominador,
,
m
1
Ley II.-
m
a
1
a
Ley III.-
a
1
m
1
puesto que, al
mn

1
n

nm
mn
nm
n
a
mn
mn
puesto que  1   1   1
  
n
a 
1
m
1
n
a
1
 m  n 
mn
Objetivo 9.
Ley IV.-
a b
1
m
a
,
Ley V.-
a
 
b
1
1
m

m
a
1
b
m
1
1
m
b
m
Objetivo 9.
• Para el caso de los radicales es necesario tener
en cuenta que el índice del radical es el
denominador de un exponente fraccionario. Por
,
ello, las leyes de exponentes cuando se
enuncian y escriben para la notación radical
son:
• Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del
mismo radicando, su resultado es una raíz con
el índice igual al producto de los índices de los
factores, y el mismo radicando elevado a la
suma de los índices originales. m n
mn
nm
a a 
a
Objetivo 9.
• Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del
mismo radicando, su cociente es una raíz
con el índice igual al producto de los
índices de los factores, y el mismo
radicando elevado a la diferencia del
índice del divisor menos el del dividendo.
m
n
a
a

mn
a
nm
Objetivo 9.
• Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se
le toma otra raíz, su resultado es una raíz del
mismo radicando y un índice igual al producto
de los dos índices de los radicales aplicados.
n m
a 
nm
a
• Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un
producto de uno o más factores, su resultado es
el producto de las raíces de cada factor.
m
ab 
m
m
a b
Objetivo 9.
• Ley V.- Cuando se toma una raíz de un
cociente, su resultado es el cociente de la
raíz del dividendo entre la raíz del divisor.
m
a
b

m
a
n
a
OBJETIVOS
OBJETIVO 9
ejemplos
1.)
2.)
3.)
 27 


 4 
6


1
2
1
1
2
2
27

1
2
4



1
4
6
1
8
43
1
3
y
1
y
 y
 y
12
 y
1
12
4
7
2
4.) a
1 1
3
4
5
a
3
a
5
5

a
2 7
5
5
3
a
5
a
2 7 3
5
5
5
273
a
5
a
6
5
27
1.)
27

4
2.)
4
6 
4
3
y
3.)
4
5
4.) a
5

12
y
8
6
43

12
y
y
2 5
a
a
3
7
5

a a
2
5
a
3
7
5

5
a
a
9
3

5
a
9
a
3

5
a
6
Objetivo 10.
n
m
En la expresión a , se dice que el
radicando contiene una raíz n-ésima
perfecta si se puede encontrar en él algún
factor que contenga una potencia igual o
múltiplo del índice n del radical.
,
Objetivo 10.
Es claro que cuando el radicando contiene
una raíz n-ésima perfecta, la expresión
radical puede simplificarse
extrayendo del
,
mismo la raíz exacta correspondiente,
puesto que de acuerdo con las leyes de
exponentes y radicales
n
a
kn
a
m

 a
k n
a
m

1
n
a a
k
m
n
 a
k

n
a
m
Objetivo 10.
Una expresión que incluya algún radical se
encuentra en forma simple, si:
a.) El radicando no tiene factores con una raíz nésima perfecta.
b.)
El radicando no incluye fracciones.
c)
No existen radicales en el denominador de
una fracción.
Objetivo 10.
• Racionalizar una fracción es eliminar los
radicales que existan en su denominador.
Para racionalizar una fracción se
multiplican el numerador y el denominador
por un radical que al multiplicarse con el
del denominador lo convierta en una raíz
perfecta, y simplificar ésta por tener raíz
exacta.
OBJETIVOS
OBJETIVO 10
ejemplos
1
1
1.)  27 
2


 4 
2.) 
6
1
2


1
4



1
4
2
27
6
2
1
8
43
1
3.)
y
 y
1
y
4.)
3
1 1
3
4
 y
12
4
7
2
a
5
a
3
a
5
5

a
2 7
5
5
3
a
5
a
 y
2 7 3
5
5
5
1
12
273
a
5
a
6
5
7
22
1.)La expresión
contiene una raíz
séptima perfecta puesto que se puede
escribir
7
x
22

7
x

21
x x
3
5
7
x
3 7 
x

7
x 
7
3
7
x
2.)La expresión
contiene una raíz
tercera (o cúbica) perfecta puesto que se
puede escribir
3
a b 
5
7
3
3
2
a b

6
a a b b

3
 ab
2

3
2
3
a b
3
a b
23
2
a b
16 x
2
3.)La expresión
contiene una raíz
y
cuarta perfecta puesto que se puede
escribir
4
9
4
16 x
4
y
9
2
4

2 x
4
2
2 x

4
y
8
y y

4
2 4 
 24
 2 4 
 y
2
y
  x2 


 y 
4

4
2
 2  x 

 2 
 y   y 
1.) Como , x    x 
exacta y queda
7
22
x
7
22

2.)
exacta y queda 3
3
a b 
5
7
16 x
4
3
 ab
3
7
2
3
x
se extrae la raíz
 x
2
a b
3

7
x
, se extrae la raíz
5
a b
  ab
7
2

3
2
a b
4
2

4
2
 2   x 

 2  
y
y

 

y
3.)
exacta y queda
9
7
, se extrae la raíz
16 x
4
y
9
2
 2 
 2 
 y 
x
2
4
y
3
5
7
1.) La expresión:
no está en
a b
forma simple, porque el radicando incluye
3
una raíz cúbica perfecta: 5 7
2
2
a b   ab
2.)
3.)
2
3 4
3
x xy z
La expresión:
3
está en forma simple.
2
3
La expresión: 6 x y
está en forma simple.
2
5z

a b
4.)La expresión:
16 x
4
y
2
9
no está en forma simple, porque el
radicando contiene una fracción y,
además, contiene una raíz cuarta
perfecta: 16 x   2  x
4
2
y
9
2
 y 
2
y
3a
5.)La expresión:
b
no está en forma simple, porque aparece
un radical en el denominador.
3a
1.)Para racionalizar la expresión
se
b
multiplican el numerador y el denominador
por
para obtener
b
 3a  

 
b  b 
3a
b 

b 

3a b
b b

3a b
b

2
3a b
b
2
2.)Para racionalizar la expresión 18
conviene observar que 18  2  9  2  3 2
de modo que ya incluye una raíz cuadrada
perfecta (la correspondiente a 3 2 ), por lo
que basta con multiplicar el numerador y
el denominador por 2 para obtener:
2
2

23
18

2
2 2
2 3
2
2



2
23

2

 

2 2
23
2 

2 

2 2
23

2

2
2
3
2 2
2 3
2
2
3.) Para racionalizar la expresión
x
3y
3 4
2
2
5 xz w
3
es importante notar que en el radicando
existen factores elevados a diferentes
potencias, por lo que es necesario buscar
para cada uno la potencia que hace falta
multiplicar para obtener la raíz cuarta
perfecta que se necesita.
Como 5 x está elevado a la primera
potencia, debe multiplicarse por 5 3 x 3 ;
2
z se multiplicará por sí misma;
3
y w por w
Por tanto, para racionalizar la expresión
dada se multiplican el numerador y el
denominador por 4 5 3 x 3 z 2 w
para obtener:
2

x
x

2
3
3 4
2
3

5 xz w
 3 y 5 xz w
2
3y
3 4
x

3y

x
3 4
2 4
3y
2 4
3
2
3
3 4
3
 5 xzw 
3
2

x
2 4
x
2 4
3y
3 4

5 x z w
2
5 x z w
3
2
5 x z w
5 xz w
3
3
3
3
15 y xzw
4
4
5 x z w 

3 3 2

5 x z w 
3
3
2
3
3
2
4
4
4
5 x z w
5 x z w

4
3
4
2
5 x z w
3




2
x 125 x z w
3
15 y zw
Objetivo 11.
Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las
leyes de los exponentes y los radicales.
En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que
estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan
exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma
simple que se definió anteriormente.
Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan
del numerador al denominador de la expresión y los exponentes
fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de
radicales.
En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes
como se ha indicado antes.
OBJETIVOS
OBJETIVO 11
ejemplos
1.) Para simplificar la expresión  3 2 x 2 y  3
basta con tomar en cuenta que 3 2  9 y trasladar el
factor y  3 al denominador para dejar
3 x y
2
2
3

9 x
y
2
3
 y 

2 
3
z


2
2.) Para simplificar la expresión
primero se elimina el exponente negativo
1
 y 
después, se toma en cuenta la ley

 
2
2
 3z 
 y 
 2 
 3z 
2
para elevar un cociente a una potencia para que
1
1
1
9z
quede


4
 y 

2 
3
z


2
y
2
2
3 z
y
4
2
2
3 z
y
4
2
3.) Para simplificar la expresión
3
 x  y x

  
 y  z 
2
4
se eleva cada factor a la potencia
correspondiente  x   y x   x   y x
3
4
2
3
8
4
   3 
  
4
y
z
y
z
  



y luego se efectúan las operaciones
indicadas para obtener
 x  y x  x x y
 3 

4
3 4
y
z
y
z



3
8
4
3
4
8

7
x y
8
3
4
y z
7

x y
z
4
5



3
4
27 w y 3 8 w y
4.)Para simplificar la expresión
3
2
w y
7
1
en primer lugar se identifica que todas las raíces que aparecen son
cúbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresión en un
solo radical
4 7
4 7
3
3
27
w
y
8
w
y


27 w y 8 w y
 3
2 1
2 1
3
w
y
w y
luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y
queda
3
3
5 9


3
2 3 w y
w
2

3

2 3 w y
3
3
como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene
3
2  3 w y  2  3w y
3
3
3
9
3
 6wy
3
3
9
3
2
5.) Para simplificar la expresión
3
x
4
2
3
x
5
y
y
5
primero se efectúan las operaciones con los exponentes
3
2
3
x
5
y
4
x

2
3
y
5
x
y
2
2 4
3
3

2 3
5
5
3
x
1

y
2
x
3
y
luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales
1
 
2
y
x 3y
1
y se racionaliza
1

y
1  1
 
3
2
x  y
1 
 
3
2
x 
3
3


2
x 
1
3
x  1
  
y
x 
3
3
x 

3 
x 
1 3 x 
 


y x 
3

x
xy
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UNIDAD 2 EXPONENTES Y RADICALES