ALGEBRA AL ALCANCE DE TODOS
Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Introducción
Esta Guía orienta el uso del contenido del Algebra, dirigida a docentes y estudiantes, interesados en
desarrollar cursos de matemáticas básicas de I semestre en el Aula virtual.
Se comenzará con la siguiente situación:
En un espectáculo de circo, un mago realiza el siguiente truco a un espectador…








Piensa un número y no me lo diga.
Ahora a ese número que tiene en su mente súmele 15 y tampoco me lo diga.
Ese resultado multiplíquelo por 3, no me diga cuanto le dio.
Ahora al resultado réstale 9, tampoco lo diga.
Lo que le dio, divídalo entre 3 y a ese resultado réstele 8.
Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que numero pensaste.
El espectador dice 30.
Instantáneamente el mago afirma con mucha seguridad: El número que pensaste fue 26
En esta unidad trataremos de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones
lineales con una incógnita.
créditos
ALGEBRA AL ALCANCE DE TODOS
1.Introducción
Bienvenida
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Créditos
Expertos temáticos
Acosta Jiménez, Juan
Carlos
Asesor pedagógico
Haydar, Olga
Coordinador Tecnológico
Noriega, José
Producción
Programa de permanencia
académica, convenio 260
Dirección de Fomento de
la Educación Superior
Ministerio de Educación
Nacional
Bogotá - Colombia
Imagen
Diseñador gráfico y
Desarrollador de
contenido
Martinez, Carlos
Diseñador instruccional
Fong, Rafael
Coordinador general
Buendía, Felipe
Centro de Educación
Virtual.
Fundación Universitaria
Tecnológico Comfenalco.
Cartagena - Colombia
(2014)
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Metodología
Se sugiere aquí en la primera parte la temática de expresiones algebraicas y
se resalta la identificación de términos semejantes, luego se realizan una
gran variedad de ejemplos. En la segunda parte , se introduce el concepto
de ecuación en sus distintas tipificaciones procediendo en la resolución de
problemas de aplicación.
Finalmente se sugieren actividades de retroalimentación y de profundización
Puedes usar el menu o la flecha de siguiente
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Objetivos
Objetivo General
Desarrollar habilidades en el estudiante que le permitan plantear,
analizar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de las
expresiones algebraicas y la solución de ecuaciones lineales y
cuadráticas.
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Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Objetivos
Objetivos específicos
1. Expresar en lenguaje algebraico, frases que describen relaciones
entre datos conocidos y desconocidos.
2. Aplicar propiedades de operaciones definidas en los números reales en
procedimientos de resolución de ecuaciones.
3. Traducir en ecuaciones lineales y cuadráticas situaciones que
involucran problemas cotidianos.
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Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Glosario
Monomio
Expresión algebraica que consta de un solo término
Binomio
Expresión algebraica que consta de dos términos
Trinomio
Expresión algebraica que consta de tres términos
Polinomio
Expresión algebraica que consta de cuatro o más términos
Ecuación cuadrática
Ecuación de segundo grado, es decir, la mayor potencia de la incógnita
considerada en la ecuación.
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Objetivos
Desarrollo
temático
Glosario
Incógnita
Valor desconocido
Variable
Es un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un
conjunto dado.
Ecuación
Igualdad que involucra variables o incógnitas.
Ecuación lineal
Ecuación de primer orden que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia.
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Objetivos
Desarrollo
Temático
Referencias
 Aponte, Gladys; Pagan, Estela y Pons, Francisca. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
2ª edición. México: Addison Wesley Longman de México, 1998.
 Coronado, Jorge. Matemática Básica para Ingenieros. Bucaramanga: UDI: Universitaria
de Investigación y Desarrollo, 2005.
 Leithold, Louis. Matemáticas Previas al Cálculo. 3ª edición. Mexico: Oxford University
Press, 2006.
 Stewart, James. Pre cálculo. 3ª edición. Thomson
 Zill, Dennis y Dewar, Jacqueline. Algebra y Trigonometría. 2a edición. Bogotá: McGrawHill Interamericana, 2000
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Temático
Sitios sugeridos
Matemáticas para bachillerato y carrera de ciencias
http://matematicasbachiller.com/
Espacio que brinda materiales de libre uso, didácticos y actualizados.
Matemático
http://matematico.es/
Espacio de libre uso que brinda muchos ejemplos de operaciones
básicas de matemáticas con animaciones
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Temático
Contenido temático
o 1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.1. Actividad de conocimientos previos: Expresiones algebraicas
1.2. Clasificación de las expresiones algebraicas
1.3. Reducción de términos semejantes
o 2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
2.3. Actividad de retroalimentación
2.4. Ecuaciones cuadráticas
2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
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Operaciones con expresiones
algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.1. Actividad de cononcimientos previos: Expresiones algebraicas
De acuerdo a las siguientes imágenes, ¿Cuáles consideras que conllevan
expresiones algebraicas?
a)
b)
c)
d)
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1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.1. Actividad de cononcimientos previos: Expresiones algebraicas
Retroalimentación
Una expresión algebraica en una o más variables, es una combinación cualquiera de
estas letras y de números, mediante una cantidad finita de operaciones tales como adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación o radicación.
Como por ejemplos: 1) −6 3  + 2
2)  + 2
3) 9 4 +4 3 − 2 2 +  − 1003
Los elementos que conforman una termino algebraico están dados así:
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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Objetivos
1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.2. Clasificación de las expresiones algebraicas
Según el número de términos que tenga una expresión algebraica, podemos tener:
monomios, binomios, trinomios y polinomios.
Expresión
algebraica
Monomio
Definición
Tiene un solo término
Ejemplos
1)
2)
−3
403  2
3)
4)
−5
6
4
1)
2)
2 + 5 2
43 − 25 3
3)
4)
−5
+ 2
6
4
 − 1002
Binomio
Posee dos términos
Trinomio
Conformado por 3
términos
1)
2)
3)
 2 + 2 + 1
42 − 36 + 81
4 + 142 + 49
Polinomio
De 4 términos en
adelante
1)
2)
3)
43 − 52 + 8 + 10
5 + 2 − 4 2 + 6 3 + 10 4
3 + 12 − 4 5 + 8 3 + 6 7
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.3. Reducción de términos semejantes
Dos términos se dicen que son semejantes si son iguales o difieren sólo en su parte
numérica, por ejemplo:
o
o
o
o
Los términos 3 2 y −2 2 son semejantes
1
Los términos 43 2 y 3 2 son semejantes
2
2
Los términos 5  y 7 2  2 no son semejantes
Los términos 82  y 132 no son semejantes
Para reducir términos semejantes es necesario sumar o restar las partes numéricas de
tales términos, veamos algunos ejemplos:
Simplifique la expresión  −  +  − 
Solución: Todos los términos de esta expresión son semejantes, ya que todos tienen a
 2 y se diferencian en su parte numérica. Luego,
3 2 − 13 2 + 8 2 − 20 2 = 3 − 13 + 8 − 20  2 = −22 2
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Objetivos
1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.3. Reducción de términos semejantes
Resolver la siguiente adición −  +   −  +  +   +  
Solución: Al eliminar paréntesis y agrupar términos semejantes tenemos
−53  + 72 2 − 8 + 10 + 2  2 + 153 
= −53  + 153  + 72 2 + 2 2 − 8 + 10
= −5 + 15 3  + 7 + 1 2 2 + −8 + 10 
= 103  + 82 2 + 2


Hallar la solución de la siguiente sustracción (− +  − ) − ( −  + )


Solución: Al suprimir paréntesis y reduciendo términos semejantes obtenemos
5
3
5
3
(−18 + 2 − ) − (5 −  + 5) = −18 + 2 −  − 5 +  − 5
3
4
3
3
5
4
3
3
4
= −18 − 5 + 2 +  −  − 5
5
= (−18 − 5) + (2 + ) − ( + 5)
= −23 +
11
4
−
20
3
4
3

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1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.3. Reducción de términos semejantes
Encuentre el siguiente producto ( +  −  )( −  +  )
Solución: Utilizando la propiedad distributiva y simplificando términos tenemos
4 + 2 − 2 1 − 3 + 52 = 4 1 − 3 + 52 + 2 1 − 3 + 52 − 2 1 − 3 + 52
= 4 − 12 + 202 + 2 − 62 + 103 + −2 + 33 − 54
= 4 − 12 + 2 + 202 − 62 −2 +103 + 33 − 54
= 4 − 10 + 132 + 133 − 54
Elimine los símbolos de agrupación y simplifique {−  +  +   −  −  }
Solución: Teniendo en cuenta la ley de los signos tenemos:
4 −3 2 + 3 + 6 3 2 − 5 − 8 = 4 −3 2 + 3 + 6 3 2 − 5 + 8
= 4 −6 2 − 9 + 18 2 − 30 + 48
= −24 2 − 36 + 72 2 − 120 + 192
= −24 2 + 72 2 − 36 + 192 − 120
= 48 2 + 156 − 120
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
En general, en la vida cotidiana usamos siempre ecuaciones cuando un
resultado dependa del comportamiento de una variable o de varias de
ellas. Todas las ecuaciones son importantes pues nos ayudan a
resolver situaciones del contorno.
Una ecuación es una igualdad que involucra valores desconocidos
llamados variables o incógnitas; pueden clasificarse según el tipo de
operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números
sobre el que se busca la solución.
Entre los tipos más frecuentes están:
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
 Ecuaciones algebraicas: Pueden ser lineales, cuadráticas o polinómicas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
 Ecuaciones trascendentales: Aparecen funciones trigonométricas, exponenciales o
logarítmicas
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2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
 Ecuaciones diferenciales: Incluyen derivadas de funciones y generalmente modelan
comportamientos físicos y químicos.
En nuestro estudio trataremos ecuaciones lineales y cuadráticas con sus respectivas
aplicaciones.
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
También son conocidas como de primer orden y tienen la forma  +
 =  donde x representa la variable de interés. Para resolverlas
usualmente despejamos la incógnita teniendo en cuenta la
transposición de términos:
o
“Si una cantidad está sumando del lado izquierdo de la igualdad,
pasa al lado derecho a restar y viceversa”
o “Si una cantidad está multiplicando del lado izquierdo de la
igualdad, pasa al lado derecho a dividir y viceversa”
Veamos lo siguientes ejemplos:
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones lineales
Ejemplo 1)
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2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 2)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 3)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 4)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 5)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 6)
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2.3. Actividad de retroalimentación
Nota: Crear la opción para que el estudiante pueda escribir en el espacio en
blanco la respuesta que el considere
1.
Llena los espacios vacíos con el número que hace verdadera las siguientes
igualdades:
) − 3 + 6 − 7 +
= 20
respuesta: 24
b) 20 ∗
c)
−2
3
∗
= 1800
4
=
−8
33
respuesta: 90
respuesta: 11
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2.3. Actividad de retroalimentación
2. Si a, b, c representan dígitos diferentes, Responde falso (F) o verdadero (V) si la operación
planteada puede dar el resultado indicado.
a) a + b − c = 14
respuesta: Verdadero, los dígitos podrían ser: a = 9 b = 7 c = 2
b) 2a + b + c = 32
respuesta: Verdadero, los dígitos podrían ser: a = 8 b = 9
c)
a∗b
c
= 96
c=7
respuesta: Falso, para obtener la multiplicación más grande, se
debería tomar a c = 1 donde el producto máximo sería de
a ∗ b sería de 9 ∗ 8 = 72
Para D.,Gráfico: Con un intento fallido del estudiante se le muestra la respuesta
correcta y debe salir un comunicado de retroalimentación que diga “Hay que analizar
bien la situación”
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.4. Ecuaciones cuadráticas
Son llamadas ecuaciones de segundo grado y tienen la forma ax2+bx+c=0
con a≠0.
Las soluciones son llamadas raíces o ceros y se encuentran utilizando la
siguiente fórmula:
Revisemos y analicemos los siguientes ejemplos:
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.4. Ecuaciones cuadráticas
Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a)
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2.4. Ecuaciones cuadráticas
Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
b)
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2.4. Ecuaciones cuadráticas
Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
c)
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2.4. Ecuaciones cuadráticas
Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
d)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Para resolver problemas de aplicación se recomiendan tener en cuenta:
o
o
o
o
Lectura comprensiva del enunciado
Traducción al lenguaje simbólico
Expresión y resolución de la ecuación correspondiente
Verificación del resultado obtenido
El siguiente cuadro muestra algunos ejemplos de cómo escribir enunciados en lenguaje
simbólico:
Enunciado
La suma de un número y su
consecutivo
El siguiente de un numero par
La suma de tres números consecutivos
La mitad de un número
El triple de una cantidad
La tercera parte de la diferencia de
dos cantidades
Lenguaje simbólico
x + (x + 1)
2x + 1
x + x + 1 + (x + 2)
x
2
3x
x+y
3
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2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Ejemplos: Resolver los siguientes problemas
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2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Ejemplos: Resolver los siguientes problemas
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2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
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2.6. Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente y espera la respectiva
retroalimentación:
1)
Teniendo en cuenta las siguientes expresiones algebraicas, simplifica y realiza las
operaciones indicadas:
a)
b)
(143 −502 + 8 + 19) + (3 −102 − 28 + 9)
−3  + 172  2 − 8 + 20 + 62 2 − 53  −
30 + 72  2 − 143 
7
2
4
c)
(−8 + 20 − 2 ) − (3 − 5  + 3 )
d)
(−8 −
e)
(−4 3 −21 2 + 15 + 25) + (9 3 −11 2 − 25 + 32)
f)
−2 4 5 − 2 + 2 7 2 − 9 − 5
g)
−2 + 3 − 42 10 − 2 + 32
h)
13

2
7
3
− 11 ) − (7 − 4  −
14
)
9
−3 2 7 − 10 + 4 78 − 10 − 2
+ 6 − 3 2
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
2) Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática − 2 + 12 = 
3) En una clase de matemáticas para administración hay 52 estudiantes. Si el
número de
chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la
clase.
4) Hallar el valor de  que satisface la ecuación
−3
3
+
4−1
4
=
+9
2
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
En los siguientes ejercicios, se hace referencia a algunos términos de negocios y a su
relación con una compañía manufacturera:.
o
o
o
o
o
Costo fijo: Es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de
producción (rentas, seguros) y debe pagarse independientemente de que la fábrica
produzca o no.
Costo variable: Es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción
(mano de obra, materiales)
Costo total: Es la suma del costo fijo y variable.
Ingreso total: Es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción
(precio por unidad x número de unidades vendidas).
Utilidad: Se define como la diferencia entre los ingresos y los costos totales.
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
a) A un fabricante le cuesta $4.000.000 comprar las herramientas para la
manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de
$120.000 por articulo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en
$180.000, determine cuantos artículos debe producir vender para obtener una
ganancia de $2.000.000
b) Cierta compañía diseña un producto para el cual el costo variable por unidad es de
$12.000 y el costo fijo de $160.000.000. Cada unidad tiene un precio de venta de
$20.000. determine el número de artículos que deben venderse para obtener una
utilidad de $120.000.000
c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con
un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120.000 al mes y el
alimento se vende a $134 la tonelada. ¿Cuántas toneladas deben venderse al mes
para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560.000?
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Operaciones con expresiones
algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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GUIA DE NAVEGACION OVA ALGEBRA - FINAL