Introducción a Funciones de una variable
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Materia:
Algunos conceptos topológicos en la recta real
Concepto de función. Dominio
Algunas funciones de interés
Composición de funciones
Prácticas con
Introducción a Funciones de una variable
Conceptos topológicos en la recta real
Intervalo cerrado:
Introducción a Funciones de una variable
Conceptos topológicos en la recta real
Intervalo cerrado:
Intervalo abierto:
Introducción a Funciones de una variable
Conceptos topológicos en la recta real
Intervalo cerrado:
Intervalo abierto:
Otros:
Introducción a Funciones de una variable
Conceptos topológicos en la recta real
Intervalo cerrado:
Intervalo abierto:
Otros:
Entono de radio «r»:
Introducción a Funciones de una variable
A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a),
como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el
punto a:
Introducción a Funciones de una variable
A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a),
como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el
punto a:
De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está
indicando puntos cercanos a él.
Introducción a Funciones de una variable
A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a),
como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el
punto a:
De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está
indicando puntos cercanos a él.
Diremos que un punto es interior a un conjunto si existe al menos un
entorno del punto totalmente contenido en el conjunto.
Introducción a Funciones de una variable
A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a),
como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el
punto a:
De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está
indicando puntos cercanos a él.
Diremos que un punto es interior a un conjunto si existe al menos un
entorno del punto totalmente contenido en el conjunto.
El conjunto de todos los puntos interiores a un conjunto A se llama
Interior del conjunto y lo notamos Int(A). Cuando el conjunto coincide
con su interior, se dice que es abierto.
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
Adherencia de A y se denota por Adh(A).
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
Adherencia de A y se denota por Adh(A).
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
Adherencia de A y se denota por Adh(A).
Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado.
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
Adherencia de A y se denota por Adh(A).
Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado.
Por la propia definición, es obvio que todo punto interior es adherente.
De hecho, para un conjunto A siempre se verifica la siguiente relación:
Int(A) Í A Í Adh(A)
Introducción a Funciones de una variable
Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo
contiene al menos un punto del conjunto.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
Adherencia de A y se denota por Adh(A).
Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado.
Por la propia definición, es obvio que todo punto interior es adherente.
De hecho, para un conjunto A siempre se verifica la siguiente relación:
Int(A) Í A Í Adh(A)
De forma que sí se cumple la primera igualdad, el conjunto es abierto y si
se cumple la segunda igualdad, el conjunto es cerrado. El único conjunto
que es abierto y cerrado a la vez es la recta real. Los intervalos abiertos
son conjuntos abiertos y los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.
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Diremos que un punto es frontera si es adherente pero no es
interior. En la figura anterior, los puntos frontera son los puntos a y b.
Al conjunto de todos los puntos frontera de A se llama Frontera de
A y se denota por Fr(A).
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Concepto de función.
Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que
se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento
de A le corresponde un único de B.
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Concepto de función.
Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que
se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento
de A le corresponde un único de B.
Ejemplo.
Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los
números pares (A) y el conjunto de los números impares (B)
A = { ... -4,-2,0,2,4, ... }, B = { ... -3,-1,1,3, ... }
y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo
elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos “y” al resultado,
tendremos la relación definida de la forma:
y = x+5
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Concepto de función.
Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que
se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento
de A le corresponde un único de B.
Ejemplo.
Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los
números pares (A) y el conjunto de los números impares (B)
A = { ... -4,-2,0,2,4, ... }, B = { ... -3,-1,1,3, ... }
y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo
elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos “y” al resultado,
tendremos la relación definida de la forma:
y = x+5
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La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:
F(x) = y =x+5
queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está
definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese
valor más 5 unidades, es decir:
F
x ¾¾
®x + 5 = y
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La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:
F(x) = y =x+5
queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está
definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese
valor más 5 unidades, es decir:
F
x ¾¾
®x + 5 = y
En la expresión F(x) = y, a x se denomina variable independiente,
mientras que y se denomina variable dependiente, puesto que sus
valores se calculan a partir de los valores de x.
Introducción a Funciones de una variable
La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:
F(x) = y =x+5
queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está
definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese
valor más 5 unidades, es decir:
F
x ¾¾
®x + 5 = y
En la expresión F(x) = y, a x se denomina variable independiente,
mientras que y se denomina variable dependiente, puesto que sus
valores se calculan a partir de los valores de x.
Ahora bien, hay funciones que no se pueden evaluar para cualquier
valor arbitrario de x, sino que aparecen restringidas a ciertos conjuntos.
Estos conjunto se llaman dominio de la función, que veremos más
adelante.
Introducción a Funciones de una variable
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo:
Sea p el precio variable de un determinado bien económico y sea una
función que expresa la demanda de dicho bien que depende
directamente de p:
D(p) = 5 - p
Calcular el valor de la demanda cuando el precio toma el valor p = 1 y
cuando p = 2.
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Ejemplo:
Sea p el precio variable de un determinado bien económico y sea una
función que expresa la demanda de dicho bien que depende
directamente de p:
D(p) = 5 - p
Calcular el valor de la demanda cuando el precio toma el valor p = 1 y
cuando p = 2.
Solución:
D(1) = 5 - 1 = 4;
D(2) = 5 – 2 = 3
Introducción a Funciones de una variable
Dominio de una función.
Como ya hemos comentado, el conjunto donde podemos definir la
función F se denomina dominio de la función y lo denotaremos por D.
Por lo tanto, una función real de variable real la escribiremos siempre en
la forma:
notando que F está definida en una parte D del conjunto de los números
reales en los propios números reales.
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Dominio de una función.
Como ya hemos comentado, el conjunto donde podemos definir la
función F se denomina dominio de la función y lo denotaremos por D.
Por lo tanto, una función real de variable real la escribiremos siempre en
la forma:
notando que F está definida en una parte D del conjunto de los números
reales en los propios números reales.
Introducción a Funciones de una variable
También podemos trabajar a veces con funciones “definidas a trozos”.
Por ejemplo
ìï x para x < 0
F(x) = í 4
ïî x + 2x - 1 para x ³ 0
Introducción a Funciones de una variable
También podemos trabajar a veces con funciones “definidas a trozos”.
Por ejemplo
ìï x para x < 0
F(x) = í 4
ïî x + 2x - 1 para x ³ 0
Introducción a Funciones de una variable
Algunas funciones interesantes:
Introducción a Funciones de una variable
Algunas funciones interesantes:
Una función racional es aquella que se puede expresar como cociente
de dos polinomios. Un ejemplo sería:
P(x)
x2 - 2
R(x) =
= 3
Q(x) x + 3x 2 + x
A la función anterior se le llama propia, ya que el grado de P(x) es
menor que el de Q(x). En caso contrario, se llama impropia.
Introducción a Funciones de una variable
Algunas funciones interesantes:
Una función racional es aquella que se puede expresar como cociente
de dos polinomios. Un ejemplo sería:
P(x)
x2 - 2
R(x) =
= 3
Q(x) x + 3x 2 + x
A la función anterior se le llama propia, ya que el grado de P(x) es
menor que el de Q(x). En caso contrario, se llama impropia.
Una función potencial es de la forma:
F(x) = xn
nÎ ¥
siendo el dominio todo el conjunto de los reales.
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3) Una función exponencial es de la forma:
F(x) = nx
nÎ ¥
siendo el dominio todo el conjunto de los reales.
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3) Una función exponencial es de la forma:
F(x) = nx
nÎ ¥
siendo el dominio todo el conjunto de los reales.
Ejemplos
Existen algunas funciones que son muy utilizadas, cuyas gráficas es
bueno conocer:
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3) Una función exponencial es de la forma:
F(x) = nx
nÎ ¥
siendo el dominio todo el conjunto de los reales.
Ejemplos
Existen algunas funciones que son muy utilizadas, cuyas gráficas es
bueno conocer:
a)
Su dominio de definición es:
F(x) = Log(x)
D = {x Î ¡ / x > 0}
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b)
F(x) = ex
Su dominio de definición es toda la recta real
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b)
F(x) = ex
Su dominio de definición es toda la recta real
c)
F(x) =
1
x
Su dominio de definición es cualquier valor distinto de cero
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Composición de funciones.
Sean F y G dos funciones reales definidas:
G:HÌ ¡ ® ¡
Si se verifica que F(D) Ì H
, entonces existe la composición definida
de la forma:
(F G)(x) = G(F(x))
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Composición de funciones.
Sean F y G dos funciones reales definidas:
G:HÌ ¡ ® ¡
Si se verifica que F(D) Ì H
, entonces existe la composición definida
de la forma:
(F G)(x) = G(F(x))
Ejemplo:
Sean las funciones:
F(x) = x ,
G(x) = x 2 - 1
Comprobar si existe la composición y determinar la imagen de x =10
mediante dicha composición.
Solución:
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Solución:
El dominio de F es el conjunto
D = {x Î ¡ / x ³ 0}
mientras que el de G es
H= ¡
Vemos, evidentemente, que F(D) Í H y por tanto existe la composición
de ambas funciones.
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Solución:
El dominio de F es el conjunto
D = {x Î ¡ / x ³ 0}
mientras que el de G es
H= ¡
Vemos, evidentemente, que F(D) Í H y por tanto existe la composición
de ambas funciones.
Para calcular la composición, hacemos actuar una seguida de la otra:
(F G)(x) = G(F(x)) = G
Por lo tanto
( x) = ( x) -1 = x -1
(F G)(10) = 10 - 1 = 9
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Solución:
El dominio de F es el conjunto
D = {x Î ¡ / x ³ 0}
mientras que el de G es
H= ¡
Vemos, evidentemente, que F(D) Í H y por tanto existe la composición
de ambas funciones.
Para calcular la composición, hacemos actuar una seguida de la otra:
(F G)(x) = G(F(x)) = G
Por lo tanto
( x) = ( x) -1 = x -1
(F G)(10) = 10 - 1 = 9
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Continuidad de funciones
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