Nazira Calleja
Curva normal
“Dios ama la curva normal”
Campana
de Gauss
Pocos
casos
La mayoría
de los
casos
Pocos
casos
Distribución normal
Distribución de datos de una variable
que asemeje la forma de una curva normal
En la naturaleza,
casi todas las variables se distribuyen de esta forma
Habilidades
cognitivas
Historia de la distribución normal
 1733
Abraham De Moivre
presentó la distribución normal
por primera vez.
1809
Gauss justificó rigurosamente la
distribución normal de los errores. El nombre de
Gauss se ha asociado a esta distribución porque
la usó con profusión cuando analizaba datos
astronómicos. Algunos autores le atribuyen un
descubrimiento independiente del de De
Moivre.
Fue una de las mentes más
brillantes que ha vivido
sobre la Tierra.
Historia de la distribución normal
 1812 Laplace amplió el concepto en su libro
Teoría analítica de las probabilidades y usó la
distribución normal en el análisis de errores de
experimentos.
Lo que sabes es muy poco;
lo que ignoramos, inmenso.
1872
Esprit Jouffret usó el nombre de "campana" (bell surface) por
primera vez.
1875
Francis Galton, Charles Pierce y Wilhem Lexis otorgaron
independientemente la denominación de "distribución normal".
Distribución normal
Unimodal
Media = Mediana = Modo
Mesocúrtica
Simétrica
Distribución normal
Sólo 3 puntos de 1000
caerán fuera del área de 3
desviaciones estándar a
ambos lados de la media.
Pafnuty Chevichev
Curva normal o Campana de Gauss
Distribución normal
Combinaciones
Puntajes Z
Estandarización
Puntajes originales o brutos
X
Puntajes estandarizados
Z
Puntaje Z: Número de desviaciones estándar en el que
se encuentra ubicado un puntaje en relación con la
media de la distribución.
En SPSS: Analizar – Descriptivos – Guardar valores tipificados como variables
Distribución de puntajes Z
Distribución de
puntajes originales o brutos
X
Distribución de
puntajes estandarizados
Z
Media = 0
Desviación estándar = 1
De X a Z
Puntaje X
De Z a X
Puntaje Z
El puntaje Z indica:
a) Qué tan lejos se encuentra de la media.
-3
-2
-1
0
1
2
3
b) En qué dirección.
Puntaje Z positivo: El puntaje X es > la media
Se ubica a la derecha o arriba de la media
Puntaje Z negativo: El puntaje X es < la media
Se ubica a la izquierda o abajo de la media
Los estadísticos han construido tablas que indica el valor de estas proporciones
para cada posible puntaje Z, que ahora se calcula electrónicamente.
Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva:
•http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html
•http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.html
Tabla de Z
Z
Los estadísticos han construido tablas que
indica el valor de estas proporciones para
cada posible puntaje Z.
Z
%
%
Z
Z
%
Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva:
•http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html
•http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.html
Puntaje Z
Puntaje X
Percentil
Ejemplo 1
Una compañía farmacéutica fabrica píldoras de vitaminas
que contienen un promedio de 507 gramos de vitamina C
con una desviación estándar de 3 gramos.
-3
-2
-1
0
1
2
3
498
501
504
507
510
513
516
68%
95%
99.7%
Casos
Ejemplo 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Media
Desviación estándar
Puntajes brutos de
creatividad
12
13
9
18
7
9
14
16
10
12
7
13
14
19
10
16
12
16
19
11
12.85
3.66
Puntajes z de
creatividad
-0.23
0.04
-1.05
1.41
-1.60
-1.05
0.31
0.86
-0.78
-0.23
-1.60
0.04
0.31
1.68
-0.78
0.86
-0.23
0.86
1.68
-0.51
0
1
Casos
Ejemplo 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Media
Desviación estándar
Puntajes brutos de
creatividad
12
13
9
18
7
9
14
16
10
12
7
13
14
19
10
16
12
16
19
11
12.85
3.66
Puntajes z de
creatividad
-0.23
0.04
-1.05
1.41
-1.60
-1.05
0.31
0.86
-0.78
-0.23
-1.60
0.04
0.31
1.68
-0.78
0.86
-0.23
0.86
1.68
-0.51
0
1
Caso núm. 5
(con puntaje
bruto de 7):
El puntaje bruto de 7 se encuentra
1.6 unidades de desviación
estándar debajo de la media
Casos
Ejemplo:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Media
Desviación estándar
Puntajes brutos de
creatividad
12
13
9
18
7
9
14
16
10
12
7
13
14
19
10
16
12
16
19
11
12.85
3.66
Puntajes z de
creatividad
-0.23
0.04
-1.05
1.41
-1.60
-1.05
0.31
0.86
-0.78
-0.23
-1.60
0.04
0.31
1.68
-0.78
0.86
-0.23
0.86
1.68
-0.51
0
1
Caso núm. 14
(con puntaje
bruto de 19):
El puntaje bruto de 19 se encuentra
1.68 unidades de desviación
estándar arriba de la media
Comparación de puntajes de diferentes
distribuciones con puntajes z
Puntaje bruto
Puntaje z
Percentil
0 0.25
1.28
2.33
Comparación de puntajes de diferentes
distribuciones con puntajes z
Ejemplo 3
Estudiante 1
Estudiante 2
Examen
Estadística
Contabilidad
Puntaje obtenido
76 (de 100)
82 (de 100)
¿Quién tuvo una mejor ejecución, el estudiante A o el estudiante B? Es difícil
comparar los puntajes obtenidos por ambos porque puede ser, entre otras
cosas, que la clase de contabilidad haya sido más fácil que la de estadística; o
que los alumnos de contabilidad hayan variado más o menos que los de
estadística en sus calificaciones finales... Sólo se pueden comparar si las tales
calificaciones se convierten en puntajes estandarizados.
Comparación de puntajes de diferentes
distribuciones con puntajes z
Estudiante A
Estadística
Estudiante B
Contabilidad
76 (de 100)
82 (de 100)
Media
54
72
Desviación estándar
20
15
(76-54)/20 = 1.1
(82-72)/15 = 0.67
Examen
Puntaje obtenido
Puntaje Z
Conclusión: La ejecución del estudiante A fue mejor que la del estudiante B.
En este ejemplo, la unidad de medición fue la misma (puntaje sobre 100); sin
embargo, también es posible hacer comparaciones de puntajes de distribuciones
basadas en unidades diferentes. Todo lo que se necesita es conocer la media y la
desviación estándar de las distribuciones correspondientes.
Ejemplo 4
El precio promedio de un litro de leche es de $6.30 y la
desviación estándar es de 80 centavos. El precio promedio de un
paquete de jamón es de $18.00 y la desviación estándar es de
$1.50. Si pagamos $8.90 por un litro de leche y $21.90 por un
paquete de jamón en un supercito de 24 horas, ¿cuál es
relativamente más caro?
8.90 – 6.30
Leche:
Zleche = ––––––––––––– = 3.25
0.80
21.90 – 18.00
Jamón:
Zjamón = ––––––––––––– = 2.60
1.50
Conclusión: Estamos
pagando un poco más por la
leche que por el jamón.
Teorema del límite central
Una distribución tenderá a ser aproximadamente normal en
la medida que se aumenta el tamaño de la muestra.
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Puntajes estándar y curva normal