4.2 Ensayos aleatorios simples
Gustavo Rocha
2012 - 1
Distribución de Bernoulli
Si se considera que en un nacimiento, la probabilidad de
que sea niño es p = 18/35, y se define la variable
aleatoria X, que si toma el valor 0 significa el nacimiento
de una niña, y si toma el valor 1 significa el nacimiento
de un niño, entonces, la variable aleatoria discreta es
una distribución de Bernoulli, con parámetro 18/35.
Distribución binomial
La varianza máxima ocurre para p = ½, y la varianza
mínima es cero en los extremos, cuando p = 0 o p = 1,
como es obvio.
Distribución binomial
Si X es la variable aleatoria que describe el número de
águilas que caen, al lanzar consecutivamente tres veces
una moneda y considerando que la moneda no está
cargada, identifique la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria, determine su función de masa de
probabilidad y su función de distribución acumulada,
calcule la probabilidad de que caigan exactamente dos
águilas y la probabilidad de que caigan al menos dos
águilas, determine la media, la varianza y el coeficiente
de variación de la variable aleatoria X.
Distribución binomial
Se tiene un registro que indica que el 4% de los tornillos
producidos por la fábrica Tor son defectuosos. Para
efectos de control de calidad del producto, cada día se
toma una muestra de 15 tornillos y se determina el
número de defectuosos. Determine la probabilidad de
que haya dos o más defectuosos.
Distribución binomial
Un circuito tiene n interruptores en paralelo, cada uno de
los cuales opera independientemente y está cerrado con
probabilidad p. El circuito pasa corriente de la terminal A
a la terminal B si al menos la mitad de sus interruptores
se mantienen cerrados. Determine para qué valores de
p opera mejor un circuito con 5 interruptores que un
circuito con 3
Teorema de Bernoulli
¿Cómo estimar el valor del parámetro de proporción p,
denominado probabilidad de éxito?
 el clásico o a priori, restringido casi en absoluto a los
juegos de azar NO
 el frecuencial o a posteriori, aplicable a cualquier
experimento repetible OK
1 n
x

n
i
 p
i 1
El criterio de probabilidad frecuencial consiste en
asignar, como probabilidad de un evento, la frecuencia
relativa obtenida al repetir el experimento
 un número grande de veces ¿qué es grande?
 en condiciones similares ¿qué son similares?
“… si la probabilidad de una suceso es p, después
de un número n grande de repeticiones, lo más
razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de
np veces”
Cardano
“Aquí hay otro camino disponible para alcanzar el
resultado deseado. Lo que no se puede hallar a
priori se puede obtener a posteriori, es decir,
mediante la observación múltiple de los resultados
de pruebas similares…”
Jacob Bernoulli
Teorema de Bernoulli
Es la ley de los grandes números, en su forma más
intuitiva y básica:
 X

P
p 1
 n

Certeza moral: probabilidad intuida, indicativa de un muy
alto grado de probabilidad, suficiente para la toma de
decisiones, aunque falto de certeza absoluta.
 X

P
p  0
 n

Y se dice que la frecuencia relativa X/n converge a la
probabilidad p.
“Hay certeza moral cuando la probabilidad es casi
igual a la certeza total... una cosa es considerada
moralmente cierta cuando tiene 999/1000 de
certeza, y otra será moralmente imposible cuando
tenga 1/1000 de certeza”
Bernoulli
Ley de los grandes números
La ley de los grandes números suele interpretarse en
forma equivocada:
– No es cierto que al lanzar una moneda n veces, la mitad
de ellas caerá águila y la otra mitad caerá sol
– Tampoco es cierto que si lanzamos la moneda el número
de veces que establece el teorema de Bernoulli, se va a
cumplir en automático que la frecuencia relativa de
obtener águilas no diferirá de la probabilidad p = 0.5, en
más de , porque la frecuencia relativa f = X/n es una
variable aleatoria y no un valor observado.
– No es cierto que la duración media de un juego específico
se pueda predecir con certeza, con solo conocer las
reglas establecidas.
Si se considera un conjunto grande de diferentes juegos
Ley de los grandes números
 Si se considera un conjunto grande de diferentes juegos de
lanzamiento de monedas, es razonable esperar que, en cierto
momento, las águilas estén en ventaja la mitad de las veces;
que es distinto a que haya igual número de águilas y soles.
 Si se realizan juegos de lanzamiento de monedas en un
número grande de lugares diferentes, es razonable esperar
que, si lanzamos la moneda el número de veces establecido
por Bernoulli, en cerca de (1 - ) % de ellas, la frecuencia
relativa observada diferiría de p = 0.5 en menos de .
 La duración media de un determinado juego no tiene nada
que ver con la duración media de un conjunto de juegos.
 Es bastante probable que el jugador que finalmente gana,
haya estado en ventaja prácticamente durante todo el juego.
Distribución multinomial
Si X es la variable aleatoria que describe el número de
águilas que caen, al lanzar consecutivamente tres veces
una moneda, también se puede considerar la variable
aleatoria Y, que describe el número de soles que caen.
Determine la función de masa de probabilidad conjunta
de las variables X e Y.
Distribución multinomial
Si un dados se lanzan ocho veces consecutivas,
determine la probabilidad de que haya caído tres veces
el 4, dos veces el 6, una vez el 1 el 3 y el 5, y ninguna
vez el 2.
n = número de ensayos = 8
Xi = número de veces que cae i = 1, 2,…, 6
pi = probabilidad de que caiga i = 1/6
Distribución multinomial
 Según el comportamiento mendeliano, la cruza de cierta




especie de ratones da por resultado crías negras, grises
y blancas, conforme a la relación 8:4:4. Calcule la
probabilidad de que, de diez ratones elegidos al azar, 6
sean negros, 3 grises y 1 blanco.
n = número de ratones considerados = 10
X1 = número de ratones negros; p1 = 8/16 = 0.5
X2 = número de ratones grises; p2 = 4/16 = 0.25
X3 = número de ratones blancos; p3 = 4/16 = 0.25
Distribución multinomial
Modelos directos e inversos
Modelo directo: describe el comportamiento de una
variable aleatoria generada mediante cierto proceso.
 la distribución binomial, que cuenta el número x de
éxitos en n ensayos
Modelo inverso: describe la conducta de otra variable
aleatoria, que cuenta o mide los eventos en sentido
inverso a la anterior.
 la distribución binomial negativa, que cuenta el
número x de ensayos para obtener k éxitos.
Distribución geométrica
El primer éxito en el ensayo x se presenta con
probabilidad máxima cuando la probabilidad de éxito p
es el recíproco de x.
Distribución geométrica
Si X es la variable aleatoria que describe el número de
volados requeridos para que caiga la primera águila,
considerando que la moneda no está cargada,
identifique la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria, determine su función de masa de probabilidad
y su función de distribución acumulada, calcule la
probabilidad de que se requieran exactamente tres
volados para obtener la primera águila, la probabilidad
de que se requieran más de dos volados, determine la
media, la varianza y el coeficiente de variación de la
variable aleatoria X.
Distribución geométrica
Un matrimonio decide tener tantos hijos como sea
necesario hasta que llegue una niña; suponiendo que la
probabilidad de que tener una hija mujer es 17/35,
calcule la probabilidad de que la pareja tenga en total,
tres hijos o más y determine el número total esperado de
hijos, entre niños y la niña, que tendrá el matrimonio.
Distribución geométrica
En un proceso de fabricación se sabe que, en promedio,
uno de cada 50 artículos sale defectuoso. Determine la
probabilidad de que el cuarto artículo que se
inspecciona resulte ser el primer artículo defectuoso.
Distribución binomial negativa
La probabilidad de que un pozo exploratorio resulte
productor de aceite es de 0.15. Si se perforan pozos
exploratorios hasta obtener cuatro productores, calcule
la probabilidad de que se tengan que perforar 10 o más
pozos y determine el número esperado de pozos a ser
perforados.
Distribución binomial negativa
Stefan Banach, un matemático fumador, siempre llevaba
dos cajas de fósforos, uno en su bolsillo izquierdo y otro
en su bolsillo derecho. Cada vez que necesitaba un
fósforo, escogía al azar uno de los dos bolsillos y sacaba
un fósforo de la caja correspondiente; suponga que cada
una de las cajas contenía originalmente N fósforos. Si al
intentar sacar un fósforo de un bolsillo descubrió que la
caja estaba vacía, él se preguntó ¿cuántos fósforos
quedarán en la otra caja? Sea X la cantidad de fósforos
restantes; determine su densidad de probabilidad.
Distribución binomial negativa
Considere un cable eléctrico constituido por varios
alambres de aluminio independientes; cuando el cable
se somete a una sobrecarga, la probabilidad de que un
alambre se fracture es 0.04. Si el cable debe ser
reemplazado cuando se hayan fracturado 3 alambres y
suponiendo que no ocurre la falla de 2 o más alambres
en una misma sobrecarga, determine la probabilidad de
que el cable pueda soportar al menos 5 sobrecargas,
antes de ser reemplazado.
Distribución de Pascal
El caballero e Méré sabía que en cuatro tiradas de un
dado perfecto, si apostaba por conseguir al menos un
seis, había una ventaja a su favor de 0.5177; en cambio,
en 24 tiradas de dos dados lanzados simultáneamente,
parecía haber una cierta desventaja y él no se explicaba
por qué ocurría esto, si la relación de 4 a 6 es la misma
que la relación 24 a 36.
El problema puede plantearse así: Si un jugador conoce
la probabilidad de éxito en una jugada, ¿cuántas
jugadas le garantizan obtener al menos un éxito con una
probabilidad de 0.5? Se entiende que las jugadas son
independientes, por lo que los resultados en cada una
de ellas no afectan los resultados futuros.
Distribución hipergeométrica
Se tiene en inventario 2,000 piezas de azulejo, 70 de las
cuales no fueron terminadas adecuadamente y es muy
probable que se quebrarán cuando sean expuestos a la
intemperie.
Desafortunadamente, las baldosas están todas
mezcladas y no es posible identificar visualmente las
defectuosas. Si un cliente compra 800 piezas, el número
de baldosas defectuosas que se lleva puede ser
estimado mediante una distribución hipergeométrica con
parámetros 800, 2000, 70.
Determine la FMP, la FDA, la probabilidad de que haya
al menos 30 piezas defectuosas, la media y la varianza.
Distribución hipergeométrica
Considere una urna que contiene 40 bolas blancas y 60
negras; si X es el número de bolas blancas, de un total
de 15 bolas extraídas de la urna, sin reemplazo, obtenga
la función de masa de probabilidad que modela el
problema, su función de distribución acumulada, su
media y su varianza.
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