Variables aleatorias y sus
distribuciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Variables aleatorias discretas
Media y varianza
La distribución binomial
Distribuciones continuas
La distribución normal
Una función de una variable
aleatoria
Características




Una variable aleatoria es una función con valores
numéricos y definida sobre un espacio muestral
Una variable aleatoria discreta toma diversos
valores con probabilidades especificadas por su
distribución de probabilidad
Utilidad de una v.a.: reduce el espacio de muestra
a uno más fácil de manejar
Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la
probabilidad de que haya un varón o menos?
Pr( X  1)  p ( 0 )  p (1) 
1
8

3
8

1
2
a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones”
b) Diagrama de su distribución de probabilidad
Variable aleatoria general X
Variable aleatoria



Frecuentemente interesa conocer más que el
resultado de un experimento aleatorio, una
función de dicho resultado.
Una variable aleatoria es una función con valores
numéricos y definida sobre un espacio muestral
Si lanzamos al aire tres monedas, podemos
definir la función como X:
X: número de caras que resultan del
experimento.
Variable aleatoria



Hemos definido una función del espacio
muestral en la recta. Tales funciones X,
cuyos valores dependen del resultado de
un experimento aleatorio se llaman
variables aleatorias.
Si toma ciertos valores aislados de un
intervalo, es v.a. discreta, sino continua.
La distribución se puede representar
como:
– Tabla
– Diagrama
– Fórmula
Distribución de probabilidad de una
variable aleatoria

La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria X es el conjunto de sus
posibles valores numéricos x1, x2,…,xn y
las probabilidades correspondientes Pi,
i=1,2,…,n tal que:
p ( xi )  0,  i



i 1
p ( xi )  1
La colección de pares (xi,p(xi)) es llamada
distribución de probabilidad.
Media y Varianza
Si el tamaño de la muestra aumentara
ilimitadamente, la distribución de
frecuencia relativa se fijaría en la
distribución de probabilidad.
 A partir de la distribución de frecuencia
relativa, se puede calcular la media y la
varianza de la muestra (Cap. 2)
 Es natural que a partir de la distribución
de probabilidad se calculen los valores
análogos con las siguientes definiciones:

Definiciones
Media
 
de población

x p( x)
x
Varianza

2


(x   )
2
p( x)
x
Se simplifica

2


x
x
2
como
p( x)  
:
2
Cálculo de la media y la varianza de X= número de varones
Función de densidad de
probabilidad

La función de densidad de probabilidad de
una variable aleatoria X se denota como:
f X (x)

Se define de modo tal que:
f X ( x)x

representa la probabilidad de ocurrencia de X en
el intervalo:
x

x 
,

2

x 
x 
2 

Función de densidad de una
Variable aleatoria
f x ( xi )  P[ X  xi ]
Propiedades
f x ( xi )  0

i
f x ( xi )  1
Esperanza de una variable
aleatoria

Sea X una V.A. continua que toma los valores
x1,x2,…xn con f.d. fx(xi), entonces:
n
E(X ) 
x
i
f x ( xi )
i 1

Si X es una V.A continua entonces:
E(X ) 




Xf x ( x ) dx
E(X) también se la conoce como media de X,
o media de la población y se la nota E(X)=μ
Varianza de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria con función de
densidad fx(x), definimos varianza de X:


2
 E [( X  E ( X )) ]  E [( X   ) ]
2
2
Si X es una variable discreta
 (x
Var ( X ) 
2
i
  ) f x ( xi )
  X 

Si X es una variable continua
Var ( x ) 



2
( X   ) f x ( x ) dx
Varianza de una variable aleatoria


La varianza sigma cuadrado es una medida de
dispersión de los valores de la variable aleatoria
con respecto a su centro de gravedad μ.
Consideremos una variable aleatoria con la
siguiente distribución de probabilidad.
X
f(x)


6
7
8
0.4 0.4 0.2
E(X)=6*0.4+7*0.4+8*0.2=6.8
Var(X)=(6-6.8)^2*0.4+(7-6.8)^2*0.4+
(8-6.8)^2*0.2=0.56
Transformación lineal Y de una v.a. X
Asimetría
Sesgo 
1
3
n
(x

n 1
i
 X)
i 1
Coeficient e de asimetría
 
sesgo

3
:
Distribuciones
Para una v. a. continua,
la función
de distribuci ón acumulada
FX ( x )  P[ X  x ] 

x

es :
f X ( x ) d x 
Es la probabilid ad de tener el valor
de X menor o igual que x
Función de distribución acumulada


Se define como la probabilidad de que la
variable aleatoria X sea menor o igual
que algún valor particular.
F(x)=P[X≤x]
Si X es una variable aleatoria discreta
FX ( x) 
 P[ X
xi  x

 xi ]
Como F(x) representa una probabilidad
es claro que 0≤F(x)≤1 además:
Función de distribución acumulada
a. Limite Fx=0
X→-oo
b. Limite Fx=1
X→+oo
c. Si x1 < x2 entonces Fx(x1) ≤ Fx(x2)

La función acumulada para la variable
aleatoria continua X será:
x
FX ( x )  P[ X  x ] 


f ( h ) dh
Distribuciones de variable discreta
(Probability Density Functions)
Distribuciones de variable
continua
Procesos de Bernoulli


Hay un cierto número de fenómenos aleatorios
conocidos como procesos de Bernoulli.
Se denominan ensayos de Bernoulli, a aquellos
ensayos independientes que repetidos un
número fijo de veces tienen las siguientes
características:
1) Hay sólo dos resultados posibles: éxito o
fracaso
2) La probabilidad de éxito es la misma en cada
ensayo. Independencia.
Ensayos de Bernoulli
Tirar una moneda, suponiendo que la
moneda es perfecta, cada tirada se
denomina un ensayo y tiene dos posibles
resultados: uno de ellos se considera
éxito. P(E)=p y P(F)=q
 Extraemos de una urna con 4 fichas rojas
y 3 azules una bolilla; anotamos su color y
la devolvemos a la urna. P(roja)=4/7 y
P(azul)=3/7
 Proceso de fabricación de artículos
electrónicos: elección de una muestra,
defectuoso o no defectuoso.

Distribución Binomial: para v.a.
discretas

En general, para n repeticiones
independientes de un ensayo de Bernoulli,
la probabilidad de obtener v éxitos está
dada por:
P X

v
v
n
n
. p .q
v
Coeficientes binomiales:
v
Distribución Binomial
Se define la variable aleatoria :
X= “número de éxitos en las n repeticiones”,
 Se dice que sigue una distribución binomial o
sigue un Modelo Binomial con parámetros n y p.
 E(X)=np
 Var(X)=npq
 La distribución acumulada es:

k
P X
k
v
0
v
n
n
.p .q
v
v
Ejemplos de variables binomiales

Consideremos el experimento de
lanzamiento de dos dados:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Distribuciones de variable
continua
a) Histograma de frecuencia relativa
b) Trazado a nueva escala en la densidad de f.r.
La suma de frec relativas es 1
Cubre un área total igual a 1
 Qué
sucede con la densidad de
frecuencia relativa de una v.a.
continua a medida que aumenta el
tamaño de la muestra?
 Influyen
menos las fluctuaciones de la
suerte.
 Permite una definición más clara de las
células
 Mientras el área permanece fija, la densidad
de frecuencia relativa tiende a la función de
densidad de probabilidad.
Relación entre la densidad de frecuencia relativa y
la densidad de probabilidad
Distribución normal (curva de Gauss)
f
X
( x) 
1
2

e
 x   
Z  




Curva campana simétrica
1  x 


2


2
Distribución Normal Standard
Una variable con distribución normal
estándar (μ=0 σ=1) se nota con la letra Z.
Si:
X  N ( , )
2
Conversión: la variable Z se define como:
Z 
X 

Para que tenga una distribución Normal estándar.
Efectos de escala
Distribución Normal

Se ve que -como
en cualquier
distribución
continua- la
probabilidad de
que P(X=a)=0 para
cualquier a. Luego
lo que se calculan
son áreas
(gráfico).
Distribución Normal
Ejemplos
Pr( Z  0 . 6 )  0 . 2743
Pr( 0 . 6  Z  1 . 3 ) 
Pr( Z  0 . 6 )  Pr( Z  1 . 3 ) 
 0 . 2743  0 . 0968  0 . 1775
Ejemplo
Pr(  1  Z  2 ) 
1  Pr( Z   1)  Pr( Z  2 )  
Pr( Z  2 )  0 . 0228
Pr( Z   1)  Pr( Z  1)  0 . 1587
1  0 . 1587  0 . 0228  0 . 8185
Distribución Normal

Es la más usada de las distribuciones continuas de
probabilidad, ya que es la distribución límite de varios
modelos, incluso discretos y ajusta muy bien a muchas
situaciones reales. Su función de densidad es la siguiente:
f ( x) 


e
1  (x ) 




2



2
2
Su forma es la conocida campana de Gauss. Una vez que
se especifican la media μ y el desvío estándar σ, la curva
normal queda completamente determinada.
Si una v.a. continua X sigue una distribución Normal con
parámetros μ y σ, lo denotamos como:
2
X  N ( , )
Distribución Normal
Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con
distintos valores de la media y la desviación típica. La
verde es la "normal reducida", de media cero y desviación
típica uno.
Distribución Geométrica

Definimos sobre Ω , la variable aleatoria X que
denota el número de repeticiones necesarias
hasta obtener el primer éxito. Es claro que dicha
variable asume los valores 1,2,3,….etc. Esta
variable aleatoria así definida sigue la
distribución:
q=1-p
 Esta variable con distribución geométrica tiene
las siguientes propiedades:
Distribución de Poisson


El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado
a menudo para variables aleatorias distribuidas
en el tiempo o en el espacio. Por ej: Número de
bacterias por cm3 de agua, número de
accidentes con motocicletas por mes, etc.
Para que el modelo de Poisson esté presente
debe verificar lo siguiente:
1) Los sucesos que ocurren en un intervalo (de
tiempo, región del espacio, etc) son
independientes de los que ocurren en cualquier
otro intervalo (de tiempo, región del espacio,
etc)
2) La probabilidad de que un suceso se presente,
es proporcional a la longitud del intervalo.
3) La probabilidad de que uno o mas sucesos se
presenten en un intervalo muy pequeño es tan
pequeña que puede despreciarse.
Distribución de Poisson
Distribución de Poisson

La función de densidad de probabilidad es:
e
P( X  k ) 

k
k!
 E(X)=λ
(1)
Var(X)= λ
 La función de distribución acumulada
(fda) esta dada por:
x
F ( x) 

i0
e


i!
i
Proceso de Poisson



Considere eventos aleatorios tales como el arribo de
aviones a un aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto,
el arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en
una fábrica, etc.
Estos eventos pueden ser descriptos por una función de
conteo N(t) definida para todos los t >=0.
Esta función de conteo representará el número de eventos
que ocurrirán en [0,t].
El tiempo cero es el punto en el cual la observación
comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante.
Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson,
la probabilidad de que N(t)=n es:
P ( N (t )  n ) 
e
 t
( t )
n!
n
(2)
Función de Densidad
P( X  k ) 
e


k!

k
P ( N (t )  n ) 
e
 t
( t )
n
n!
Si comparamos la ecuación (1) con (2) vemos
que N(t) tiene una distribución de Poisson con
parámetro α=λt, por lo tanto su media y su
varianza son:
E[N(t)] = α = λt = V[N(t)]
Distribución uniforme


Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.
Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en
el intervalo (a,b) si su función es la siguiente:
 1 ,a  x  b

f (x)   b  a
otro
 0 ,

La función de distribución acumulada esta dada por:
 0,
x  a
F ( x)  
b  a
 1,

x  a
,a  x  b
x b
La media y la varianza de la distribución están dadas por:
E(X ) 
ab
2
V (X ) 
(b  a )
12
2
Distribución uniforme
 1 ,a  x  b

f (x)   b  a
otro
 0 ,
Distribución triangular

 (b


f ( x)  
 (c


2( x  a )
 a )( c  a )
2(c  x )
 b )( c  a )
0,
f(x )
a  xb
b x c
otro
a

b
c
x
La esperanza es:
E(X ) 
abc
3
0,

2

(x  a)

 ( b  a )( c  a )
F ( x)  
2
(c  x )
1 

( c  b )( c  a )

1

x a
a  xb
b x c
x  c
Distribución Exponencial


Esta distribución ha sido usada para modelar
tiempos entre arribos cuando los arribos son
totalmente aleatorios (ver relación con Poisson).
Su función de densidad de probabilidad esta dada
por:
 e  x x  0
f (x)  


0
otro
La fda se define como
0

x

F ( x)  
t
t

e
dt

1

e

0
x 0
x 0
Distribución Exponencial
Distribución chi-cuadrado



Brinda un criterio de “bondad del ajuste”
Se usa para decidir si ciertas variables son
independientes o no
Def.: sea Z1, Z2, …Zk k distribuciones normales
estándar. Entonces
  Z  Z  .... Z
2
2
1
2
2
2
k
es la distribución chi-cuadrado con k grados de
libertad
Distribución para k=1,4,6,8
La distribución no es
simétrica
 Es sesgada a la
derecha
 Para valores grandes
de k la distribución
se acerca a la
distribución normal

K=1
K=4
Lectura obligatoria
 Cap.
4 Wonnacott - Págs 77-100
 Cap. 6 Rao – Págs 452-487
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variables aleatorias y sus distribuciones