Razonamiento inexacto
• La imprecisión, como así también la
incertidumbre, pueden ser tratadas
dentro del razonamiento aproximado
utilizando la lógica difusa en lo que
se denomina teoría de las
posibilidades, en oposición a la
conocida teoría de las
probabilidades.
Razonamiento inexacto
• Es necesario cuantificar y razonar
acerca de términos o predicados
difusos que aparecen en el lenguaje
natural.
• La lógica difusa se refiere a estos
términos como variables lingüísticas,
y la tecnología de los sistemas
expertos, incorpora estas variables
lingüísticas en reglas que pasan a
ser reglas difusas.
Razonamiento inexacto
• Los sistemas difusos aparecieron alrededor
de 1920 y fueron propuestos por Lukasiewicz
que estudió la representación matemática de
términos difusos (fuzzy) tales como “alto”,
“viejo” o “caliente”.
• La motivación surgió como resultado de que
Lukasiewicz interpretó que este tipo de
términos desafían la representación en los
valores [ 0,1] de la lógica Aristotélica:
verdadero o falso.
• Lukasiewicz desarrollo un sistema de lógica
que extiende el rango de los valores de
verdad a todos los números reales en el
Razonamiento inexacto
• Lukasiewicz utilizó un número en este
conjunto [0,1] para representar la
“posibilidad” que una determinada sentencia
fuera verdadera o falsa. Por ejemplo, la
posibilidad de que una persona de 1,80mts.
de estatura es realmente alta, podría ser
indicada como 0.9; esto es: muy
posiblemente que la persona es alta.
• Estas investigaciones condujeron a formalizar
una técnica para el razonamiento inexacto
denominada acertadamente: teoría de las
Razonamiento inexacto
• En 1965, Zadeh extendió el trabajo de la
teoría de las posibilidades a un sistema
lógico-matemático formal.
• Zadeh trajo una colección de conceptos
valuables la atención para la realización de
trabajos que involucraban términos difusos
del lenguaje natural.
• Esta nueva herramienta lógica para la
representación y manipulación de términos
difusos fue denominada “lógica difusa” (fuzzy
logic).
Razonamiento inexacto
• Por definición “logica difusa” es una rama
de la lógica que utiliza conjuntos asociados a
grados de pertenencia en lugar de los
estrictos valores verdadero o falso para
indicar la pertenencia como se utiliza en la
teoría de los conjuntos clásicos.
• Estos conjuntos reciben la denominación de
“conjuntos difusos”.
Razonamiento inexacto
• La lógica difusa concierne a la cuantificación
y razonamiento de términos vagos o difusos
que aparecen en el lenguaje natural cotidiano.
En la lógica difusa, estos términos son
denominados variables lingüísticas.
• Por definición, variables lingüísticas son
términos que describen algún concepto que
usualmente tiene asociados valores vagos o
difusos.
Razonamiento inexacto
Variable lingüística
Valores típicos
temperatura
caliente, frío
altura
baja, media, alta
velocidad
lenta, normal, rápida
Razonamiento inexacto
• La lógica difusa está basado en la teoría
de los conjuntos difusos, que a
diferencia de la tradicional teoría de
conjuntos, en la cual un elemento
pertenece o no al conjunto, esta teoría
asigna valores de pertenencia a los
elementos que están asociados con dicho
conjunto difuso. Los valores de
pertenencia se establecen en un rango de
0 a 1.
Razonamiento inexacto
• La sentencia “Juan es alto” implica la variable
lingüística “estatura” que tiene como valor
lingüístico “alto”. El rango de los posibles
valores de la variable lingüística (estatura) es
el universo de discurso X de dicha variable
(.3 @ 2.5mtrs).
• La frase “Juan es alto” ocupa una sección del
universo de discurso de la variable, y es un
conjunto difuso.
Razonamiento inexacto
• Definiendo a un hombre alto con una estatura
comprendida entre 1.75 y 1.85 metros, la teoría de
conjuntos le asignaría un grado de pertenencia de 1, a
todos los hombres cuya altura estuviera comprendida en
el rango antes indicado, y según la cual, todos los
hombre fuera de este rango no serían considerados
como altos sin posibilidad de ninguna tolerancia. Por el
contrario, la representación mediante un conjunto difuso,
permite extender de una manera más natural, el
concepto asociado a la idea de un hombre alto y así, un
hombre de 1.73 de altura será considerado también
dentro del conjunto pero con un menor grado de
pertenencia, 0.9 al conjunto de los hombres altos.
Razonamiento inexacto
•grado de pertenencia
•1
•0.9
•0
•1.65
•1.75
•1.73
•1.85
•1.95
•altura en mts.
Razonamiento inexacto
• Suponiendo que X es el universo de discurso
de la variable lingüística estatura, y un
elemento de dicho universo es x (la estatura
de un hombre), entonces si A es un conjunto
difuso que define a los hombres altos de
dicha variable lingüística, este estará
caracterizado por la siguiente función:
 A (x) : X  [0,1]
• denominada función de pertenencia del
conjunto A, cuyo rango o universo de
discurso, es X.
Razonamiento inexacto
• Esta función representa el grado en que
un elemento x, pertenece al conjunto
difuso A.
 A (x) = grado (x  A)
• El valor de pertenencia de x está
circunscrito a la siguiente relación:
0 <= A (x) <=1
Razonamiento inexacto
• Para otras descripciones de la variable
lingüística estatura tales como: baja o
media, se pueden obtener otros
conjuntos difusos que reflejan la opinión
popular (o de expertos, según sea el
caso). En general se pueden definir
múltiples conjuntos difusos para un
mismo universo de discurso, y estos
conjuntos representan adjetivos o
subconjuntos difusos definidos sobre
la variable lingüística estatura.
Razonamiento inexacto
• El número 10 difuso, puede
representarse con un conjunto de
números entre 7 y 13 con distintos grados
de pertenencia al conjunto difuso 10
donde  10 (10) = 1,  10 (7) =  10 (13) = 0.
La representación, corresponde a una
geometría triangular que responde a las
expectativas de conjunto difuso 10.
Razonamiento inexacto
• 10 (10)
•1
• 10 (7)
• 10 (13)
•0
•7
•10
•13
Razonamiento inexacto
•
•
•
•
•
 10 (x) = 0 para
x<a y x>d
 10 (x) creciente
monotonicamente para x < b y x >
a
 10 (x) decreciente
monotonicamente para x < d y x
>c
 10 (x) = 1 para
c x  b
La representación triangular de un
número difuso es un caso particular
Razonamiento inexacto
Considerando ahora un universo de
discurso discreto, tal que los elementos
de X sean { x1, x2, .....xn} y, siendo A un
conjunto difuso definido en dicho
universo se establece una función A (x)
que mapea los elementos xi de X
asignándoles un grado de pertenencia en
[0,1]. Es decir,  A (x) = grado (x  A), y
para un conjunto discreto deviene un
vector:
A = ( a , a , .....a ) donde a =  (x )
Razonamiento inexacto
La representación del vector se clarifica
utilizando el símbolo “ / “ que asocia el
valor de pertenencia ai con la
coordenada de xi :
A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn )
Considerando el conjunto difuso alta
asociado a la variable lingüística
estatura:
ALTA = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)
Razonamiento inexacto
También se expresa como:
A = ( a1 /x1+ a2/x2+.....+an/ xn )
A = SUMATORIA A(xi)/xi para i=1 @n
Si X es un a función continua, el conjunto
A, este puede ser representado como:
A = INTEGRAL A(xi)/xi
Razonamiento inexacto
Para un conjunto continuo de elementos, se
necesita una función que mapea los elementos a
sus valores de pertenencia.
Las funciones típicas son las funciones
estadística, no obstante, el diseñador puede
definir sus propias funciones acorde con el
problema.
Debido a la carga computacional que suponen
estas funciones, en la práctica se recurre al
expediente de utilizar una función lineal
segmentada para representar el conjunto
borroso. Para obtener este ajuste lineal, cada
conjunto borroso se codifica con un vector de
Razonamiento inexacto
La lógica difusa trata con proposiciones
difusas que asigna un valor a una variable
lingüística tal como “estatura”, el valor
“estatura es alta”, mediante un conjunto
difuso A, definido sobre el universo de
discurso X de la variable lingüística.
Analogamente, para la variable lingüística
“peso”, el valor “peso elevado”,se define
en el universo de discurso Y de dicha
variable lingüística.
Razonamiento inexacto
Una regla difusa relaciona dos
proposiciones difusas, por ejemplo
considerando dos conjuntos difusos tales
como A (estatura es alta) y B (peso es
elevado), estos pueden estar relacionados
por la regla:
If A Then B
y los sistemas expertos difusos almacenan
las reglas como asociaciones difusas
(A,B), en una matriz M denominada matriz
asociativa difusa y que mapea el conjunto
difuso A en el conjunto difuso B,
Razonamiento inexacto
Como en otras técnicas de razonamiento
inexacto, el proceso de inferencia difusa
intenta establecer la credibilidad
conclusión de la regla dada una cierta
evidencia en la premisa. Sin embargo,
puesto que las proposiciones contenidas
en una reglas difusa son conjuntos
difusos, la lógica difusa debe mapear el
conjunto de información de la premisa al
conjunto de información de la conclusión.
Razonamiento inexacto
Los conjuntos difusos A y B, pueden ser
representados como vectores de ajuste, y
capturar sus relaciones en la matriz
asociativa difusa M.
Disponiendo de la matriz M que se obtiene
a partir de AB, el proceso de inferencia
difusa permite a partir de información A’
como un subconjunto de A, inducir un
subconjunto B’ de B, que cuantifica la
credibilidad de la regla, es decir: AB
entonces A’B’ .
Razonamiento inexacto
Para derivar el conjunto difuso inducido, el
proceso de inferencia se basa en el
producto difuso vector-matriz que se basa
en el producto vector-matriz clásico.
Razonamiento inexacto
•
El producto difuso vector-matriz que se
basa en la técnica de composición maxmin, definida por el operador “ ”.
• AM=B
•
cada componente bj se calcula como
sigue:
•
bj = max{ min ( A (xi) , mij }
Razonamiento inexacto
•
Producto difuso vector-matriz, un ejemplo
conociendo A, M y la regla de construcción
de los términos de B:
Razonamiento inexacto
•
Por la definición del producto vectormatriz:
•
•
b1 = max{min(.2, .1), min(.4, .6),
min(.6, .8), min(.1, .0)}
•
y en general resultará:
Razonamiento inexacto
•
Según un trabajo de Zadeh de 1985, se
considera al conjunto difuso como una
función de distribución de posibilidades
que mapea elementos de algún universo
de discurso en un número entre 0 y 1 que
refleja el grado de credibilidad sobre la
pertenencia del elemento al conjunto
difuso. Es decir:
•
Distribución de posibilidades =  A (x) = A
Razonamiento inexacto
•
Considerando una distribución de
posibilidades condicional A/B , Zadeh
establece que la distribución de
posibilidades de B esta dada por:
• A  A/B = B
•
donde A es un vector (1 x n), A/B es
una matriz (n x p) y B es un vector (1 x
p) .
Razonamiento inexacto
•
•
•
•
Zadeh establece que poniendo alguna
información sobre A, sea A’; se obtendría
información sobre B, o sea B’.
Zadeh denominó a esta técnica:
compositional
rule of inference.
Zadeh interpreta que la matriz A/B , como
los pares de implicación entre A y B
Razonamiento inexacto
•
•
En la inferencia max-min, el operador de
de la implicación utilizado es el “min”, es
decir:
• mij = min(ai,bj)
Entonces, dados los vectores de ajuste de
A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado
el vector de ajuste de A’, se puede inducir
el subconjunto B’.
Razonamiento inexacto
•
•
•
Ejemplo: se un universo de discurso X que
representa “temperatura”, y A un conjunto
difuso que representa “temperatura
normal”.
Asumiendo Y que representa “velocidad” y
un B que representa “velocidad media,
entonces si tenemos la siguiente regla
difusa:
If temperatura normal
• Donde se asume que el subconjunto A’, es
una lectura única que mapea una función
de pertenencia valorada en 0.5 para el
conjunto difuso “temperatura normal”, este
induce un conjunto difuso B’:
Razonamiento inexacto
•
Cuando A’ tiene un solo valor de
pertenencia distinto de 0, por ejemplo xk se
puede utilizar solo  A (xk) directamente
con la representación de B,  B (y) para
inducir B’ como
•
B’ =  A (xk)   B (y)
Razonamiento inexacto
En el ejemplo, nosotros asumimos que la
temperatura es de 125 grados A’ tiene un
solo valor de pertenencia distinto de 0, y
resulta
 A (x) = 0.5, y:
•
•
B’ = [min(.5, 0), min(.5, .6), min(.5, 1),
min(.5, .6), min(.5, 0) =
= (0, .5, .5, .5, 0)
Razonamiento inexacto
En el caso que la entrada a la regla sea
una lectura difusa, nosotros podemos
considerar la intersección de A y A’, es
decir:
min (ai, a’i) para inducir el B’
Razonamiento inexacto
•
•
En la inferencia max-producto, el operador
de de la implicación utilizado es:
• mij = ai,bj
Entonces, dados los vectores de ajuste de
A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado
el vector de ajuste de A’, se puede inducir
el subconjunto B’.
Razonamiento inexacto
•
El método numérico desarrollado para reglas
unarias puede ser extendido a reglas con
cláusulas múltiples en la premisa vinculadas por
operadores de conjunción o disyunción.
•
Si A and/or B Entonces C
•
La extensión del método consiste en
incorporar las matrices asociativas a cada uno
de los conjuntos difusos A y B involucrados en
la regla y resolverlos conforme a la naturaleza
del operador que los vincula.
Razonamiento inexacto
•
•
A’  MAC = CA’
B’  MBC = CB’
•
•
luego para la conjunción resulta:
C’ = (A’  MAC)  (B’  MBC) = CA’  CB’
•
•
y para la disyunción deviene:
C’ = (A’  MAC)  (B’  MBC) = CA’  CB’
Razonamiento inexacto
•
El efecto de la combinación de las
conclusiones de varias reglas y el valor
resultante del aporte de cada una de ellas,
permite suponer que el resultado de la
composición es la unión, o sea:
• C’ = C’1  C’2  C’3 ....... C’n
• y según las operaciones entre conjuntos
difusos descriptas, resultará:
•
C’ = max (C’1 , C’2 , C’3 ,...... , C’n)
Razonamiento inexacto
• 10 (10)
•1
•0
•7
•8
•12
•13
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fuzzy-Aleh - Departamento de Sistemas e Informática