RAZONAMIENTO APROXIMADO
Sistemas Difusos (Fuzzy Systems)
Ingeniería del Conocimiento
Ingeniería Electrónica
REALIDAD
El conocimiento que necesitamos para
desarrollar un Sistema basado en
Conocimiento tiene muchas veces las
siguientes características:
NO ES DEL TODO
CONFIABLE
INCOMPLETO
IMPRECISO
CONTRADICTORIO
REALIDAD
Las personas con esas fuentes de
conocimiento, dotadas de esas
características, razonamos y
muchas veces concluímos …
CAPACIDAD DE RAZONAR
APROXIMADAMENTE
PROBLEMA
Como modelizamos estas
características del conocimiento, de
modo de poder:
REPRESENTARLO
UTILIZARLO
REALIDAD
La lógica clásica es un buen modelo
para formalizar cualquier
razonamiento basado en información
certera (V o F)
NECESITAMOS OTROS FORMALISMOS
REALIDAD
El desarrollo de la IA ha incentivado
el estudio de formalismos que son
alternativos o complementarios a la
lógica clásica
INVESTIGACION Y DESARROLLO DE
OTROS FORMALISMOS
CONOCIMIENTO IMPRECISO
El conocimiento cuenta con predicados o
cuantificadores vagos (no precisos)
Ejemplos:
•Pedro tiene entre 20 y 25 años.
•Juan es joven
•Mucha gente juega al fútbol
•El espectáculo es para gente grande.
RAZONAMIENTO APROXIMADO (RA)
Trata como
REPRESENTAR
COMBINAR y
REALIZAR INFERENCIAS
con conocimiento impreciso y/o
incierto
RA: Distintos modelos
MODELOS PROBABILISTICOS
MODELO POSIBILISTICO
 Todos tratan la incertidumbre en un
sistema de producción
 Sólo el modelo posibilístico puede tratar la
imprecisión.
Razonamiento inexacto
Es necesario cuantificar y razonar acerca
de términos o predicados difusos que
aparecen en el lenguaje natural.
La lógica difusa se refiere a estos términos
como variables lingüísticas, y la
tecnología de los sistemas expertos,
incorpora estas variables lingüísticas en
reglas que pasan a ser reglas difusas.
10
Lógica difusa
 Introducción
 Teoría de conjuntos difusos
• Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)
• Conjuntos Difusos
–
–
Funciones de pertenencia
Etiquetas lingüísticas
• Operaciones elementales con conjuntos difusos
–
–
–
Complemento
Intersección
Unión
 Razonamiento difuso
• Inferencia difusa
• Decodificación
 Funcionamiento de un sistema difuso
 Conclusiones
11
Necesidad de razonamiento difuso
En el mundo real existe mucho conocimiento con las
siguientes características: conocimiento vago,
impreciso, incierto, ambiguo, inexacto, o probabilístico
por naturaleza.
El razonamiento y pensamiento humano frecuentemente conlleva información de este tipo:
• imprecisión inherente de los conceptos humanos y
• razonamiento basado en experiencias similares, pero no
idéntica
Problema: Poca capacidad de expresión de la lógica
clásica.
 Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o bajas
 Ejemplo 2. Definición del término joven
12
Going Fuzzy …
Examples of Fuzzy statements:
The motor is running very hot.
Tom is a very tall guy.
Electric cars are not very fast.
High-performance drives require very rapid
dynamics and precise regulation.
 Leuven is quite a short distance from Brussels.
 Leuven is a beautiful city.
 The maximum range of an electronic vehicle is
short.




If short means: 300 km or less, would 301 km be
long ?
 Want to express to what degree a property holds.
13
Fuzzy sets:
Are functions: f: domain  [0,1]
Crisp set (tall men):
1
0
150
160
170
180
190
200
210 cm
180
190
200
210 cm
Fuzzy set (tall men):
1
0
150
160
170
14
Representing a domain:
Crisp sets (men’s height):
1
short
0
150
160
tall
medium
170
180
190
200
210 cm
200
210 cm
Fuzzy set (men’s height):
1
short
short
0
150
160
medium
170
180
tall
190
15
Lógica difusa
En 1965, Lofti Zadeh sienta las bases de la
lógica difusa
 Motivación inicial: estudio de la vaguedad
Relación vaguedad  incertidumbre
 Solución: definir conjuntos con grados de
pertenencia
 Éxito de la lógica difusa :
Desde el punto de vista práctico: miles de
aplicaciones, la mayoría en sistemas de control
• Desde el punto de vista lógico: lógica fuzzy como una
lógica multivaluada.
•
16
Características principales de la lógica
difusa




Se intenta representar la vaguedad e
imprecisión inherentes en el lenguaje natural
Utiliza varios elementos: conjuntos difusos,
variables difusas, relaciones difusas, reglas
difusas (lenguaje difuso)
Dichos elementos se combinan entre sí en el
proceso de inferencias (fuzzy logic)
Fuzzy control: El proceso de inferencias
incluye pasos que pasan la información
precisa a difusa y viceversa
17
Lógica difusa
Por definición “logica difusa” es una rama de
la lógica que utiliza grados de pertenencia a
los conjuntos (grados de verdad de las
fórmulas) en lugar de los estrictos valores
verdadero o falso.
Estos conjuntos reciben la denominación de
“conjuntos difusos”.
18
Lógica difusa
La lógica difusa concierne a la cuantificación y
razonamiento sobre términos vagos o difusos
que aparecen en el lenguaje natural cotidiano.
En la lógica difusa, estos términos son
denominados variables lingüísticas.
variables lingüísticas: son términos que
describen algún concepto que usualmente
tiene asociados valores vagos o difusos.
19
Lógica difusa
Variable lingüística
Valores típicos
temperatura
caliente, frío
altura
baja, media, alta
velocidad
lenta, normal, rápida
20
Difusión de fuzzy logic
•
En la actualidad es un campo de investigación muy importante,
tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por
sus aplicaciones prácticas:
 Revistas (Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems..)
 Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...)
 Miles de aplicaciones reales:
Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas en plantas
hidroeléctricas, centrales
térmicas, lavadoras, metros
ascensores...
• Predicción
y optimización: Predicción de terremotos,
optimización de horarios...
• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador:
Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de
escritura, reconocimiento de objetos, compensación de
vibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático...
• Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos,
sistemas expertos...
•
21
Un poco de publicidad...
OLYMPUS ERGONÓMICA SRL 28-120
Poderoso lente zoom de 4.3x, 28-120 con elementos de
lentes de cristal ED Sistema de flash doble incorporado.
Ajuste de Exposición Automática programada Sistema
de Medición TTL: Fuzzy logic ESP, Promedio Balanceado
al Centro
AEG Lavamat 64600
Carga: 5kg
Revoluciones: 1400 rpm
Características energéticas: A+,A,B
Multi-Display
Fuzzy Logic
Programas especiales: Lavado a mano, Seda, Lana
22
Conjuntos difusos

Conjuntos clásicos (crisp)
 A  U definido por su función de pertenencia
 A: U  {0,1} / A(x)= 1 sii x  A
Conjunto
difuso (Fuzzy set) A de U
 A: U  [0,1]
 A(x) me define el grado de pertenencia de
xaA
 Hay “distintos grados de pertenencia”
23
Conjuntos difusos
La sentencia “Juan es alto” implica la variable
“estatura” que tiene como valor lingüístico
“alto”. El rango de los posibles valores de la
variable lingüística (estatura) es el universo de
discurso X de dicha variable [0.3, 2.5m].
La frase “Juan es alto” restringe los valores de la
variable estatura y se puede representar
mediante un conjunto difuso.
24
Conjuntos difusos


Para otras descripciones de la variable
lingüística estatura tales como:
baja o
media, se pueden obtener otros
conjuntos difusos que reflejan la opinión
popular (o de expertos).
se pueden definir múltiples conjuntos
difusos para un mismo universo de
discurso: subconjuntos difusos
representando distintos términos vagos.
25
26
Funciones de pertenencia
Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son:
• Función GAMMA ():
0
 x  a
 (x )  
m  a
1
para
x a
para
axm
para
x m
1
a
m
a
m
• Función L
1
Puede definirse simplemente como 1
menos la función GAMMA
• Función LAMBDA o triangular
0
 xa

m  a
(x )  
 bx
b  m
 0
para x  a
1
para a  x  m
para m  x  b
para x  b
a
m
b
27
Funciones de pertenencia
• Función PI o trapezoidal
0
x  a

 b  a
(x )   1
d  x

bc
 0
para x  a
para a  x  b
1
para b  x  c
para
cxd
a
b
c
d
para x  d
28
Funciones de pertenencia
• Función S
para x  a
0
2

ac
xa
2 
para a  x 
 ,

ca
2
 S (x)   
2
 1  2  x  a  , para a  c  x  c



2
ca
1
para x  c

a
(a+c)/2
c
• Función Z (opuesta de la S)
Z(x) = 1- S(x)
• Función P
 S (x)
 P (x)  
 Z ( x )
para x  b
para x  b
b-d
b
b+ d
29
Canjunto difuso - espacio discreto
Considerando ahora un universo de discurso
discreto, tal que los elementos de X sean { x1,
x2, .....xn} y, siendo A un conjunto difuso
definido en dicho universo:


La representación del vector se clarifica
utilizando el símbolo “ / “ que asocia el valor
de pertenencia ai con la coordenada de xi :
A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn )
Considerando el conjunto difuso alto
ALTO = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)
30
Canjunto difuso - espacio discreto
También se expresa como:
A = ( a1 /x1+ a2/x2+.....+an/ xn )
A = i=,1,n A(xi)/xi
Si X es una función continua, el conjunto
A, este puede ser representado como:
A =  A(xi)/xi
31
Etiquetas lingüísticas - Hedges




Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural
Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya
existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo
Lo que se hace es componer la función de pertenencia
con alguna otra función, de forma que la función
resultante tenga la forma deseada
Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2
1
viejo
Muy viejo
0
32
Etiquetas lingüísticas
Existe todo un catálogo de adverbios/funciones
Nombre del modificador
Descripción del modificador
not
1-y
very (muy)
y2
somewhat (algo)
y1/3
more-or-less (más o menos)
y1/2
extremely (extremadamente)
y3
33
Etiquetas lingüísticas
 Otras
operaciones usuales
Normalización
f(y) = y/Altura
1
Concentración
f(y)=yp, con p>1
0
Dilatación
f(y)=yp, con 0<p<1
1
0
Intensificación contraste
 2 p 1 y p
f (y) 
p 1
p
1  2 (1  y )
1
para y  0.5
en otro caso
0
Difuminación
1
 y / 2
para y  0.5
f (y) 
1  (1  y ) / 2 en otro caso
0
34
Operaciones con conjuntos difusos
Complemento (Negación)
Dado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido
por
 A ( x )  c (  A ( x ))
Las funciones c para el complemento más utilizadas
son:
1
• c(a) = 1 - a.
0
1
• Yager cw(a) = ( 1 - aw)1/w
w [0, ]
0
1
• Sugeno cl(a) = (1-a)/(1-la) l [0, 1]
0
35
Operaciones con conjuntos difusos
Intersección (conjunción)
Dados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá
definida por
 A B ( x) = i(  ( x),   (x ))
Las funciones i que verifican las propiedades
que se esperan de una conjunción se llaman
normas triangulares (t-normas).
36
Operaciones con conjuntos difusos
Algunas t-normas usuales:
1
• t-norma del mínimo
imin(a,b) = min(a,b)
0
1
• t-norma del producto i*(a,b) = ab
0
1
• t-norma del
producto drástico
i inf ( a , b ) =
 a

 b

 0
si b = 1
si a = 1
en o tro caso
0
37
Operaciones con conjuntos difusos
Unión (disjunción)
Dados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá
definida por
AuB(x) = u(A(x), B(x))
Las funciones u que verifican las propiedades
esperadas para una disjunción se llaman:
conormas triangulares (t-conormas).
38
Operaciones con conjuntos difusos
Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las tconormas correspondientes a las t-normas anteriores son:
• t-conorma del máximo
1
umax(a,b) = max(a,b)
0
1
• t-conorma de la suma u*(a,b) = abab
• t-norma de la
suma drástica
u su p ( a , b ) =
 a

 b

1
si b = 0
0
1
si a = 0
en o tro caso
0
39
Operaciones con conjuntos difusos
Considerando la t-norma del mínimo (intersección,
AND) junto con la t-conorma del máximo (unión, OR)

Conjuntos vacío y total:
 Conjunto vacío
 Conjunto total
(X crisp)
 xX
 xX
  x = 0
 X  x = 1
Sin embargo, con esta definición no se satisfacen
algunos famosos principios de la lógica clásica, como
por ejemplo:
A  A = 
A  A = X
Principio de contradicción
Principio del tercero excluso
40
Razonamiento difuso
Proposición difusa simple:
 Proposición que asigna un valor a una variable difusa:
“Pepe es de estatura mediana”.
 Tiene asociado un conjunto difuso (función de
pertenencia).
Proposición difusa compuesta:
 Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples
“la velocidad es normal” AND “el objeto está cerca”
“la velocidad es alta” OR “el objeto está muy cerca”
“la velocidad NO es alta”
Necesidad de definir operadores difusos:
 NO (¬p)
¬A(u) = 1 - A(u)
 AND (pq) vendrá definida por una función de pertenencia tipo
t-norma, por ejemplo  AB (u,v) = min( A(u), B(v))
 OR (pq) vendrá definida por una función de pertenencia tipo tconorma, por ejemplo AUB(u,v) = max(A(u), B(v))
41
Razonamiento difuso: implicaciones
El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es
decir, asignar una función de pertenencia a una
agrupación antecedente consecuente del tipo pq
Esto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como:
SI “la velocidad es normal”
ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”
Opciones:
 Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la
lógica clásica.
pq  pq
pq(u,v) = max(1-A(u), B(v))
pq  ~(p(~q))
pq(u,v) = 1 – min[A(u), 1-B(v)]
 Práctica: Dar a la implicación el significado de relación
causa-efecto:
Implicación de Mamdani
pq  AB  pq(u,v) = min( A(u), B(v))
42
Inferencia Difusa – Fuzzy inference

Una regla difusa relaciona dos proposiciones
difusas, por ejemplo considerando dos
conjuntos difusos tales como A (estatura es
alta) y B (peso es elevado), estos pueden
estar relacionados por la regla:
If A Then B
Los sistemas expertos difusos almacenan las
reglas como asociaciones difusas (A,B), en
una matriz M denominada matriz asociativa
difusa.
43
Matriz asociativa difusa.
44
Inferencia Difusa – Fuzzy inference
Como en otras técnicas de razonamiento
inexacto, el proceso de inferencia difusa
intenta establecer la credibilidad conclusión de
la regla dada una cierta evidencia en la
premisa.
If A Then B
A*
B* ???
45
Funcionamiento de un sistema de control
basado en lógica difusa
Entrada
crisp
Codificador
Reglas
Decodificador
x Up
Salida
crisp
y=f(x) V
u Up
Conjuntos
difusos entrada
Inferencia
v V
Conjuntos
difusos salida
46
Inferencia Difusa – Fuzzy inference
Disponiendo de la matriz M que se obtiene
a partir de AB, el proceso de inferencia
difusa permite a partir de información A’
(subconjunto de A), inducir un subconjunto B’
de B.
Técnicas de inferencia difusas:


Inferencia max-min
Inferencia max-product
47
Inferencia max-min
El operador de de la implicación utilizado es el
“min”, es decir:
mij = min(ai,bj)


Entonces, dados dos conjuntos difusas A y B, se
obtiene la matriz M.
Luego, dado el conuunto A’, se puede inducir el
subconjunto B’.
48
Inferencia max-min
Ejemplo: sea un universo de discurso X que
representa “temperatura”, y A un conjunto
difuso que representa “temperatura normal”.
Asumiendo que Y representa “velocidad” y un B
que representa “velocidad media”, entonces si
tenemos la siguiente regla difusa:

If temperatura normal Then velocidad media

IF A THEN B
49
Inferencia max-min - Ejemplo
50
A’ representa una entrada de t=125º
51
El subconjunto A’ (lectura única)
induce un conjunto difuso B’ utilizando la
composición max-min:
52
Inferencia max-min - Ejemplo
53
Inferencia max-min - Observación
Cuando A’ tiene un solo valor de pertenencia
distinto de 0, por ejemplo xk se puede utilizar
solo  A (xk) directamente con la representación
de B,  B (y) para inducir B’ como
B’ =  A (xk)   B (y)

Truncamiento del conjunto difuso B
por el valor  A(xk)
54
Inferencia max-min - Ejemplo
En el ejemplo, nosotros asumimos que la
temperatura es de 125 grados A’ tiene un solo
valor de pertenencia distinto de 0, y resulta
 A (x) = 0.5
Luego:
B’ = [min(.5, 0), min(.5, .6), min(.5, 1),
min(.5, .6), min(.5, 0) =
= (0, .5, .5, .5, 0)
55
Inferencia max-min - Observación
En el caso que la entrada a la regla sea una
lectura difusa A’, nosotros podemos considerar
la intersección de A y A’, es decir:
min (ai, a’i) para inducir el B’
56
57
Inferencia max-product
El operador de de la implicación utilizado es el
producto en lugar del min:
mij = ai * bj


Dados los conjuntos difusos A y B, se obtiene la
matriz M.
Luego, dado el vector de ajuste de A’, se puede
inducir el subconjunto B’.
58
Inferencia max-product: Ejemplo
59
Inferencia max-product : Ejemplo
 A partir de la nueva matriz M se utiliza nuevamente la
composición Max-min:
60
Inferencia max-product: Ejemplo
61
Inferencia Difusa
El método numérico desarrollado puede ser
extendido a reglas con cláusulas múltiples en la
premisa vinculadas por operadores de
conjunción o disyunción.
Si A and/or B Entonces C
La extensión del método consiste en incorporar
las matrices asociativas a cada uno de los
conjuntos difusos A y B involucrados en la regla
y resolverlos conforme a la naturaleza del
62
operador que los vincula.
Inferencia Difusa
A’  MAC = CA’
B’  MBC = CB’
luego para la conjunción resulta:
C’ = (A’  MAC)  (B’  MBC) = CA’  CB’
y para la disyunción deviene:
C’ = (A’  MAC)  (B’  MBC) = CA’  CB’
63
Inferencia Difusa
El efecto de la combinación de las
conclusiones de varias reglas:
R1: A1  C, ... Rn: An  C
y el valor resultante del aporte de cada una de
ellas, permite suponer que el resultado de la
composición ( la unión):
C’ = C’1  C’2  C’3 ....... C’n
según las operaciones entre conjuntos difusos
C’ = max (C’1 , C’2 , C’3 ,...... , C’n)
64
Decodificación - defuzzyfication



Una vez llevado a cabo el proceso de
razonamiento difuso, es necesario dotar al sistema
de la capacidad de tomar decisiones. Así por
ejemplo, el sistema debe saber qué fuerza de
frenado que debemos aplicar si la velocidad es
alta
Para ello se utilizan las llamadas técnicas de
decodificación, que transforman un conjunto difuso
en un valor nítido.
Las más usuales son:
 El valor máximo (es decir, el más posible).
 El centroide o centro de gravedad difuso
x
y centroide 
A ( x)
x X

x X
A (x)
65
En resumen






La lógica difusa se concibió originalmente como
un método mejor para manejar y almacenar
información imprecisa
Ha demostrado ser una excelente alternativa para
sistemas de control, ya que imita a la lógica de
control humana
Se pede incluir en cualquier sistema, desde
dispositivos pequeños a sistemas de control
complejos
Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo
para operar con datos de entrada de una forma
parecida a la usa un operador humano
Es robusta y no demasiado dependiente de los
datos de entrada y operadores elegido
Incluso las primeras versiones funcionan bastante
66
bien, con escasa necesidad de ajustes
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Conjuntos difusos - Departamento de Sistemas e Informática