E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA
ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
Antonio J Barbero
Departamento de Física Aplicada
UCLM
1
PROBLEMA 1
Entre dos planos conductores indefinidos paralelos
separados una distancia z0 y conectados a
potenciales 0 y +V0, según se muestra en la figura,
existe una distribución continua de carga negativa
dada por la ecuación
   z / z
0
Z
V(z0) = +V0
z = z0
    0 z / z0
z=0
V(0) = 0
0
Determine el potencial en cualquier punto entre los dos planos conductores y las
densidades superficiales de carga en los mismos (suponga la permitividad del
medio entre los planos igual a 0).
2
Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas aplicada a este caso:
 V
z
2


0

0z
 0 z0
Al resolver esta ecuación y aplicar a la solución las condiciones de contorno expresadas en el
enunciado obtendremos el potencial en todos los puntos z0  z  0.
Integrando
una vez:
Condiciones
de contorno:
V
z

0z
2
2 0 z 0
 C1
Integrando
dos veces:
En z = 0  V(0) = 0  C2 = 0
En z = z0  V(z0) = V0
 0 z0
2
 V ( z0 )  V0 
6 0
 C1 z 0
V (z) 
0z
3
6 0 z 0
V
 z
  0  0 0
6 0 z 0  z 0
6 0
V
 z
C1  0  0 0
z0
6 0
V (z) 
0z
 C1 z  C 2
3

 z

2
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 1 (Continuación)
Densidad superficial de carga en los planos conductores: calculemos primero el campo eléctrico
0z
V
 z
V (z) 
  0  0 0
6 0 z 0  z 0
6 0
3

 z


 V
E   V   u z
z
El campo eléctrico en la superficie de un conductor está
dado en función de la densidad superficial de carga σ por:

2
V
 z
  0z
 u z 
  0  0 0
6 0
 2 0 z 0  z 0
  
E  un

E
0

un

Plano inferior z = 0. Aquí u n  u z

 z
 V
E ( 0 )   u z  0  0 0
6 0
 z0
   inferior
  u z
0


 inferior 
 0 z0
6

y
 0V 0
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
z0

Plano superior z = 0. Aquí u n   u z

V
 z
  z
E ( z 0 )   u z  0 0  0  0 0
z0
6 0
 2 0

  superior
   u z
0

 superior 

 

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
 0 z0
3

 0V 0
z0
3
PROBLEMA 2
Una esfera conductora de radio a está rodeada por otra esfera conductora, hueca y
concéntrica con ella, de radio b > a. El espacio entre las dos esferas se rellena con un
dieléctrico, y entre ambas esferas se mantiene una diferencia de potencial Va-Vb.
a) Calcule el potencial y el campo en cualquier punto situado entre ambas esferas.
b) Si la permitividad del dieléctrico es , determine las densidades superficiales.
c) Determine el desplazamiento y la polarización en el dieléctrico.
Como no hay densidad de cargas libres entre ambas esferas,
la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la de Laplace.
Vb
 V 0
2
b

ur
Por la simetría esférica del problema el potencial únicamente va a
depender de la coordenada radial, y entonces el laplaciano es
a
d  2 dV 
r
0
dr 
dr 
Integrando
dos veces
Para r = a  V(a) = Va
C1
a
 Va 
b
ab
Vb  
V a
dV
dr
Va  
Para r = b  V(b) = Vb
C 2  Va 

 Vb  
C1
a
C1
b

C1
r
2
 C2
V 
C1
r
 C2
aV a  bV b
ab
V (r ) 
y
Va
 C2
V a  Vb  
C1
a

C1
b
C1 
ab
ab
V a
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
 Vb 
ab V a  V b  

 aV a  bV b 

ab
r

1


 ab V a  V b  1
 ur  
ab V a  V b  


u
E   V ( r ) 
aV

bV

r
 a

b
2
ab
r
a  b r 
r

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
4
σa >0
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
σb <0
y
PROBLEMA 2 (Continuación)
Relación entre campo y densidades superficiales de carga

 ab V a  V b  1
E (r )  ur
2
ab
r
a  
b  

 ab V a  V b  1
 a
E (a )  ur

u
n
2
ab

a
 b V a  V b 
a a  b 
 a V a  V b 
b a  b 
Vb
b

ur

un
a

 ab V a  V b  1
 b
E (b )    u r 

u
n
2
ab

b
Si Va > Vb (esfera interna positiva), como a < b
σa
Va
σb
Cálculo del desplazamiento. Aplicamos el T. de Gauss a una esfera gaussiana de radio a  r  b y M
superficie Sr concéntrica con la esfera interna de radio a y superficie Sa que contiene la carga q. a
g
 
2
2
Por simetría D  S r  D  4 r  4 a  a
D d S  q  S a a
n
Cargas ligadas +


e
D  E
Sr
V
>
V
a
b
2

Cargas ligadas 
t
  ab V a  V b  1
  aa
P


u
D  ur
r
2
2
i
ab
r
r
s
a
b
Polarización
m
Cargas libres + Cargas libres 





o
    0 ab V a  V b  1
D  EP

0
0
P  D   0E  ur
ab
r
2
5
PROBLEMA 3
Se construye un condensador cilíndrico usando dos
armaduras cilíndricas concéntricas de radios a y b (b > a) e
introduciendo un dieléctrico de permitividad  en la mitad
inferior del mismo, según se muestra en la figura. El
condensador se carga a V0 voltios, siendo positiva la
armadura interna. Suponiendo despreciables los efectos de
los bordes, se pide:
a) Resuelva la ecuación del potencial y determine el campo
en cualquier punto entre las dos armaduras.
b) Determine las densidades superficiales de carga libre y la
capacidad por unidad de longitud.
c) Determine el desplazamiento y la polarización.
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
0
b
a

y
 V 0
2
Como no hay densidad de cargas libres en la región entre armaduras, la
ecuación de Poisson se reduce en este caso a la ecuación de Laplace, y dada la
simetría del problema, el potencial sólo dependerá de la coordenada radial.
r
dV
dr
Condiciones
de contorno
 C1
dV 
C1

dr
r
dV  C 1
r
dr
V 0  C 1 ln a  C 2
Para r = b  V(b) = 0
0  C 1 ln b  C 2
V (r ) 
V0
ln( a / b )
V  C 1 ln r  C 2
 C2
Para r = a  V(a) = V0
ln( r / b )
1   V 
r
0
r r  r 
C1 
V0
ln( a / b )
C2  
ln b  V 0
ln( a / b )
6
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 3 (Continuación)
Tanto en la armadura interna como en la externa podemos
distinguir dos zonas, la del vacío (I) y la del dieléctrico (II).
Vector unitario radial
sentido hacia afuera
Campo eléctrico


E   V ( r )   u r
V0
 ln( r / b )
ln( a / b )
r

 ur
V0
1
ln( a / b ) r
Densidades superficiales de carga libre
Armadura
interna


un  ur
Armadura
externa


un  ur

 
E I (a )  un
Ia

 
E II ( a )  u n
IIa
0


 
E I (b )  u n
Ib

 
E II ( b )  u n
IIb
0
0
 Ia   0 E I ( a ) 
 IIa   E II ( a ) 
 Ib   0 E I ( b ) 
 IIb   E II ( b ) 
L
  a  Ia   a  IIa 
0
b

  0V 0
a  ln( a / b )
 V0

ur
a
II
Estas dos densidades de
carga son positivas,
puesto que ln(a/b) < 0
a  ln( a / b )
y
 0V 0
b  ln( a / b )
V0
Densidades de carga
negativas, puesto que
ln(a/b) < 0
b  ln( a / b )
Carga por unidad de longitud en la armadura interna
q
I
El campo eléctrico es el
mismo en ambas zonas,
puesto que la diferencia
de potencial es la misma
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
Capacidad por unidad de longitud
  V 0  0   
C
ln( a / b )
L

q
   0   
LV 0
ln( a / b )
(Esta carga es positiva, en la armadura
externa hay una carga igual pero negativa)
7
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 3 (Continuación)
Desplazamiento eléctrico: aplicamos el teorema de Gauss a un cilindro
cerrado y coaxial con las armaduras, de superficie lateral Sr y longitud L

 
  V 0 L  0   

D dS  q 
ln( a / b )

 
D dS 
Zona I
Sr

I
 
D d S  D I L  r  D II L  r
D I  D II 
L r

 V 0  0    1
II
ln( a / b )
D II 
 D I   0 D II  0
Polarización:
DI 
r



D II   0 E  PII
 V 0 0 1
ln( a / b ) r
 V 0
1
ln( a / b ) r
0
S
r
a
En todos los puntos de la superficie lateral Sr el vector desplazamiento es radial y por tanto

paralelo a u r ; en las bases del cilindro su flujo es nulo por ser perpendicular a las superficies.
q
b
r
Zona II
En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico, las componentes
tangenciales del campo eléctrico deben ser iguales y debe verificarse

DI

ur 


ur 
D II
D 
D 


E I u r  I u r  E II u r  II u r
0

y


 V 0 0 u r
DI 
ln( a / b ) r


 V 0 u r
D II 
ln( a / b ) r
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

 ur
 0

ln(
a
/
b
)
ln( a / b )  r




  V 0
PII  D II   0 E  
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
 V0


V 0  0    u r
PII 
ln( a / b ) r
8
PROBLEMA 4
E
Dos esferas metálicas concéntricas de radios a y b (b > a) se conectan
l
e
ambas a tierra y en el espacio comprendido entre ellas se coloca una
2

a 
distribución de carga de permitividad  y densidad volumétrica de carga    0 1  2  c
r  t

donde r representa la distancia radial desde el centro del sistema (b  r  a).
r
Calcule cuánta carga adquiere la esfera interna.
i
c
2

a 
Para calcular la carga de la esfera interna tendremos que determinar i
   0 1  2 
r 

la densidad superficial de carga en dicha esfera. Para hacer esto, d

empezaremos calculando el potencial en cualquier punto de la región
a
comprendida entre ambas esferas.
d
a

2
Ecuación de Poisson
 V 

y
b
En este caso hay simetría
2
M
esférica, por lo que el
1 d  2 dV 
0 
a 
r


1




2
2 
a
potencial sólo dependerá
dr 
 
r dr 
r 
g
de la coordenada radial.
n
3
2
e
d  2 dV 
0 2
0 r
dV
 0  r a  C1
2
2 dV
2 
r  a 
r


r

  a r   C1
 
 2
t
dr 
dr 

dr
 3
dr

3
r


 r
i
s
2
m
 C1
0 r
2
V 
 a ln r  
 C2
o

 6

r
9
PROBLEMA 4 (Continuación)
E
l
2
 C1
0 r
2
Condiciones de contorno: V ( a )  0 V ( b )  0
e
V 
 a ln r  
 C2

 6
r

c
t
2
 C
 a
r
2
V (a )   0 
 a ln a   1  C 2  0
2
2
i
 1 1
  6
0 b  a
2
 a


V (b )  V ( a )  

a
ln
b
/
a


C

0


1


c
  6
b a

2


0 b
C
2
i
V (b )  
 a ln b   1  C 2  0

2
2
 6
d

 b
 0  ab   b  a
2


C1 

a
ln
b
/
a



a
  b  a  6

d
No hace falta calcular C2 porque a partir del potencial vamos a derivar para obtener el campo eléctrico
y
2
2
2
2

 dV
    r a  C1 
 1 
  0   r a   ab   b  a
2

E  ur
 ur   0  




u



a
ln
b
/
a




r



 2
2 
  3
dr
r

3
r
b

a
6
r






r 





El vector desplazamiento es D   E
  r a 2   ab   b 2  a 2
 1 
2


D  0  


a
ln
b
/
a




 2
r   b  a 
6
r 
3
En r = a el módulo del vector desplazamiento nos da la densidad superficial de carga.
a
 4  b / a    b / a 2  1
  a a 2   ab   b 2  a 2
 
 1 
2


 0  


a
ln
b
/
a




a


ln
b
/
a





 
 2
0
3
a
b

a
6


3
b
/
a

1
6
a












 

La carga en la
esfera interna es:
q (a )  S a  a
 4  b / a    b / a 2  1
 
 4  0 a   
 ln b / a  

6
 3  b / a   1  
 
3
10
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
PROBLEMA 4 (Continuación)
Interpretación del resultado
q (a )  S a  a
 4  b / a    b / a 2  1
 


 4  0 a   

ln
b
/
a


6
 3  b / a   1  
 
3
f (b / a )
f (b / a )
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1
0
Si la densidad 0 es positiva,
entonces la esfera interna se
encuentra cargada negativamente.
b/a
-1
y
-2
-3
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
-4
-5
2

 b / a    b / a   1
f (b / a )   
 ln b / a 

3  b / a   1  
6

4
-6
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
-7
11
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