La forma del Universo
Un poco de Geometría y Topología
25 octubre 2011
Vicente Muñoz
¿Cómo es nuestro universo?
Mirando a pequeña escala, parece ser rectilíneo con tres
direcciones. Pero, ¿es sólo un efecto óptico del pequeño
trozo de espacio al que podemos mirar?
¿Cómo era y cómo es la Tierra?
Pietro Vesconte, mapa de 1321
Foto actual de la Tierra
El mapa de nuestro universo
?
Representación local del universo (NASA)
Lado = 500 millones años-luz
Forma real de nuestro universo
La forma del Universo
• ¿Cómo representar un espacio de dimensión
tres?
• ¿Cuántas posibles formas de espacios de
tres dimensiones hay?
• ¿Qué propiedades de nuestro Universo nos
pueden decir qué forma tiene?
Planilandia: un universo de dimensión 2
Presunta ruta de Planito
Planito cree vivir en una esfera
Segundo viaje
Primer viaje
Planilandia, ¿la superficie de un flotador?
Segundo viaje
Primer viaje
Otras posibles formas
Superficie de género g = 3
Topología: estudia la forma de los objetos
(se permite deformarlos)
¡Un topólogo no distingue un donut de una taza!
Un universo con “puertas inter-espaciales”
Topológicamente, es ...
... pegar un asa
Superficies
(compactas, sin borde, orientables)
Las superficies se clasifican de acuerdo a su género g.
• g = 0. Esfera.
• g = 1. Toro
(una esfera con un asa).
• g  2. Esfera con g asas.
¿Cómo averigua Planito el género?
Característica de Euler-Poincaré
χ = vértices – aristas + caras
Se tiene χ = 2 – 2g , de donde se obtiene g
Geometría: estudia las propiedades métricas
de los objetos: longitudes, ángulos, …
Curvatura:
κ = (α + β + γ 180º) /área
Geometrías isotrópicas
• Las propiedades métricas no dependen del
punto de la superficie. Planito ve su
universo igual en cualquier lugar.
• Las propiedades métricas no dependen de la
dirección. Planito ve su universo igual en
cualquier dirección.
La curvatura κ es constante.
Geometrías Elípticas. κ > 0
¿Qué ve Planito?
β
α
γ
α + β + γ > 180º
La esfera, g = 0
Geometrías Euclídeas. κ = 0
El plano Euclídeo
β
α
γ
α + β + γ = 180º
¡Pero no es compacta!
¿Qué superficies tienen geometrías euclídeas?
El toro, g = 1
¿Qué ve Planito?
Geometrías Hiperbólicas. κ < 0
Disco de Poincaré
β
α
γ
α + β + γ < 180º
¿Qué superficies tienen geometrías hiperbólicas?
Todas las superficies con g  2.
90º
4x
90º
90º
90º
90º
90º
Hexágono hiperbólico
¿Qué ve Planito?
Tipos de geometrías en superficies
• Geometrías elípticas. Esfera. g = 0.
• Geometrías euclídeas. Toro. g = 1.
• Geometrías hiperbólicas. g  2.
El Universo (de dimensión tres)
• El Universo apareció hace 13.700 millones
de años con una gran explosión (big-bang).
• Tiene al menos 94.000 millones de años-luz
de diámetro.
• El Universo está en expansión. El ritmo de
expansión lo mide la constante de Hubble H
• Es razonable esperar que sea:
• Isotrópico. ρ = densidad de materia = constante
• De volumen finito (compacto)
Topología de espacios de
dimensión 3
• Clasificación topológica de los
espacios de dimensión 3: problema
no resuelto.
• Conjetura de Poincaré:
Si en un espacio de dimensión 3
(compacto) todos sus lazos se
pueden recoger, entonces es la
esfera 3-dimensional.
• Resuelta en 2004 por G. Perelman.
Poincaré (1854-1912)
Asas tridimensionales
(Star-gate)
Agujero negro
Agujero blanco
Asas anudadas
Geometrías isotrópicas
• Geometrías Elípticas. κ > 0
• Geometrías Euclídeas. κ = 0
• Geometrías Hiperbólicas. κ < 0
• No todo espacio de dimensión 3 admite una
geometría isotrópica.
• No se conocen todos los espacios de
dimensión 3 con geometrías isotrópicas.
• La mayoría de los que tienen geometría
isotrópica son hiperbólicos.
Modelo
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Tipo de
geometría
Futuro del
Universo
Densidad
Elíptico
Big-crunch
ρ > (3/8π) H2
Euclídeo
El ritmo de
expansión
tiende a cero
ρ = (3/8π) H2
Hiperbólico Big-rip
ρ < (3/8π) H2
El proyecto WMAP (Wilkinson
Microwave Anisotropy Probe), 2001-2010
• Se buscan imágenes repetidas en el cosmos.
• Se utiliza la radiación CMB (Cosmic
Microwave Background), que es la luz de
hace 13.700 millones de años.
Resultados (por el momento))
• El 23% es materia oscura, el 72% es energía
oscura y solo el 5% son átomos.
• El universo se encuentra en expansión
acelerada.
• A pesar de ello, la curvatura es muy
posiblemente κ = 0.
• No se han encontrado imágenes repetidas en
el cosmos, con lo que no se ha podido
averiguar su forma (aún!).
Referencias
• Abbott, E. A., Planilandia. Una novela de
muchas dimensiones, J. de Olañeta, 1999.
• Muñoz, V., Deformando las formas. La
topología, RBA, 2011.
• Weeks, J.R., The shape of space, CRC
Press, 2001.
• http://map.gsfc.nasa.gov/
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