Dimensión fractal y problemas
de escala
Carlos Reynoso
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
http://carlosreynoso.com.ar
Objetivos
• Comprender el carácter problemático de la noción de
escala
• Clarificar un concepto expresivo pero delicado
• Establecer una forma relativamente correcta de
trabajar con la cuestión
• No meterse en cuestiones excesivamente técnicas o
en problemas de camarillas de los geómetras
• Examinar las principales herramientas de análisis de
dimensión fractal y sus aplicaciones
– Patrones de asentamiento, formas geométricas, series
temporales, música
• Establecer tareas y recursos
2
Agenda
•
•
•
•
•
Problemas de escala
Dimensión fractal
Conceptos esenciales
Herramientas
Casos en ciencias sociales, arte,
diseño, arquitectura
• Recursos
• Tareas a realizar
3
Problemáticas de la escala (1/2)
• Presupuestos de monotonía y homogeneidad en el
análisis espacial clásico
• Inexistencia de “longitudes” precisas independientes
de la unidad de medida
• Falacia locacional
– Presupuesto de ubicación única de los actores, con impacto
en análisis sanitario, etc
– Casa, trabajo, transporte
• Problema de la unidad areal modificable (MAUP)
– Diferentes correlaciones con distintas agrupaciones de
datos
– De -0,99 a +0,99
4
Problemáticas de la escala (2/2)
• Problema del límite [boundary problem]
– Diferentes formas de trazar los límites producen distintos
resultados en la estimación de la distribución y en diversos
párámetros estadísticos
• Autocorrelación espacial
– Primera ley de la geografía (Waldo Tobler, 1970)
– Modelo gravitacional
– Imposibilidad de aplicar estadísticas convencionales
• Falacia ecológica
– Imposibilidad de inferir probabilidades individuales a partir
del conjunto
• Múltiples distribuciones en un área
• Cómo pasar de lo local a lo global
5
Fractales - Conceptos
• Dimensión fractal
• Auto-repetición (homotecia)
• Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f
6
Distribución normal
• Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1
desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99,7 a 3
• Regla de 68-95-99,7
• Mal llamada “curva de Bell”
7
Ley de potencia
• Independiente de escala = No hay valores normales,
ni una media, ni una escala característica
• La dispersión de los valores puede ser de orden
astronómico
8
Dimensiones fraccionales
0
1
.
2
3
0.4498
0.6309
1.2619
2
2.06
1.5850
2.7268
1.70 9
Dimensión fractal
• Benoît Mandelbrot
– Geometría fractal de la naturaleza
– Los objetos fractales
• Dimensiones geométricas no enteras
• ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
– Lewis Fry Richardson, 1928
• Log/log = Ley de potencia
• “Las montañas no son conos, las nubes no son
esferas, las islas no son círculos, los rayos no son
líneas rectas”
• Dimensión efectiva: depende de escala de
observación
• No es subjetivo según el observador, sino función
determinista de la escala
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¿Cuánto mide...?  1.24958
11
Versión en cuenta de cajas
• Basado en Wolfgang Lorenz (2001)
12
Paradoja de Steinhaus
13
Richardson-Hayes
14
Dimensión fractal
• Método de la cuenta de cajas
– Dimensión logarítmica, de entropía o de
capacidad
• Logaritmo natural
– Tamaño de la caja
– Número de cajas en que aparece la curva
• Inclinación de la curva
 ( y 2  y1 ) 

p  



x

x
1 
 2
 ( 5 . 71703 )  (1 . 38629 ) 

p  
 1 . 85630 )  (  1 . 60944  
15
Dimensión = 1,24958
Conteo de cajas (box counting)
• Método simple de asignar una dimensión a
un conjunto, tal que en ciertos casos esa
dimensión no es entera
• Estos conjuntos son los llamados fractales
• Desde el punto de vista dinámico, los
conjuntos con propiedades fractales se dice
que están regidos por atractores extraños
16
Jerga técnica
• Transformada de Wavelet
– Método de transformación de ondas complejas
– Sirve, entre otras cosas, como procedimiento para
calcular la dimensión fractal de un objeto
– Hay varias clases: continua, compleja, discreta
• Transformada de Fourier
– Método alternativo – Se usa para calcular
espectro de potencia
• Detección o extracción de bordes
• Thresholding
– Establecer umbrales de datos a tratar
– Rango para pasar otros colores a blanco o a
negro
17
Jerga técnica
• [Sliding box] lacunarity
– Medida de heterogeneidad de una imagen.
– Similar a standard box counting.
• Convex hull
– Identificación de los pixels más distantes de una
imagen y trazado del círculo correspondiente.
• Análisis multifractal
– Permite establecer si la estructura se rige por un solo
principio constructivo o si éste varía a distintas escalas.
– O también: identifica diferentes partes del atractor que
poseen diferentes conductas de escala.
– La mayoría de los objetos complejos reales o de las series
temporales es multifractal.
18
Jerga técnica
• Lagunaridad
– Cómo llena un fractal un espacio
– Fractales densos tienen baja lagunaridad
19
Lagunaridad
20
Jerga técnica
• Agregación limitada por difusión (DLA)
– Modelo fractal de crecimiento (urbano)
– Propiedades parecidas: gradiente de densidad
negativa, estructuras caóticas ordenadas
– Algunos programas fractales incluyen un módulo
de DLA
– Algunos programas de medición de densidad
también (FracLab)
– Idem modelos basados en agentes
– Estudiado como fenómeno urbano por Batty,
Longley y Fotheringham
– Otros geógrafos utilizan modelos de percolación
• Cuyo gráfico es una escalera del diablo*
21
Washington-Baltimore & DLA
22
Importancia de DLA
• Los formas de agregación son fractales
• A mayor fractalidad, mayor presunción de
organicidad y auto-organización
• Baja probabilidad de asentarse en el centro
• Quizá DLA no sea un buen modelo, pero es
una base para pensar en modelos de
crecimiento
– Los modelos algorítmicos simples (en contra de
las funciones analíticas, que pueden no existir)
permiten una comprensión conceptual más clara.
23
Importancia de DLA
• Otros modelos alternativos
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Modelo de Eden
Sólido-sobre-sólido [solid-on-solid]
Deposición aleatoria
Deposición balística estocástica
Percolación de invasión
Percolación dirigida
Screened growth model
Modelo polinuclear
Modelos carcinogénicos
• DLA sigue siendo el más popular
24
Dilación
25
Preliminares
• Pasar a gama de
grises
• Dilación
• Thresholding
• Extracción de bordes
• Pre-procesamiento
de imágenes
– Con analizadores
fractales o con
programas
especializados.
– Programa
recomendado ImageJ,
con propio analizador
fractal
26
Programas
•
•
•
•
•
•
•
•
**HarFA
**FracLab
Fractalyse
FracTop
Fractal3e
Kindratenko
SimuLab
FracLac - Módulos (plugins) de ImageJ
27
**HarFA
• Versión reducida disponible – Versión completa,
supeditada a posteo de un paper
• Análisis armónico (Transformada de Fourier), análisis
de wavelet y análisis fractal
• Diversas técnicas de reconocimiento de bordes,
eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado
(incluyendo Kuwahara*)
• El más completo en cuanto a formatos
– Imágenes, series temporales, videos, música en forma
directa
• Observación: Espectros discretos y continuos dan
dimensiones diferentes.
28
29
**FracLab
• Componente de Matlab, independiente
• Síntesis de funciones parametrizadas
– DLA, secuencias 1/f, percolación, IFS, movimiento
browniano, movimientos estables
– fBM, mBM – Se pueden simular texturas en 2D
• Cálculos de dimensiones de señales,
imágenes o datos binarios
• Cálculo multifractal y de exponentes
• Métodos de limpieza (denoising)
• Insólitamente, no tiene dilación
30
**FracLab
• Interpolación
– Se pueden tomar series temporales generadas
por la ecuación logística o datos de terreno
– Se pueden hacer interpolaciones en series cortas
para analizarlas en los gráficos de recurrencia de
VRA, etc
• Precaución
– Medir dimensión de archivos binarios con método binario.
– Si se mide por escala de grises la dimensión fractal es
mucho mayor (casi una unidad)
– Igual precaución debe observarse con otros programas
31
32
Práctica
• Análisis del índice Nikkei
– Fraclab_mcr nikkei225.txt
• Generación de síntesis de percolación y
diffusion-limited aggregation
• Elegir siempre dimensión de regularización y
no conteo de caja
– Es más exacto y menos voluble
• Los archivos de texto (series temporales de
Excel, por ejemplo) deben estar separados
por tabulaciones
33
Fractalyse
• Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por
Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela
francesa)
• Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W)
• Se requieren imágenes bien contrastadas
• Un poco inestable
– Algunas opciones señaladas como Testing son de
resolución incierta
• Box counting, dilación, lagunaridad, multifractal,
tentacularidad, extracción de borde
– No proporciona información tabular de medidas de caja
– Si lo hacen SimuLab y FracTop
• La dilación es una de las mejores en plaza
• Práctica de lagunaridad con mapa de Milán
34
35
Fractal3e
• Programa de la Secretaría de Agricultura y
Ganadería de Japón, prestaciones limitadas
• Pocos formatos gráficos (BMP)
• Ciertas imágenes complejas no pueden ser
tratadas
• Buenas operaciones de preprocesamiento
• Problemas de foco en el form de resultados
• Hay una versión más nueva (3.4.6) y sigue
siendo gratis, pero hay que tramitar el pedido
• Vigilar sobre qué color se realiza el cálculo
• Gráfico log/log y tabla de valores por caja 36
37
ImageJ – Preparación de imágenes
• Open Source con innumerables módulos agregados
– Es el sitio por excelencia para computación de imágenes
• Prestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar
de representaciones gráficas
• No es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino
para manipulación, conversión y análisis
• No lee BMP compactado, pero debe haber un plugin
en alguna parte
• Incluye módulo de análisis fractal
– El archivo .Jar de análisis fractal debe copiarse al directorio
plugins
38
ImageJ
39
Kindratenko
• Fractal Analysis of Contours 1.0, ca. 2000
• Básico, pero adecuado para problemas simples* que
no requieren demasiada especificación
• No mide música, video ni series temporales – Sólo
contorno de imágenes.
• Se controla con botón derecho. Encuentra
automáticamente el contorno, pero *sólo de
imágenes monocromáticas únicas.
• Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una
línea entre dos medidas cualesquiera.
• Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión
conforme a la inclinación de la línea.
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FracTop
•
•
•
•
•
•
•
•
Modelo analítico simple, ca. 2003 – Java RE
Programa de la Charles Sturt University (Australia)
http://www.csu.edu.au/faculty/sciagr/eis/fractop/
La visualización de las imágenes poco contrastadas
es un poco sumaria
Las operaciones de thresholding etc no están
documentadas
JPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMP
Las tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí
como gráfico XY, con ejes logarítmicos
Vale la pena comparar los gráficos built in con los de
Excel, que son más controlables y profesionales
50
51
SimuLab
• Programas de la Universidad de Bar-Ilan,
Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bits
• Sólo soporta BMP en blanco y negro, sin
compactar
• Módulos de fractalidad de costas y de
análisis fractal de formas diversas
• Métodos de regla y caja
• Permite comparar diferencias de resultados
entre ambos procedimientos
• No funciona en Windows Vista / Windows 7
52
53
54
Aplicaciones en estudios urbanos
Michael Batty – Pierre Frankhauser
• Batty & Longley, Fractal cities, 1994.
– Análisis de la dimensión fractal de las áreas urbanas
– Las ciudades planificadas tienden a ser ortogonales (no
fractales)
– Las periferias se fractalizan
– Las áreas de poblamiento no planificado son fractales (de
agregación)
– En Cardiff, proceso histórico inverso por mejoras en el
sistema de transporte del centro a la periferia
• Frankhauser – Relación de dimensión fractal con
renta, especializaciòn funcional, etc
56
Batty & Longley (cont.)
57
Análisis innovador de modelos
de crecimiento (esp. Orgánico)
58
Análisis innovador de modelos
de crecimiento (esp. Orgánico)
59
Relación entre jerarquía y
distribuciones de Pareto / Zipf
• Autosimilitud en
diversas escalas
• Distribuciones de ley
de potencia
• Vinculación con la ley
de Zipf de
rango/frecuencia para
las ciudades
60
Aplicaciones
• Geografía urbana – Ejemplo
• Investigaciones de Frankhauser
61
Investigaciones de Frankhauser
62
Aplicaciones
• Rodina, Rodin, Dumachev – Optimización de
patrullaje policial en Moscú
• Zonas residencias sub-patrulladas: mayor D
63
Analogía entre neoplasmas malignos
y crecimiento urbano (1/2)
• Warren Hern, U. Colorado (2008)
64
Baltimore-Washington (Masek & al 2006)
65
Analogía entre neoplasmas malignos
y crecimiento urbano (2/2)
• Rasgos propios de procesos de criticalidad autoorganizada
– http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-ydinamicas-complejas/
• Metástasis (colonización distante)
• Crecimiento rápido
• Progresión (tasa creciente de expansión en nuevas
colonias)
• Invariancia de escala
• Topofagia (devora los espacios disponibles)
• Falta de mecanismos antagónicos inhibitorios
• Apoptosis (resistencia a la extinción normal)
– Semejanza con muerte celular programada de Penelas
66
Sitios arqueológicos fractales, etc
• Maschner &
Bentley –
Asentamientos
en Aleutianas
• Brown &
Witschey –
Mayas.
• Burkle Elizondo
– Estelas y
calendarios
mexicanos.
67
Otras aplicaciones
Ron Eglash – Dimensión fractal de la música
69
Shakespeare – Eli Eftekhari
70
Relacionado: Ley de Zipf
71
Artistas fractales
• Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avaronogurio, parto, sogdiano, chino, japonés
• Espirales complejos en arte indígena colombiano y
en tallas de madera Maori
• Jackson Pollock
• František Kupka (Amorpha, 1912)
• Arte psicodélico
• Percepciones narcóticas, estados alterados de
conciencia
– Materiales en DVDs de Ciencia Cognitiva y en curso de CC
y antropología del conocimiento en
http://carlosreynoso.com.ar
72
Aplicaciones
• Richard Taylor y el Pollockizer
73
Aplicaciones
• Richard Taylor
– Las pinturas de Jackson Pollock tienen una
dimensión fractal característica a dos escalas
diferentes, que se acentúa con los años
– Se pudo hacer un peritaje de 6 (sobre 32) pinturas
sospechosas encontradas en Long Island (1999)
– Taylor encontró desviaciones significativas
– Otros expertos disienten, argumentando que en
ese lote Pollock estaba experimentando variantes
estilísticas
74
Aplicaciones
• Richard Taylor sobre Pollock
75
www.jacksonpollock.org
Go...
76
77
78
Consecuencias
• Arte Neen
– Miltos Manetas, ca 2000
– Andreas Angelidakis, Steven Schkolne,
Amy Franceschini, Erik Loyer, Jon Wine,
Mai Ueda
– Uso oportunista de la tecnología,
intrascendencia deliberada, temporario,
cool
– “Splatter” de Michael Migurski. Se volvió
Neen cuando Manetas se lo apropió
– http://www.neen.org/demo.html
79
Más aplicaciones
• Mureika, Dyer, Cupchik
– Estructura multifractal de arte abstracto
– “Huellas digitales” multifractales
– “Firmas” (signatures) fractales de estilos,
artistas, períodos, series, épocas,
pigmentos...
80
Gerl, Schönlieb, Wang (2004)
• Dimensión fractal entre los mejores índices,
con 75 a 80% de efectividad
81
¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse
en peritaje fractal y encontrar las signaturas de los estilos a
82
autenticar?
Análisis basado en ondículas
[wavelets]
Sección en preparación
Acentuación de diferencias y
clasificación
• L. A. Ruiz & al
84
Combinación con gramática de
patrones para diseño arquitectónico
• Sariyildiz & al
85
Detección de edificios
• Thui & al
86
Combinación con gramática de
patrones para diseño arquitectónico
• Sariyildiz & al
87
Conclusiones (1/2)
• Elemento de juicio fundamental
– Análisis geográfico, patrones de asentamiento, uso
de la tierra, ecología, diseños, música, peritaje
artístico
• Se debe vincular con otros factores:
– Comparación con otros sitios/períodos/géneros
– Hipótesis sobre la significación de los valores
diferenciales
• Especificación puntual de los procedimientos y
de los programas empleados, incluyendo
métodos de thresholding, etcétera
88
Conclusiones (2/2)
• Tema apto para realizar experiencias de
trabajo en el contexto del seminario
– Encontrar dimensiones fractales características de
barrio, periferia, zona planificada, zona autoorganizada, época, clase social
– Comprobar mediciones contra juegos de prueba
en más de un entorno de análisis
• No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas
multiescalares [wavelets, lagunaridad]
– Vincular con otras herramientas analíticas que se
verán más adelante
89
Recursos
• Batty M. and Longley P. (1994), Fractal
Cities. A Geometry of Form and Function,
London: Academic Press, 394 p.
• Frankhauser P. (1994), La fractalité des
structures urbaines. Collection Villes,
Anthropos, Paris.
• Frankhauser P. (1998): The Fractal
approach: a new tool for the spatial analysis
of urban agglomerations, Population: An
English Selection, 205-240.
90
Referencias (1/2)
• Reynoso, Carlos – Complejidad y caos:
Una exploración antropológica. Buenos
Aires, SB Ediciones, 2006
• Grupo Anthropokaos – Exploraciones en
antropología de la complejidad. Idem.
• Eglash, Ron – African fractals. New
Brunswick, Rutgers University Press,
1999.
• Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary
Lee. Chaos, complexity and sociology.
Myth, models, and theories. Thousand
Oaks, Sage, 1997.
• Watts, Duncan. Six degrees. The
science of a connected age. Londres,
Random House, 2004.
91
Referencias
• Reynoso, Carlos.
2010. Análisis y
diseño de la ciudad
compleja.
Perspectivas desde
la antropología
urbana. Buenos
Aires, Editorial Sb
92
Ejercicios de práctica
• Generar matriz a partir de imagen con
PASSaGE 2
– Create > Surface from image, etc
– Análisis de wavelet
93
¿Preguntas?
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