Introducción al caos
Asociación
EURATOM-CIEMAT
Para Fusión
• El objetivo de este curso es el análisis de datos.
• Sin embargo, para poder emprender el análisis de señales caóticas / turbulentas,
es necesario conocer algunos conceptos básicos de la teoría del caos.
• En esta “introducción al caos” se abordan someramente los conceptos relevantes
sobre el caos. Diversa y variada literatura sobre el tema la podrán encontrar en
numerosos volúmenes de diferentes autores, como por ejemplo:
E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press 1993,
ISBN 0 521 43799 7
1
Introducción al caos
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• No existe una definición del caos.
• ¿En qué tipo de sistemas puede producirse?
• En sistemas con una o varias de las siguientes características :
• Ecuaciones no-lineales (con disipación)
• Ecuaciones acopladas
• Sistemas muy sensibles a condiciones iniciales
• Ecuaciones diferenciales de orden 1 con una dimensión ≥ 3 y alguna de las
características anteriores.
• En suma, estas características vienen a significar un “suficiente nivel de
complejidad” para que pueda ocurrir el caos.
• ¿Qué caracteriza el caos?
• La imposibilidad de predecir el comportamiento futuro con exactitud, incluso si
tenemos acceso a las ecuaciones exactas que describen el sistema.
• Esto no implica que no podemos hacer predicciones estadísticas del
comportamiento. Este es el objetivo del estudio del caos: llegar a un
entendimiento del sistema caótico a través de una caracterización estadística.
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Movimiento
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• En los sistemas de ecuaciones que describen el movimiento de objetos
(partículas, péndulos, etc.), pueden ocurrir varios tipos de movimiento:
• Estático (sin movimiento)
• Periódico (oscilación)
• Cuasi-periódico (oscilación con irregularidades)
• Caótico (movimiento sin orden aparente)
• Generalmente, el comportamiento de este tipo de sistemas se regula por algún
parámetro en las ecuaciones (que mide, típicamente, aunque no siempre, el grado
de “excitación” o de “inyección de energía” en el sistema).
• Aumentando este parámetro, uno pasa por varias fases de comportamiento,
primero periódico o “regular”, seguido por una “transición” que puede ser cuasiperiodica o no, para llegar, finalmente, a una situación de caos. Esta secuencia se
denomina “la ruta hacia el caos” y juega un papel fundamental en el entendimiento
del mismo.
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Sistemas dinámicos
• Los sistemas dinámicos son sistemas que permiten el desarrollo en el tiempo de
un estado (inicial).
• Generalmente, se describen con ecuaciones diferenciales.
• Como ejemplo, un sistema de N ecuaciones de ecuaciones diferenciales de orden
uno:
dx
(1 )
dx
(2)
dx
(N )
/ dt  F1 x
/ dt  F2 x
(1 )
,x
(2)
, ..., x
(N)
(1 )
,x
(2)
, ..., x
(N)
/ dt  FN x
(1 )
,x
(2)
, ..., x


(N )
dx / dt  F  x 

• Integrando el sistema, podemos seguir x(t) en su desarrollo temporal.
• El espacio N-dimensional donde se halla la trayectoria se denomina espacio de
fase.
• El conjunto de todas la posibles trayectorias (= el sistema dinámico) se conoce
como “el flujo”.
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Mapas
• Otro tipo de sistemas (matemáticos) que pueden contener caos son los “mapas”.
• Es la versión discreta del sistema dinámico:
x n1  M ( x n )
• La trayectoria (“órbita”) es la secuencia de puntos xn.
• Todo sistema dinámico contínuo se puede convertir en un mapa al “muestrear”
el flujo x(t) en puntos tn = t0 + nT, o al construir un “mapa de Poincaré” del flujo
(es decir, un mapa “estroboscópico” que surge al guardar el valor de x cada vez
que una de las coordenadas xi tiene un valor fijo x0. El “mapa de Poincaré” tiene
dimensión N–1.)
• Un mapa muy sencillo ( y muy estudiado) es el “mapa logístico”, N = 1:
M ( x )  rx (1  x )
• Esta ecuación surge en la descripción de la población de una especie (balance
entre nacimientos y muertos).
• El caos aumenta para r mayor; 0 ≤ r ≤ 4.
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Atractores
• Los sistemas dinámicos se pueden subdividir en:
• Sistemas conservativos: conservan el
volúmen de una región al dejarlo evolucionar
• Sistemas no conservativos: no lo conservan
dV (t )
dt

F
dx

• Si la divergencia del flujo F es menor que cero, F < 0, entonces el volumen se
contrae. Estos sistemas se llaman disipativos.
• Porque el flujo se contrae existen regiones desde donde el flujo ya no sale, una
vez que haya entrado. Estas regiones se llaman atractores.
Atractor
puntual:
Atractor
lineal:
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Atractores
• Es usual que el atractor sólo pueda alcanzarse
en el límite t  .
• Cuando el atractor tiene más de una dimensión,
también se denomina “ciclo límite”.
• La estructura del atractor a menudo es compleja,
y tiene una dimensión “fractal”. En este caso, el
atractor se denomina un “atractor extraño”.
• Ejemplo: el mapa de Hénon con A = 1.4 y B =
0.3:
2
x n1
(1)

A  x n
(2 )

xn
xn
(1)

 Bx n
( 2)
(1)
• Al ampliar una zona del dibujo, vuelve a aparecer
un dibujo similar (repetición de estructuras a
diferentes escalas). Este proceso continua sin límite
hasta escalas cada vez menores.
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Dependencia de condiciones
iniciales
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• Una de los aspectos más característicos de la moción caótica es la dependencia
sensible de las condiciones iniciales.
• Considere dos puntos iniciales x1(0) y x2(0) = x1(0) + D(0).
• Las órbitas x1(t) y x2(t) se desarrollan en un espacio finito
• Si |D(0)| tiende a cero, y el tiempo t de evolución de las órbitas x1(t) y x2(t)
tiende a infinito (y la orientación de D(0) no concide con alguna orientación
especial), entonces, para un sistema caótico:
• |D(t)|/ |D(0)| ~ eht,con h > 0 (crecimiento exponencial de la distancia entre órbitas
cercanas).
• La exigencia de que las órbitas x1(t) y x2(t) se desarrollen en un espacio finito
sirve para excluir sistemas que se expandan hacia el infinito. Estos también
pueden mostrar una separación exponencial, pero no serían caóticos. Lo curioso
es precisamente que a pesar de que las órbitas están confinadas, se obtiene una
separación exponencial.
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Dependencia de condiciones
iniciales
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• La dependencia sensible a condiciones iniciales representa un grave problema
para el estudio del caos.
• Para los sistemas experimentales, el ruido térmico (o de otros orígenes)
causa pequeñas desviaciones en la órbita que llevan a grandes diferencias
con la órbita “exacta” que se quiere estudiar.
• Para los sistemas numéricos, los errores de redondeo del ordenador tienen
el mismo efecto.
• En la práctica, esto significa que no podemos seguir la moción durante más de un
número muy limitado de iteraciones (determinado por el momento en que el error
acumulado se hace comparable con el valor de las variables).
• Pero generalmente, esto significa que no se pueden hacer predicciones exactas a
largo plazo. Este es el “efecto mariposa”, el que cualquier perturbación pequeña
(una mariposa) puede, en principio, tener un efecto grande a largo plazo (una
tormenta).
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Mapas unidimensionales
• Discutiremos las propiedades de mapas unidimensionales no invertibles, que son
los sistemas más sencillos capaces de mostrar un comportamiento caótico, y sirven
para ilustrar unos conceptos fundamentales.
• Otra vez elegimos el mapa logístico:
x n1  rx n (1  x n )
• Puntos fijos. Son puntos fijos los puntos con xn+1 = xn.
En este caso, x = 0 y x = 1–1/r.
• Para determinar que un punto fijo es estable, hay que examinar los puntos
cercanos al punto fijo y ver si se alejan (inestable) o acercan (estable).
x n1  M ( x n )
x n1   n1  M ( x n   n )  x n 1 
• Se obtiene estabilidad para
n 
dM ( x n )
dx n
dM ( x n )
dx n
n
1
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Mapas unidimensionales
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• Así, para el mapa logístico,
• x = 0 es inestable para r > 1 y
• x = 1 – 1/r es estable para 1 < r < 3.
• No hay órbitas periódicas estables para r > 3.
• Pero, para 1 < r < 3, todos los puntos x en [0,1] se aproximan, hacia tiempos
largos, al atractor x = 1 – 1/r. 
• El intérvalo [0,1] se denomina el cuenco de atracción (basin of attraction) del
atractor x = 1 – 1/r.
• Para r = 4, hay un número infinito de órbitas periódicas inestables (demostración:
ver literatura).
• ¿Como se llega desde la situación con una órbita estable y una inestable en el
punto r = 3 al número infinito de órbitas inestables en r = 4?
• Esta evolución se denomina la ruta hacia el caos y es un concepto muy
importante.
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La ruta hacia el caos
• Para entender la ruta hacia el caos de este sistema, puede ser de ayuda
considerar una representación gráfica:
• M(x) frente a x
• M2(x) frente a x
r = 3.4
1
1
0.8
0.8
M (x), M2 (x)
M (x), M2 (x)
r = 2.8
0.6
0.4
punto fijo
(estable)
0.2
0.6
0.4
punto fijo
(inestable)
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
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La ruta hacia el caos
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• Con referencia a las gráficas, al aumentar r desde un valor por debajo de 3 hasta
un valor mayor que 3:
• el punto fijo se hace inestable (el valor absoluto de la derivada M’(x) se hace
más grande que 1)
• el valor de la derivada de M2(x), (M2(x))’, pasa de ser mayor que 1 a ser
menor que 1 en el punto fijo.
• En conjunto, esto lleva a la creación de dos nuevos puntos fijos de M2(x).
• Estos puntos no son puntos fijos de M(x), así que deben encontrarse en ona órbita
de periodo 2.
• Inicialmente, estos puntos son estables (derivada menor que 1).
• Esto se puede ver esquemáticamente en el diagrama de puntos fijos de M2(x) [la
solución de M2(x) = x] en función de r:
Esto se denomina una
bifurcación de doblado de período
x
3
r
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La ruta hacia el caos
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• El mismo tipo de análisis se puede aplicar
al mapa M2.
• Resultado:
• M(x) estable para 1 < r < 3 = r0.
• En r0 ocurre una bifurcación.
• M2(x) estable para r0 < r < r1
• En r1 ocurre una bifurcación.
• y así infinitas veces, con cada vez
menos distancia entre las rm.
• Un análisis más profundo da como
resultado que r = 3.57...
• Se puede demostrar que
m
r  rm  c ˆ
(la distancia entre bifurcaciones es constante
en escala logarítmica)
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La ruta hacia el caos
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• Curiosamente, este número  (=4.669201...), junto con otro cuyo definición no
discutiremos aquí (a = 2.50280...), no son casuales sino que son números
universales (en el mismo sentido que p o e) que aparecen en cualquier sistema
disipativo típico con una cascada de doblado de período, independientemente de la
dimensión del mismo.
• En el estudio del caos uno se encuentra con regularidad con propiedades
universales, que son características del comportamiento caótico, y no del sistema
subyacente.
• Para expresar este concepto, se usa el término de “comportamiento emergente”
para señalar que las características del fenómeno son el producto del
comportamiento (las interacciones) e independiente del nivel inferior (sistema
subyacente).
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La ruta hacia el caos:
resumen
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Résumen desde un punto de vista físico
• La ruta hacia el caos ocurre en muchos sistema físicos.
• El parámetro que gobierna el comportamiento suele ser relacionado con la
inyección de energía en el sistema.
• Al aumentar la inyección de energía, se doblan y multiplican las frecuencias
básicas del sistema, debido a que se debe dar cauce a un flujo de energía cada vez
mayor.
• Esta multiplicación no continua hacia el infinito, sino que lleva a un
comportamiento irregular asociado con la apariencia de órbitas inestables.
• A pesar de ser inestables, las órbitas no “escapan” hacia lo infinito debido a la
existencia de disipación en el sistema (fricción). Más adelante se hablará más de
esto.
• Este balance entre “expansión” (comportamiento inestable, crecimiento
exponencial) y “compresión” (disipación) da lugar al comportamiento “extraño” o
caótico que observamos.
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El estado caótico
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• Una vez dentro del en el estado caótico,
podemos seguir con la construcción del
diagrama de bifurcación.
• Hay zonas completamente caóticas, y
bandas donde se vuelve a tener una
situación periódica.
• Haciendo una ampliación de una zona
así, se observa que la gráfica del detalle
(rectangulo azul) es muy parecida al
dibujo completo.
• De nuevo, esto se repite ad infinitum.
• Resulta que, a pesar de la apariencia, en
número de ventanas periódicas es denso
(es decir, en cada punto hay una ventana
a menos de una distancia e, siendo e
arbitrariamente pequeño).
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Clasificación de bifurcaciones
Diagrama de
bifurcación
Comportamiento del mapa
antes
después
Doblado de
periodo
Tangente
Doblado de
periodo
inverso
r
pendiente > 1: inestable
pendiente < 1: estable
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Otras rutas hacia el caos
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• La ruta de doblado de periodos no es la única manera de transitar de una situación
periódica / laminar hacia una situación caótica.
• Cuando, al desestabilizarse una órbita periódica, no hay otra órbita estable cercano
en el espacio de fases, entonces puede producirse intermitencia.
• El sistema entra y sale del estado caótico de manera irregular. Aumentando el
parámetro de control cada vez predomina más el estado caótico. Ejemplo: Lorenz.
• También en esta ruta al caos existen varios
tipos de bifurcaciones (Hopf, doblado de
periodo inverso, ...).
• Una tercera ruta al caos se denomina ruta
de “crisis”
• Se produce cuando atractores en el
espacio de fase chocan o aumentan su
tamaño, conduciendo a un cambio drástico
de las órbitas.
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Caos en un sistema de ondas
acopladas
• Ya nos hemos detenido en un sistema de ondas acopladas cuando hablamos de la
bicoherencia. Ahora vamos a demostrar que es muy fácil que se produzca caos en
un sistema de ondas acopladas, y que el tipo de caos es muy similar al del mapa
estándar.
• Considera una onda plana con amplitud pequeña:
C1 exp i(k1  x   1 t )
• Supongamos que esta onda número 1 se acopla fuertemente con dos otras ondas:
C 2 exp i( k 2  x   2 t )
C 3 exp i(k 3  x   3 t )
• Y las 3 ondas están casi en resonancia, es decir:
k1  k 2  k 3
1   2   3  
 pequeño
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Caos en un sistema de ondas
acopladas
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• En tal caso, la amplitud compleja de las ondas se ve mutuamente afectada de la
siguiente manera:
dC 1
dt
 C 3 C 2 exp i t 
dC 2 ,3
dt
  C 1 C 3 ,2 * exp i t 
• Las ondas cambian lentamente de amplitud y fase, debido a la falta de resonancia
caracterizada con el parámetro pequeño . No hay intercambio de energía con el
ambiente.
• Ahora suponemos que debido a la interacción con el ambiente, todas las ondas están
sujetas a un crecimiento (lineal), parametrizado con el ritmo de crecimiento g.
• Supongamos que la onda 1 sea inestable (g > 0), mientras que las otras sean estables
(g < 0). A las ecuaciones de arriba se añade el término de crecimiento lineal:
21
Caos en un sistema de ondas
acopladas
dC 1
dt
 g 1 C 1  C 3 C 2 exp i t 
dC 2 ,3
dt
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 g
2 ,3
C 2 ,3  C 1 C 3,2 * exp i t 
• En principio, la onda 1 crecería exponencialmente al ser inestable, pero cabe la
posibilidad que la energía de la onda 1 se transfiere a las otras ondas debido al
acoplo.
• Por tanto, en conjunto el sistema puede experimentar una “expansión” exponencial
en una “dirección” que se ve compensado por una “contracción” exponencial en
otras “direcciones”. Esto es típico de un sistema caótico.
• El sistema puede ser simplificado algo poniendo g2 = g3.
• Se ha estudiado el comportamiento de estas ecuaciones en función del parámetro de
control g = g2 /g1.
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Caos en un sistema de ondas
acopladas
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amplitud de onda 1 frente a tiempo en función de g
• Transición al caos por la ruta de doblado de
periodo
• Un mapa (xn+1 frente a xn) muy similar
(aunque invertido) al mapa estándar.
• Conclusión: el tipo de caos producidos por
ondas acopladas es similar al del mapa
estándar.
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La dimensión fractal
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• La dimensión fractal de un sistema es un parámetro fundamental.
• ¿Cuál es la razón?
• Si tenemos unas medidas, pero no conocemos el sistema de ecuaciones subyacente,
quisieramos saber, al menos, cuántos variables independientes se necesitan para
describir el movimiento observado.
• Si intentamos modelar el sistema con las ecuaciones diferenciales siguientes:
dx
dt
 F( x)
pero la dimensión de x es menor que la dimension fractal, el proyecto fracasará al no
disponer de suficientes grados de libertad.
• Así que la dimensión fractal es una importante indicación para conocer el número
de variables requeridos para describir el sistema.
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La dimensión fractal:
un ejemplo
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• Un objeto puede tener una dimensión fractal.
• Considera el conjunto de Cantor:
0
1
2
proceso de
construcción
• La longitud de la suma de los intervalos en la iteración n es: (2/3)n.
• ¿Cual es la dimensión del conjunto de intervalos? No es 1, porque no es una
línea (para n  ∞ la longitud va a cero), y no es 0, porque incluso si n  ∞ el
número de puntos dentro del conjunto es infinito.
• Existen muchas maneras –no todas equivalentes– de estimar la dimensión de un
objeto. La más fácil de comprender, y una de las más usadas, es el método de
contar cajas (box-counting).
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Algoritmo de contar cajas
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• Cubre el objeto (en dimensión N) con una matriz de cajas (cuadrados o
hipercubos), de tamaño e.
• Cuenta cuántas de las cajas contienen puntos pertenecientes al objeto. El número
de cajas con algo dentro es Ne.
• Toma el límite e  0. La dimensión fractal es:
e
D 0  lim
e 0
ln N e
ln 1 / e 
• Tarea: comprobar que este algoritmo
funciona para objetos “normales” (un punto,
una línea, una superficie cerrada).
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La dimensión fractal
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• Es muy sencillo aplicar este algoritmo al conjunto de Cantor.
• Elige “cajas” de tamaño en = (1/3)n.
• El número de cajas llenas es: Ne = 2n.
• Luego la dimensión del conjunto de Cantor es: D0 = ln 2 / ln 3 = 0.63...
• Para sistemas dinámicos esta manera de estimar la dimensión puede resultar poco
satisfactoria, porque el algoritmo no toma en cuenta la densidad de puntos dentro
de cada caja, sólo si hay puntos dentro de la caja o no. Con sistemas dinámicos, la
densidad de puntos en un atractor puede ser muy alto, ya que (siendo un atractor)
una órbita pasa muchas veces muy cerca del atractor.
• Para tomar en cuenta este aspecto de sistemas dinámicos, se ha generalizado el
algorítmo de contar cajas (Grassberger-Hentschel-Procaccia).
27
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Para Fusión
La dimensión fractal
• La definición generalizada de la dimensión fractal es:
Dq 
1
1 q
lim
e0
ln I( q, e )
Ne
donde
ln 1 / e 
I (q, e ) 

q
i
i 1
y i es la densidad de puntos en cada caja.
• Para q = 0 obtenemos la dimensión D0 de antes.
• Para q > 0, cajas con i mayor tienen más influencia en el resultado.
• Si Dq depende de q, el sistema se denomina multifractal.
• Para q = 1 (hay que tomar el límite q  1), tenemos un caso especialmente
interesante:
Ne

D1  lim
e 0
i
ln  i
i 1
ln  e 
• Esta dimensión se conoce como la dimensión de información y lo estudiaremos
más adelante.
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La dimensión fractal
• En la práctica no se puede tomar el límite para e  0, y lo que se hace es
dibujar un gráfico, pintando ln I(q,e) frente a ln e. Si los puntos están en una
recta, se puede extrapolar a e = 0 y estimar la dimensión a partir de la pendiente.
• Otra definición de la dimensión es la dimensión en un punto. Esta manera de
estimar la dimensión permite estimar la dimensión localmente en cualquier punto
de un atractor:
D p ( x )  lim
e0
ln  ( B e ( x ))
ln  e 
donde  es la densidad de puntos y Be(x) es una bola (N-dimensional) con radio
e centrado en x. Para la mayoría de los casos, Dp ≈ D1.
• El famoso algoritmo de Grassberger y Procaccia es una variante de D2.
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La dimensión de Hausdorff
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Para Fusión
• La dimensión de Hausdorff es otra manera de definir una dimensión.
• Es más complicado de evaluar pero matemáticamente mejor definido.
• Por ejemplo, la serie de puntos 1, 1/2, 1/3, ... daría una dimensión distinta de cero
con los algoritmos anteriores, pero la dimensión de Hausdorff da cero
(correctamente).
• Definición de la dimensión de Hausdorff de un objeto A:
• Sea Si una colección de subconjuntos del espacio tal que los diámetros ei de Si sean
todos menores que un número : 0 ≤ ei ≤ , tal que los Si cubren el objeto A
completamente.
• Definimos la calidad de Hausdorff GHd():
G H (  )  inf
d
Si
 ei
d
i
30
La dimensión de Hausdorff
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• La calidad de Hausdorff es esa colección de subconjuntos Si que:
• Cubre A completamente
• Minimiza la suma de sus diámetros a la potencia d (o sea, minimiza el
volúmen de la cobertura en la dimensión d).
• Este es una generalización matemática (tal vez no muy práctica) de las nociones de
longitud, área, volúmen, etc:
• Para una superficie suave en un espacio de 3 dimensiones, GH2 es el área de la
superficie, mientras que GHd = +∞ para d < 2 y GHd = 0 para d > 2.
• Este comportamiento es genérico. Por tanto, se define la dimensión de Hausdorff
como aquel valor de d, DH, tal que GHd es ∞ para d < DH, y GHd es 0 para d > DH.
• No se suele usar mucho esta dimensión por ser complicado de evaluar.
• Se puede demostrar que D0 ≥ DH, por lo cual, si sólo nos interesa saber cuántos
parametros independientes necesitamos para describir un sistema, D0 nos vale.
31
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