Criticalidad auto-organizada
Carlos Reynoso
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
[email protected]
Objetivos (1/2)
• Plantear una pregunta crucial
– Para diversos sistemas con múltiples elementos
relacionados de maneras complejas ¿hay algún mecanismo
que explique al menos algo de su conducta, o ésta depende
crucialmente de los detalles de cada sistema?
• Comprender la teoría de SOC como modelo que
vincula diversas ideas de la complejidad
• Establecer posibilidades y limitaciones
• Examinar aplicaciones en ciencias sociales y
biológicas – Definir recursos, herramientas y trabajos
Objetivos (2/2)
• Formular otras preguntas importantes:
– La criticalidad tiene que ver con transiciones de
fase: ¿Qué teorías alternativas tienen las
ciencias sociales al respecto?
– Además: Fuera del modelo evolucionista ¿qué
modelos de cambio hay disponibles?
– En las series temporales o en los procesos
colectivos ¿Qué dinámicas se manifiestan?
Agenda
• Contexto histórico
• Principales ideas y conceptos
• Temas conexos
–
–
–
–
Ley de potencia
Percolación
Sociofísica
Crecimiento biológico (Morfogénesis)
• Aplicaciones en antropología y otras disciplinas
• Herramientas y recursos
Criticalidad auto-organizada
• Per Bak
[1948-2002]
How nature works
How nature works
Gutenberg-Richter, terremotos
How nature works
Mandelbrot, precios del algodón
El exponente de la ley de potencia corresponde a la inclinación de la curva
Ley de potencia
• Siendo s la intensidad de un terremoto, el número
de terremotos de esa magnitud sería:
• N(s) = s-
• Un terremoto es probable proporcionalmente a la
potencia inversa de su magnitud
• Dado que tanto la ley de potencia como la
distribución lognormal son asintóticas, se propone
esta regla:
– Una distribución es de ley de potencia si produce una
línea recta en un gráfico log-log sobre 3 o más órdenes
de magnitud (10-100-1000)
Ley de potencia
• La mejor forma de entenderla es mediante la ley
de [Max] Kleiber (1930)
– La actividad metabólica escala a la ¾ potencia de la masa de un
animal – Innumerables reportes en archivos*
*Bateson – Espíritu y naturaleza, “El cuento del caballo poliploide”
How nature works
Modelado
Criticalidad auto-organizada
• Pila de arena: avalanchas (Per Bak)
• Distribución de ley de potencia
– Rasgo fractal (cuenca de ríos, palabras en texto, terremotos,
ciudades/tamaño, riqueza, extinción de especies en eras
geológicas)
– Espectro de potencia 1/f
– No: estaturas, lotería; frecuencia estadística normal
• Auto-organización
• Comunicación y vecindad entre agentes
• No proporcionalidad de causa y efecto: un grano 
reacción en cadena
• Independencia de objeto y escala (grano/tamaño)
• Fractales naturales – Instantáneas de procesos críticos
(Tamás Vicsek)
Modelo de la pila de arena
• El nombre es puramente heurístico
• Se trató de un modelo de autómatas celulares con
esa interpretación
• No fue una pila de arena real
• Las reglas que definen la dinámica del modelo
derivan de su aparente relación con una pila de
arena
• El experimento que popularizó la SOC (Bak,
Tang, Wiesenfeld [BTW] 1987) es posterior al
Método de Morin, por ejemplo
Modelo de la pila de arena
Modelo de la pila de arena
Metastabilidad
• Capacidad de un estado de no
equilibrio de persistir cierto
tiempo
• Usualmente se debe a
una transición
relativamente lenta
• Es una situación
inestable y transitoria
pero relativamente larga
• O bien: persiste en un cierto
equilibrio si no se la perturba,
pero pasaría a un equilibrio
más estable si se la perturba
suficientemente.
1.
2.
3.
Débilmente estable
Transición inestable
Fuertemente estable
Auto-organización
• Término introducido por Ross Ashby [disp.]
• Nada tiene que ver con subjetividad (Morin) ni con
individualismo (autopoiesis)
– Interpretaciones cuestionadas por el propio Ashby
• Capacidad que tienen ciertos sistemas alejados del
equilibrio (o disipativos) a desarrollar estructuras y
patrones sin que haya manipulación o control por parte de
un agente interno o externo
– Surgimiento de patrones en reacciones químicas, o de estructuras
en biología
• En ciencias de la complejidad jamás se invocan causas
externas
Invariancia de escala
• En mecánica estadística, es un rasgo de las
transiciones de fase
• Cerca de una transición de fase o punto crítico, las
fluctuaciones ocurren a todas las escalas
• Se debe buscar una teoría específicamente
invariante de escala para describir el fenómeno
(por ejemplo SOC)
• Universalidad: Sistemas muy diversos pueden
exhibir conductas idénticas en transiciones de fase
Invariancia de escala
• A veces se dice que los fractales son
invariantes de escala, pero más
precisamente son autosimilares
• Algunos fractales pueden tener múltiples
factores de escala simultáneos
– Estos son estudiados por el análisis multifractal
• Algunas distribuciones aleatorias también
tienen invariancia de escala
Transiciones de fase
• Clasificación derivada de Ehrenfest, pero con otro
significado
– Primer orden
• Discontinua. Involucran calor latente, régimen de clase mixta:
agua en ebullición
– Segundo orden
• Continua. Más fáciles de estudiar. Poseen un punto crítico. Se
las puede caracterizar mediante exponentes característicos.
Fluctuaciones 1/f. Sistemas con los mismos exponentes críticos
pertenecen a la misma clase de universalidad.
• Teoría del grupo de renormalización: Las propiedades
termodinámicas de un sistema cerca de una transición de fase
dependen de pocos rasgos (dimensionalidad, simetría) y no de
la naturaleza microscópica del objeto.
Criticalidad
• En las cercanías de la fase crítica, una
interferencia afecta no sólo a los vecinos
próximos, sino a la totalidad del sistema.
• El sistema deviene crítico, en el sentido que todos
los miembros se afectan mutuamente.
• Semejanza con el concepto de filo del caos
– Per Bak enfatiza afinidad con fractales, pero reniega de
la teoría del caos
– También es crítico respecto de Prigogine & cía
Espectro de potencia
• Power spectrum – Según BTW, sería 1/f para la
pila de arena.
• La densidad espectral, multiplicada por un factor
adecuado, da la potencia de una onda por unidad
de frecuencia. Habitualmente se mide en watts por
herzio.
• Muchos de los gráficos de frecuencia en realidad
muestran la densidad espectral.
• Es función de la frecuencia, no del tiempo; cuando
se considera una serie temporal resulta un
espectrograma.
Discusiones
• Las teorías super-generales siempre generan
controversia entre los especialistas en los diversos
campos.
• Se ha señalado un error de cálculo, de modo que el
espectro de potencia no sería 1/f, sino 1/f2
• Experimento de Oslo con granos de arroz, 1996.
– Vidar Frette, Kim Christensen, Anders MaltheSørenssen, Jens Fedder
– Funciona con granos largos, pero no con granos cortos.
– De modo que no sería tan universal, sino que estaría
relacionado con las características materiales del
sistema.
Aplicaciones
Pánico
Tamás Vicsek
Simulación
• Profesor de Física Biológica, Universidad
de Eötvös Loránd.
• Vinculado al grupo de László Barabási.
• Autor de referencia de Per Bak en materia
de formación de paisajes.
• Estudia actualmente fenómenos de
sincronización (Strogatz), redes IE,
fenómenos de multitud (boids, ola
mexicana, casos de pánico).
Tamás Vicsek
Modelos de crecimiento
• Jaap Kandorp
– Fractal modelling growth and
form in biology [disp.]
• Cómo surgen las formas en el proceso de crecimiento
• Sistematización de los modelos revisados en este seminario
• Vinculación de los principios fractales con principios
constructivos (iterativos) y restricciones ambientales
• Poder predictivo de modelo como criterio de adecuación
• Saltos entre el individuo y el colectivo: del conocimiento
del DNA de una gaviota no se puede predecir el
comportamiento de una bandada
• Importancia de estas observaciones para las ciencias
sociales
Modelos de crecimiento
• D’Arcy Thompson – Eventos en el tiempo, no
sólo en el espacio
• Mecanismo de difusión por reacción (Turing,
1952)
– Las bases químicas de la morfogénesis
– Activadores e inhibidores
– Biología matemática JD Murray [disp]
• DLA – Witten/Sander, 1981
• IFS, sistemas-L
• Construcciones geométricas
iterativas (Kandorp) [disp]
– Crecimiento modular, crecimiento
acretivo, modelos de influencias externas
Criticalidad y pánico
• Saloma, Pérez, Tapang
– Colas auto-organizadas y comportamiento independiente de escala
en pánico real (2003)
– La gente va saliendo en ráfagas (bursts) de varios tamaños con una
signatura en arco especial
– Se observa ley de potencia en el tamaño de las ráfagas cuando el
ancho de la puerta es algo mayor que 1 (tamaño de persona)
– Cuando hay 2 puertas no se obtiene un throughput Q mayor que el
doble
– Si las puertas no están suficientemente separadas, Q
disminuye bastante
– Q es más elevado con gente relajada que con ansiosos
Sociofísica
• Nueva disciplina
– Uso de física de sistemas complejos para el estudio de
fenómenos colectivos
– Vinculada con sociedades y culturas artificiales y
modelos basados en agentes
• Tamás Vicsek
Ola
Simulación
– La “ola mexicana”
• Dietrich Stauffer, Serge Galam, Philip Ball
Sociofísica
Dietrich Stauffer
• Universidad de Köln
• Especialista en percolación y vida artificial
– Muchos aspectos de la teoría de percolación están
tomados de la teoría de las transiciones de fase
• Aplicaciones no convencionales de física
estadística
• Simulaciones de competencia
entre lenguajes
• Libro de percolación
disponible
Percolación
• Dos tipos
– De vínculo (bond) – Modelo
de flujo por ligadura.
– De sitio (site) – Modelo de
flujo por nodo. Estos
modelos son los más
generales.
• Un modelo de ligadura se
puede reformular como uno de
sitio sobre un enrejado
diferente. Lo contrario no es
posible.
SimuLab/Blaze
Percolación de vínculo y sitio
Sociofísica – Serge
Galam
• Estudio físico de la inercia política en la sociedad
contemporánea
• Trabajó algún tiempo con Serge Moscovici
• Recupera las intuiciones de
Schelling, Axelrod, Stauffer
y otros
• Modelados
– Por ejemplo, el rumor francés (ningún
avión cayó en el Pentágono) – Umbral
crítico, usualmente algo bajo
– Percolación de soporte pasivo en los
ataques del 9/11 [disp.]
Econofísica
• Considera que la economía clásica se basa en una
termodinámica del equilibrio que es inaplicable a
la realidad
–
–
–
–
–
–
Brian Arthur
Ricardo Mansilla
Rosario Mantegna
Eugene Stanley
Hagen Kleinert
econophysics.org
Psicofísica
• Se remonta a la ley de Weber-Fechner, bien
conocida por Bateson
– Ernst Heinrich Weber [1795-1878], Fechner [18011887]
– Relaciona intensidad de un estímulo con la sensación
producida
– Se percibe un cambio de 100 a 110, pero no de 1000 a
1010. Es una escala logarítmica.
• Suplantada ahora por la ley de Stanley Stevens
[1906-1973]
Ley de Stevens
• l=kl
•  es la magnitud
subjetiva del estímulo, l
es la magnitud del
estímulo físico,  es un
exponente que depende
del tipo de estímulo y k
es una constante de
proporcionalidad
• Obviamente, es una ley
de potencia
1/f en la cognición humana
• Numerosos artículos en la bibliografía
–
–
–
–
Jeffrey Pressing
Eric-Jan Wagenmakers
Van Orden y otros (críticos)
Delignières (fractalidad de la autoestima)
Flock, Herd, Shoal, Boids
Flock, Herd, Shoal, Boids
• El modelo clásico de multitudes es el de
Craig Reynolds, 1987
• Modelo basado en agentes. Reglas de tipo
Asimov:
– Separación: No estar muy cerca de los
que vuelan cerca
– Alineamiento: Procurar que coincida la
velocidad y dirección con las de los boids
cercanos
– Cohesión: Navegar hacia el centro
percibido de la masa de los boids vecinos
• No es un modelo de la totalidad, ni un
modelo de las partes. Es un modelo de las
relaciones inmediatas.
• El orden social y la estructura son
emergentes de las interacciones locales.
3D Boids
Más de este tema en clase de
modelos basados en agentes
(MBA)*
*Lo que habría que preguntarse ahora es: ¿cuál es el modelo de interacción y autoorganización emergente que se maneja en antropología (o, para el caso, en autopoiesis)? La
respuesta correcta parece ser: ninguno
Andrea Rinaldo
• Universidad de Padova
• Formación de paisajes
• Ley de Horton (ley de
potencia) en la
formación de cuencas
hidrológicas
• La tierra está organizada
en estado crítico, fuera
de equilibrio. Los
paisajes son instantáneas
de un proceso crítico
dinámico.
Atascos de tránsito 1
• Kai Nagel – Razones
triviales o fuera de
proporción
• Las congestiones son
fractales, con mini-atascos
anidados
• Es un proceso crítico con
exponente de 1.5
• La señal es una “escalera
del diablo”
– Dynamics Solver
– IFS to Chaos
Atascos de tránsito 2
• Kai Nagel, ahora con Heinz Herrmann
– Pruebas de varios modelos deterministas
– SOC, definida por el vehículo más lento
• Kai Nagel, con Steen Rasmussen
– Inutilidad sistemática de poner agentes que traten de
optimizar su región local
• Maya Paczuski y Kai Nagel
– Atascos fantasmas generados por trivialidades, antes
que por eventos importantes
– El estado óptimo de mayor eficiencia (con el mejor
throughput) es un estado crítico con atascos de todos
los tamaños
Aplicaciones
• Bentley (Wisconsin) / Maschner
(Idaho) – SOC aplicada a lista
de venta de discos
– Modelo crítico de extinción,
agentes compitiendo por espacio
limitado (top 200)
– Similar a otros modelos críticos de
extinción
– Tiempo de persistencia en lista,
“avalancha” (relación con número
total que salen de la lista)
Aplicaciones
• Mark Lehner, “Fractal house of Pharaoh”
y otros escritos [disp.]
– Mayor especialista en la construcción de las pirámides. No fueron
esclavos.
• El antiguo Egipto como CAS
• Las dinastías, los reinos, los ciclos de orden y
fragmentación se pueden pensar como sistemas críticos
• Ciclos anuales y periódicos caóticos (en el
sentido matemático) – Las crecidas del Nilo
• Necesidad de un enfoque a nivel de agente,
que es lo que faltó en la Nueva Arqueología
Aplicaciones
• Keitt (SFI), Marquet
(UC Chile), 1995:
Introducción y
extinción de avifauna
en Hawaii
• Shih-Kung Lai,
evolución de ciudades
• Otros: modelos de
propagación de
incendios y
enfermedades exhiben
criticalidad
Aplicaciones arqueológicas
• Materiales de las excavaciones de Cesárea
• Reich, Leitus y Shalev encontraron ley de
potencia y criticalidad en procesos de
corrosión de plomo
• Aplicable a objetos enterrados en suelos con
pH>6.5
• Método de datación no destructivo
Aplicaciones en antropología y
humanidades
• Bentley-Maschner: tipos cerámicos en Arizona y
Nueva York (criticalidad organizada en aparición y
extinción).
• Allen, Sanders: criticalidad aplicada a la
expansión de ciudades.
• Asako Fukumoto, Ryta Mizumori – SOC of color
information of impresionist’s art works.
• Harvey y Reed: paradigma iconológico.
Herramientas
Moduleco
• Modelo basado en agentes.
• Un poco incontrolable, pero se puede
contactar a los responsables por problemas
puntuales.
• Varios modelos
– Sugarscape, percolación, segregación, pequeños
mundos, influencia social…
– SOC: bak
Modelos de pila de arena en AC
• Capow! 2004/2005
– Tomar 2D Sandpile
with Image
– Visualizar en
2 o 3 dimensiones
– Investigar otros
modelos para entender
la interpretación
NetLogo 3D
• Mejor
implementación
a la fecha
Otras herramientas
• Modelos de procesos colectivos en diversos
programas de complejidad, dinámica no
lineal y fractales
– Visions of Chaos
• Modelos de optimización basados en
enjambres, ant colony, etc
Conclusiones (1/3)
• Uno de los conceptos fundamentales de la
dinámica no lineal
• Ingredientes justos de polemicidad y relevancia
– Hay abundancia de crítica a SOC, 1/f, fractalidad
dudosa, modelado ciego…
• Montones de aplicaciones en diversas disciplinas
• Pocas herramientas específicas – Muchas
herramientas en áreas colaterales
• Fuerte vinculación con otras áreas de autoorganización
– Redes IE, agentes autónomos, fractales, percolación
Conclusiones (2/3)
J. D. Murray – Biología matemática
Conclusiones (3/3)
• Poder hacer un modelo no es suficiente
• Siempre será necesaria una interpretación
disciplinar (material) de los resultados
• Un modelo no explica, sino que en todo caso
aclara algún aspecto
• Producir resultados temporal o espacialmente
similares a la realidad es sólo un primer paso para
entender los procesos dinámicos y plantear
mejores problemas
Referencias
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•
•
•
Per Bak. 1996. How nature works..
Henryk Jensen. 1998. Self-organized criticality.
Tamás Vicsek – Home page
Dietrich Stauffer y Amnon Aharony. 1992.
Introduction to percolation theory.
• Geoffrey Grimmet. 1992. Percolation.
• J. A. Kaandorp. 1998. Fractal modelling, growth
and form in biology.
• J. D. Murray. 2002. Mathematical biology. An
introduction.
¿Preguntas?
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Criticalidad auto-organizada