Taller Capacitación a docentes - UAI
Fractales:
Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos
Primera Parte
Aspectos Teóricos de la
Geometría Fractal
Definición de Fractal
Autosimilitud
Dimensión Fractal
Diferentes Tipos de Fractales
¿Qué es un Fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
1)
Autosimilitud
2)
Dimensión Fraccionaria
¿Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales
Complejos
Caóticos
Autosimilitud
1) Perfecta:
compelto.
Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto
Autosimilitud
2) Estadística: cada región de un objeto
características globales.
conserva, de manera estadísticamente similar, sus
¿Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).
Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.
Ejemplos:
Curva de Von Koch
Curva de Peano
Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el
plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través
de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo.
Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.
Definición informal de Geometría Fractal
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de
estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y
computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás
figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características
fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados
por dimensiones fraccionarias.
Diferentes Tipos de Fractales
Fractales
Lineales
Autosimilitud Perfecta
Complejos
Autosimilitud Estadística
Son los objetos geométricos
de la Teoría del Caos
Caóticos
Poseen estructura Fractal.
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal fácil de
calcular con: S = LD
Dimensión Fractal difícil de
calcular. Se requiere software.
Método: Box Couting
Se crean a partir de:
-Un generador
-Un algoritmo de repetición
Se crean a partir de:
-Un Z0
-Iteraciones en el Plano Complejo
Se generan a partir de sistemas de
Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo: Conjunto de
Mandelbrot, Conjunto de Julia
Ejemplo: Atractor de Lorentz
Modela el Clima Meteorológico
Ejemplo: Triángulo de Cantor y
Triágulo de Sierpinski
Se requieren métodos de
medición más complejos que la
Dimensión Fractal.
Fractales Caóticos - Atractores Extraños
Segunda Parte
Sistemas Dinámicos
Teoría del Caos
Arte
Conceptos básicos
Concepto de Dinámica:
La dinámica de cualquier situación se refiere a como el estado de la mencionada situación planteada,
evoluciona a lo largo del tiempo.
Definición de Sistema:
Grupo interrelacionado de elementos independientes que forman un “todo” más complejo y
persigue un determinado fin.
Por ejemplo, el cuerpo humano o una red de computadores.
Definición Informal de Sistemas Dinámicos:
Llamamos Sistemas Dinámicos a aquellos que, mediante una regla, pueden ser
definidos por un conjunto de variables cuyos valores cambian a lo largo del tiempo.
- Dichas variables se denominan “variables de estado”
- Ellas determinan el “estado” del sistema en un momento dado
- Ellas trazan una trayectoria determinando el “espacio de estado”
Nota: No confundir la evolución en el tiempo de las variables de una ecuación con la evolución de los parámetros de la misma.
Caos de todos los días
Por
Por
Por
Por
Por
un clavo se perdió una herradura,
la herradura se perdió el caballo,
el caballo se perdió al jinete,
el jinete ser perdió la batalla,
la batalla se perdió el reino
------------------------------------------------------------------------------------Efecto Mariposa
Este concepto hace referencia a la sensibilidad de un
sistemas a las condiciones iniciales:
El aleteo de una mariposa en Tokio
puede generar un torbellino en
el Caribe
Caos de todos los días
Al repetir este experimento
en reiteradas ocasiones, por más
que las condiciones iniciales sean
prácticamente las mismas, los resultados
son significativamente diferentes.
“ Cambios minúsculos conducen a
resultados totalmente divergentes”
Caos en la Naturaleza
Dualidad entre Orden y Caos.
Ejemplos:
Solitones
Turbulencias
Leyes del Caos
Leyes “Informales” del Caos
Todo sistema presenta una dualidad Orden – Caos
Todo sistema presuntamente Ordenado tiende al Caos.
Todo sistema Caótico presenta islas de Orden intrínsecas
Ej: Cuerpo Humano
Corazón – Cerebro
Taller de Fractales y Sistemas Dinámicos - UAI
Fractales:
Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos
Juan Pablo Braña : [email protected]
Marisa Rollieri: [email protected]