3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Matilde Machado
1
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Supuestos básicos del modelo de Cournot:

El producto de las empresas es homogéneo

El precio de mercado resulta de la oferta
agregada de las empresas (precio único)

Las empresas determinan simultáneamente la
cantidad ofertada

La variable estratégica (“acción”) de las
empresas es la cantidad

El equilibrio es dado por la solución de Nash
(Cournot-Nash)
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
2
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Derivación Geométrica:

Supongamos el caso de duopolio (n=2)

Cmg=c constante

Demanda residual de la empresa 1:
DR1(p,q2)=D(p)-q2. El problema se
resuelva ahora como el problema del
monopolista.
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
3
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Derivación Geométrica (cont.):
P
p*
Cmg
D(p)
DR1(q2) =
demanda residual
q*1=
q2
R1(q2)
Img
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
4
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Derivación Geométrica (cont.):
q*1(q2)=R1(q2) es la cantidad óptima en
función de q2
Consideremos 2 casos extremos de q2:
Caso I: q2=0 DR1(p,0)=D(p) es toda la
demanda

La cantidad
M
q*1(0)=q
de
monopolio
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
5
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Caso 2: q2=qc DR1(p,qc)=D(p)-qc
D(p)
c
Demanda
residual
qc
c
Img<Cmgq*1=0
qc
Img
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
6
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Nota: Si las curvas de demanda y costes son
lineales entonces las curvas de reacción
también lo son.
q1
Función de Reacción
de la empresa 1
qM
qc
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
q2
7
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Si las empresas son
simétricas el punto
de Equilibrio se situa
en la recta de 45º,
las curvas de
reacción son
simétricas y q*1=q*2
q1
qc
qM
q*1
E
45º
q*2
Economía Industrial - Matilde Machado
qM
qc
Modelo de Cournot
q2
8
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Comparación entre Cournot, Monopolio y
competencia perfecta
La cantidad total producida
en oligopolio de Cournot
está compreendida entre la
cantidad de monopolista y
de competencia perfecta
q1
qc
q1+q2=qN
qM
q1+q2=qM
Economía Industrial - Matilde Machado
q1+q2=qc
qM
q1+q2=qN qc
Modelo de Cournot
qM<qN<qc
q2
9
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Derivación del modelo de Cournot para n=2
P=a-bQ=a-b(q1+q2)
Cantidad de la
empresa 2 como
Cmg1=Cmg2=c
dada
Para la empresa 1:
M ax 
q1
CPO:
1
 q1 , q 2    p  c  q1   a  b ( q1  q 2 )  c  q1

1
 q1
 0  a  bq1  bq 2  c  bq1  0
 2 bq1  a  bq 2  c
 q1 
Economía Industrial - Matilde Machado
ac
2b

q2
2
Modelo de Cournot
Función de reacción de la
empresa 1: cantidad optima
de la empresa 1 dada la
cantidad empresa 2 10
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Resolvemos lo mismo para la empresa 2 y tenemos
el sistema de ecuaciones a 2 variables.
a  c q2

 q1  2 b  2

 q  a  c  q1
 2
2b
2
Si las empresas son simétricas tenemos que
q1  q 2  q
*
*
 q 
*
*
ac
2b
Economía Industrial - Matilde Machado

q
*
2
 q 
*
ac
3b
 q1  q 2
Modelo de Cournot
N
N
Solución del
equilibrio
simétrico
11
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Solución de equilibrio simétrico:
q1  q 2  q
*
*
 q 
*
*
ac

2b
q
*
 q 
*
2
ac
3b
 q1  q 2
N
N
La cantidad total y el precio de m ercado son:
Q
N
q
q
N
2
p
N
 a  bQ
N
N
1
2ac
 

3 b 
a
2
3
Economía Industrial - Matilde Machado
a  c 
a  2c
3
Modelo de Cournot
12
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Comparación con competencia perfecta y monopolio
p  p
c
c
 p
N
M
a2c
ac
3
2
De donde podemos obtener que
p
c
c
1

p
N
c

2
3
Economía Industrial - Matilde Machado

p
M
c

En competencia perfecta se
pasa al consumidor todo el
incremento de costes
1
2
Modelo de Cournot
13
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Caso de n2 empresas:
M ax  1  q1 , ...q N
q1
   a  b ( q1  q 2  ...  q N )  c  q1
C P O : a  b ( q1  q 2  ...  q N )  c  bq1  0
 q1 
a  b ( q 2  ...  q N )  c
2b
Si todas las empresas son iguales:
q1  q 2  ...  q N  q
q
a  b ( n  1) q  c
2b
Economía Industrial - Matilde Machado
1
ac
ac


N
 1  ( n  1)  q 
 q 
2
2b
( n  1) b


Modelo de Cournot
14
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
La cantidad total producida y el precio de equilibrio son:
Q
p
N
N
 nq
N

 a  bQ
n
ac
n 1
b
N
 ab
n 


ac
q
c
b
n
ac
n 1
b

a
n 1

n
n 1
n 
c 
c
Si el número de empresas tende a ∞ el equilibrio de
Nash-Cournot converge al de la competencia
perfecta. Esto es una prueba de robustez del
modelo ya que con n→ ∞ las condiciones del
modelo son identicas a las de competencia perfecta
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
15
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Pérdida de Eficiencia en el modelo de Cournot
= área donde la disponibilidad a
pagar es mayor que el coste marginal pN
PE
PE 
1
p

2
N
 p
c
 Q
c
Q
N
c

1 1
n
n ac
 a  c
 
a
c  c


2  n 1
n 1
b
n 1 b 

2
1 ac
n 



0


2b  n  1 
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
QN
qc
Cuando el número de
empresas tende a infinito la
PE tende a cero que es lo
mismo que en competencia
perfecta. La pérdida de
Eficiencia baja más
rápidamente (a la tasa n2
que el precio)
16
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Hay una externalidad negativa entre empresas que no es
internalizada en el equilibrio de Cournot. Al ↑qi la empresa
hace bajar el precio de mercado para todas las unidades que
vendía antes y también para las de las otras empresas. Desde
el punto de vista de los productores (es decir de maximizar el
beneficio total), hay demasiada producción ya que no se
internaliza la externalidad negativa causada a las otras
empresas.
M ax  ( q i , q j )  q i P ( Q )  C i ( q i )
i
qi
CPO:
 i
qi
0
Economía Industrial - Matilde Machado
q i P ( Q )
efecto sobre las unidades
infram arginales
(externalidad negativa)
 P ( Q )  C i( q i )  0
rentabilidad d e 1 unidad
adicional
Modelo de Cournot
17
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Podemos escribir la CPO como:
P ( Q )  C i( q i )   q i P  ( Q ) 

P ( Q )  C i( q i )

P (Q )
 L 
N
i
si

P (Q )
  qi
 Q P (Q )
N
Q
Economía Industrial - Matilde Machado
N
i
qi
Q
 c y que s i  1 :
0 L  L  L
c
i
P (Q )
Q
donde s i es la cuota de m ercado =
dado que p
P ( Q )
qi
P
índice de Lerner
P ( Q )  C i( q i )
M
i
Modelo de Cournot
18
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Si definimos el índice de Lerner del mercado como:
L
sL
i
i
tenem os que:
i
sL
i
i
i
Economía Industrial - Matilde Machado

s
i
si
i


1

s
2
i

i
Modelo de Cournot
H

Es el índice de
concentración
de Herfindahl
19
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
El caso de duopolio asimétrico y costes marginales constantes.
la dem anda lineal P ( q1  q 2 )  a  b ( q1  q 2 )
c1  coste m arginal de la em presa 1
c 2  coste m arginal de la em presa 2
Las CPO (de donde se derivan las curvas de reacción) son:
 q 1 P  ( q 1  q 2 )  P ( q 1  q 2 )  c1  0
  bq1  a  b ( q1  q 2 )  c1  0
 

 q 2 P  ( q1  q 2 )  P ( q1  q 2 )  c 2  0
  bq 2  a  b ( q1  q 2 )  c 2  0
a  bq 2  c1

 q1 
2b
 
 q  a  bq1  c 2
 2
2b
Economía Industrial - Matilde Machado
Reemplazamos q2 en la curva de
reacción de q1 y resolvemos para
q1
Modelo de Cournot
20
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
El caso de duopolio asimétrico y costes marginales constantes.
q1 
a  c1
c2
c1
1  a  bq1  c 2 
3
a

q



1


2
2b
4
4b 4b 2b


2b
 q1 
*
a  c 2  2 c1
3b
Que reemplazamos en q2:
a  bq1  c 2
*
q2 
*
*
*
a

2b
2b
Q  q1  q 2 
*

a  c 2  2 c1
Economía Industrial - Matilde Machado
*

a  2 c 2  c1
3b
*
a  2 c 2  c1
 c2



3b
 2b

2 a  c 2  c1
3b
p  a  b ( q1  q 2 )  a 
*
1  a  c 2  2 c1

2
3b
2 a  c 2  c1
3
Modelo de Cournot
3b

a  c 2  c1
3
21
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
De las cantidades de equilibrio podemos concluir que
q 
*
1
a  c 2  2 c1
q 
*
2
;
3b
a  2 c 2  c1
3b
Si c1<c2 (la empresa 1 es + eficiente):
q q 
*
1
*
2
a

3b
c2

3b
3b
 q1  q 2
*
Economía Industrial - Matilde Machado
2 c1
*

a
3b

2c2

3b
c1
3b

c 2  c1
0
b
En el modelo de Cournot la empresa con
cuota de mercado más grande es también la
más eficiente
Modelo de Cournot
22
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Del resultado anterior se deriva que la empresa + eficiente
es la que tiene una mayor margen:
L1 
p  c1
p

Economía Industrial - Matilde Machado

p  c2
s1

p

 L2
s2

Modelo de Cournot
23
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Estática comparada:
El output de una empresa ↓ cuando:
q 
*
i
↑ sus costes
↓ costes de su rival
a  c j  2 ci
3b
q2
↑c1
Desplaza la curva de
reacción de la empresa 1
hacia adentro
E’
E
↑q*2 y ↓q*1
q1
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
24
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Los benefícios son:

1*
  p  c1  q 1   a  b ( q 1  q 2 )  c 1  q 1 
*
*
*
*
*

  a  c 2  2 c 1   a  c 2  2 c1 
 2 a  c 2  c1 
 a b
 c1   


3b
3b
9b




 
Aumentan con los costes del rival

2
1
c2
Disminuyen con los costes propios
0

1
 c1
0
Simétrico para la empresa 2.
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
25
3.2. Competencia en cantidades
modelo de Cournot
Nota: El modelo de Cournot es muchas veces criticado
con el argumento de que las empresas de hecho
eligen precios y no cantidades. La respuesta a esta
critica suele estar en la división del modelo de
Cournot en 2 periodos. En el primer periodo las
empresas elijen capacidades y en el segundo periodo
compiten en precios.
Economía Industrial - Matilde Machado
Modelo de Cournot
26
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