EX UM BRA
IN
SO L E M
INGENIERÍA ECONÓMICA
Primer Semestre 2001
Profesor: Víctor Aguilera
e-mail: [email protected]
Apuntes Nº 2
EX UM BRA
INTRODUCCIÓN
AL VAN
Valor Actual Neto
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•Consideremos la Siguiente Situación:
Se posee un edificio de departamentos que se incendia, que
deja un terreno valorado en $ 50.000.
Un experto inmobiliario sugiere construir un edificio de
oficinas. El coste de construcción sería de $ 300.000 y se
estima que se vendería por $ 400.000, $ 150.000 en el año 1 y $
250.000 en el año 2.
Si se considera una tasa del 10% anual, conviene o no el
proyecto.
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Introducción Valor Actual Neto
•Para este tipo de situaciones es útil obtener una representación
gráfica de la situación.
150.000
250.000
1
2
0
350.000
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Introducción Valor Actual Neto
•Para saber el real beneficio del Proyecto, debemos saber el
monto total de los ingresos y costos generados valorados en
tiempo presente, para determinar que es mayor.
VP  I 
F1
1  i 
1

F2
1  i 
2
 VAN
•Reemplazando
VAN   350 . 000 
150 . 000
1  i 
1

250 . 000
1  i 
2
  7 . 000
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Introducción Valor Actual Neto
•De la misma forma se puede determinar el Valor Actual Neto
para una serie de flujos en n períodos de tiempo:
VAN  I 
F1
1  i 
1

F2
1  i 
2
 ...... 
•Lo que resulta:
n
VAN  I  
j 1
Fj
1  i 
j
Fn
1  i n
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PAYMENT
O
CUOTAS
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Payment: Pagos Periódicos (Cuotas)
•Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas iguales.
Por lo que es necesario conocer algunas fórmulas que ahorrarán
bastante tiempo en los cálculos.
•Gráficamente se visualiza la siguiente situación:
0
PMT
PMT
1
2
PMT
3
PMT
n
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Payment: Pagos Periódicos (Cuotas)
•¿A cuanto equivale esta serie de flujos en tiempo presente?
Haciendo el análisis:
VP 
PMT
1  i 
1

PMT
1  i 
2
 ...... 
PMT
1  i n
•Lo que equivale:
n
VP  PMT  
j 1
1
1  i 
j
 PMT
1  i n  1

1  i n  i
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Payment: Pagos Periódicos (Cuotas)
•Despejando el PMT, tendremos:
 1  i  n  i 

PMT  VP  
n
 1  i   1 


•En donde:
 1  i n  i 

  F . R .C .  Factor de recuperaci ón del capital
n
 1  i   1 


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Payment: Pagos Periódicos (Cuotas)
•También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:


i
  VP
PMT  VF  
n



1

i

1


 1  i n  i 


n
 1  i   1 


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Ejemplo:
•Se tiene en mente el comprar un automóvil deportivo.
•Si el vehículo cuesta $7.000.000 y se desea pagarlo en 48
cuotas iguales.
•¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3%
mensual? ¿Cuánto debería pagar Saco de plomo si decidiera
cancelar toda su deuda al final de la cuota 48?
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Ejemplo:
•Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos ocupar la
fórmula del Payment.
 1  i n  i 

PMT  VP  
 1  i n  1 


•Reemplazando, tendremos:
 1, 03 48  0 , 03
PMT  7 . 000 . 000  
 1, 03 48  1


  277 . 045


Por lo tanto, se deberá pagar cuotas de $277.045
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Ejemplo:
•Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar toda su
deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar la fórmula del
Payment o simplemente llevar a valor futuro el valor inicial del
vehículo:
 1  i n  1 
  277 . 045
VF  PMT  


i


 1, 03 48  1 
  28 . 925 . 824



0 , 03


•O simplemente:
VF  VP  1  i   7 . 000 . 000  1, 03 
n
48
 28 . 925 . 763
(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe sólo a la
aproximación usada en el cálculo del PMT).
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GRADIENTES
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Gradientes
•Muchos Otra alternativa es que los flujos vayan variando en el
tiempo, ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto porcentaje
(escalada).
0
F1
F2
F3
FN
1
2
3
n
•O sea, los flujos ya no serán iguales en cada periodo
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Gradiente Uniforme
•En este caso, el aumento en los flujos es constante.
•Denominamos P al valor base (que no cambia) y G al aumento
período a período
0
P
P+G
P+2G
1
2
3
P+(n-1)G
n
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Gradiente Uniforme
•Al obtener una relación que lleve todos los flujos a Valor
Presente:
 1  i  n  1  G  1  i  n  1
n 

VP 0  P  


n
n
n 
 1  i   i 
i  1  i   i
1  i  


•Nótese que el primer término corresponde al Payment de los
lujos constantes.
•Signo positivo si el gradiente es creciente, negativo si es
decreciente.
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Ejemplo
•Considere los siguientes flujos:
Periodo
1
2
3
4
5
Flujo
1.000
1.100
1.200
1.300
1.500
•Interés: 4% por período.
•El primer paso es determinar la Cantidad Base (P) y el
Gradiente o aumento (G). (P = 1.000, G = 100)
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Ejemplo
•Reemplazando:
 1  0 , 04  5  1  100  1  0 , 04  5  1

5

VP 0  1000  

5
 1  0 , 04   0 , 04  0 , 04  1  0 , 04  5  0 , 04 1  0 , 04  5 




VP 0  1000   4 , 4518   2500 ·4 , 4518  4 ,1096

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Ejemplo
•Con lo que se obtiene:
VP 0  4451 ,8  855 ,5  5307 ,3  5307
El primer término
representa solo los
depósitos de 1000
El segundo término representa
los sucesivos incrementos de
100 cada uno.
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Gradiente en Escalada
•También es posible que el aumento en los flujos sea en un
determinado “porcentaje”.
P
0
1
P(1+E)
P(1+E)2
2
3
•Donde E = porcentaje de aumento del flujo.
P(1+E)n-1
n
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Gradiente en Escalada
•Nuevamente, podemos llevar a valor presente todos los flujos
con una sola expresión:
n


P
1 E 
VP 0 
 
  1
E  i   1  i 

Entonces, se dice que los
flujos van aumentando en un
15% y el interés es de un 10%
E = 0,15
i = 0,1
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PAGOS DE CRÉDITOS
AMORTIZACIONES
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Amortización (Pago de Créditos)
•A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dos
alternativas en las formas de pago:
»Con cuotas iguales
»Con amortización
Periodo
0
1
2
Principal
Deuda
Amortización
Interés Cuota
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Amortización (Pago de Créditos)
•Periodos de Gracia:
Independiente del método de pago, son períodos en los que solo
se cancelan los Intereses, sin pagar nada del Capital
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Amortización: Cuotas Iguales
•Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n
períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT
Periodo
Principal
0
A
1
2
D=A-C
Amortización
C=PMT-B
Interés Cuota
B=A·i
PMT
PMT
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Amortización: Cuotas Iguales
•El valor de la amortización se fija:
Periodo
Principal
0
A
1
2
C=A-AM
Amortización
AMORT
AMORT
Interés Cuota
B=A·i D=AM+B
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Ejemplo
•Se pide un préstamo de $1.000.000, a pagar en un período de 3
años en cuotas anuales, con un interés anual del 10%. Se dan 2
años de gracia. Calcule los pagos por ambos métodos.
a) Cuotas Iguales. Calculo cuota, como Payment.
 1,1  3  0 ,1 
  402115
PMT  1 . 000 . 000  
 1,1  3  1 


b) Amortización Igual.
AMORT

1 . 000 . 000
3
 333 . 334
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Solución: Cuota Igual
Periodo Principal Amortización Interés
Cuota
0
1.000.000
1
1.000.000
100.000
100.000
2
1.000.000
100.000
100.000
3
697.885
302.115
100.000
402.115
4
365.559
332.326
69.789
402.115
5
0
365.559
36.556
402.115
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Solución: Amortización Igual
Periodo Principal Amortización Interés
Cuota
0
1.000.000
1
1.000.000
100.000
100.000
2
1.000.000
100.000
100.000
3
666.667
333.333
100.000
433.333
4
333.334
333.333
66.667
400.000
5
0
333.334
33.333
366.667
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