Cap. 9
Sistemas de Partículas
Un Adelanto del Cap. 9
• Hemos terminado la primera parte
del curso, las leyes más
fundamentales.
• El resto es la aplicación de estos conceptos a
sistemas específicos. Pero veremos que nos será
muy útil desarrollar conceptos nuevos derivados
para entender ciertos sistemas.
• Empezaremos por el estudio de sistemas
compuestos (que son casi todos).
• Los conceptos nuevos serán: centro de masa y
momentum lineal.
• La ley más importante será la ley de conservación
de momentum que es muy útil pero no es una ley
general ya que tiene ciertas condiciones.
El Centro de Masa
Un Punto Especial
 Su movimiento representa el movimiento general de un objeto
compuesto.
Veremos que podemos entender su movimiento de una manera
“sencilla”.
El Centro de Masa de Un Objeto Sólido
 Pero, en la práctica, no usaremos estas ecuaciones. Son sólo
para permitirnos entender que el CM corresponde al centro
geométrico de un objeto de densidad uniforme.
Lo que sí usaremos en la práctica es la simetría del objeto (si es
que la tiene). El CM queda en el punto, linea o plano de simetría
de un objeto.
Otra técnica útil es reemplazar partes del objeto por puntos
localizados en sus respectivos CMs y con las masas
correspondientes.
 Llamar (xP, yP ) al CM de una placa con un hoyo.
 Encuentro yP = 0 por simetría!!!
 Tratar como si fuese un sistema compuesto por
dos párticulas.
=0
Es cero porque es el centro del sistema compuesto
que es el círculo grande.
xS = -R porque es el centro del círculo chiquito.
AreaS = π R2, AreaS+P = π (2R)2, AP=AS+P- AS = 3π R2
Combinándolo todo xP = R/3
La 2da Ley para un Sistema de Partículas
Por la tercera ley, todas las fuerzas internas se cancelan!!!!!!!!!!!!
Sólo tenemos que considerar las fuerzas externas!!
Obtenemos una “Segunda Ley de Newton” para el sistema. Esta ley
envuelve el movimiento del centro de masa del sistema!!
Ejemplo – Fuegos Artificiales
 Tomamos nuestro sistema como el cohete (sin la tierrra).
Está compuesto por muchos pedazos.
Las fuerzas de la explosión son fuerzas internas.
El CM se mueve de acuerdo a la única fuerza externa que es la gravedad.
El movimiento del CM es una parábola aún después de la explosión (linea
entrecortada).
Si calculamos el CM en cualquier instante de tiempo después de la
explosión obtendremos un punto en la parábola.
Otro Ejemplo – Flotando en el Aire
Un Paso de Ballet o Michael Jordan
 La persona está compuesta por piezas (brazos, piernas, cabeza) que se
pueden mover de manera diferente.
Las fuerzas entre las piezas son fuerzas internas.
La única fuerza externa es la gravedad.
El movimiento del CM es una parábola.
Si la persona levanta y baja los brazos y/o las piernas durante el brinco
puede mantener la cabeza a la misma altura porque la subida del CM está
dada por la subida de los brazos y/o piernas.
La persona parece que está flotando pero es sólo su cabeza. Su CM sube y
baja siguiendo una parábola.
La 2da Ley para un Sistema de Partículas
 Se toman todas las fuerzas externas que
actuan sobre cada una de las partículas.
Se hace un diagrama de fuerzas poniéndolas
todas rabo con rabo (como antes).
Se escribe la 2da ley usando la masa total, i.e.,
la suma de todas las masas.
La aceleración que aparece en la 2da ley es la
aceleración del centro de masa del sistema.
Momentum Lineal
Para una partícula
2da Ley
Para un sistema de partículas
El Momentum es un Vector
Conservación de Momentum
Condiciones: Un sistema aislado (Fneta, ext.= 0) y cerrado
 Es una ecuación vectorial así que representa varias ecuaciones
algebráicas, una por cada componente.
 Si la fuerza neta tiene un componente pero no otro, entonces el
momentum total no se conserva pero se conserva el componente
del momentum a lo largo del eje para el cual el componente de la
fuerza es cero.
Ejemplo - Una Nave Espacial Emite Carga
Conocemos vi , y la velocidad
relativa final. La masa de la carga
es 20%.
Buscar la velocidad final de la nave
con respecto al sol.
Usaremos H para la nave, M para el
módulo de carga, S para el Sol.
Cambio en Energía Interna en
Algunos Casos Donde La Fuerza Externa No Hace Trabajo
• Situación diferente a las que habíamos visto antes.
• El punto donde se aplica la fuerza externa no se mueve así
que la fuerza no hace trabajo.
• No todas las partes del sistema se mueven juntas.
• El brazo se mueve diferente al cuerpo.
• Las gomas se mueven diferente al chassis.
• El CM sí se mueve. El punto donde se aplica la fuerza no.
• Hay que pensar en el movimiento del CM del sistema.
Cambio en Energía Interna en
Algunos Casos Donde La Fuerza Externa No Hace Trabajo
O sea, lo que hay es un cambio de energía interna a energía mecánica.
Se puede demostrar (libro)
O sea, es como si la fuerza estuviese aplicada en el CM y estuviese
haciendo un trabajo.
En realidad es la energía interna la que está cambiando pero se puede
calcular el cambio conociendo la fuerza externa.
Un Adelanto del Colisiones
• Una colisión es un caso específico de un
proceso durante el cuál se conserva el
momentum. Las estudiaremos en detalle
porque son importantes.
• Son procesos donde hay fuerzas internas
grandes que duran muy poco tiempo.
• La energía mecánica puede conservarse
(colisión elástica) o no (inelástica) y ésta
será una consideración importante al
analizar estos procesos.
• Concepto nuevo - Impulso
Ejemplos de Colisiones
Antes, durante y después
Durante la colisión hay fuerzas internas que
son acción y reacción y varian con el tiempo.
 Los detalles de las fuerzas son complicados pero los
trataremos en una forma general con unos pocos conceptos.
El impulso
el cambio en momentum de las partes.
 O sea, el efecto neto de la colisión sobre cada una de las partes es
que le cambia el momentum. Pero el momentum total no cambia!!
= pf – pi
 También podemos hablar de la fuerza promedio.
Ecuación para Cualquier Colisión
Conservación del Momentum Total
En una dimensión, se convierte en:
donde las velocidades tienen signo.
Se puede usar para encontrar una sóla incógnita.
La Energía Mecánica en Una Colisión
 Antes y después de la colisión, hay sólo energía cinética.
 La energía total se conserva pero, en general, la energía cinética se
puede convertir a energía interna o no.
 Si no me dicen nada acerca de lo que ocurre con la energía en la
colisión:
 Sólo sé que habrá conservación de momentum en toda colisión.
 Me tienen que dar cinco de las seis variables.
 En muchos casos se perderá o ganará energía cinética durante la
colisión. Esas son colisiones inelásticas.
 Si me dan información acerca de la energía, entonces tengo una
ecuación adicional:
a) Completamente inelástica – Se quedan pegados después de la
colisión. Ecuación: v1f = v2f
b) Elástica – La energía cinética se conserva.
Ecuación: v1f - v2f = - (v1i - v2i)
Clasificación de Colisiones
Todas las Colisiones
Elásticas
Inelásticas
Inelásticas
v1f - v2f = - (v1i - v2i)
Simplemente
Inelástica
Completamente
Inelástica
Mas ninguna ecuación
v1f = v2f
Las Ecuaciones de Colisiones Elásticas
 Esto no está en el libro en su totalidad.
 Siempre hay conservación de momentum.
 En las elásticas también hay conservación de energía cinética.
 Pero esta ecuación es muy complicada y dificil de usar en la
práctica. Hay una ecuación que es equivalente y mucho más sencilla
(no está en el libro).
v1f - v2f = - (v1i - v2i)
 O sea, la velocidad relativa cambia de signo durante una colisión
elástica.
 El libro también da unas ecuaciones complicadísimas para las
velocidades finales en términos de las iniciales. No debes
aprendértelas de memoria. La física importante es conservación de
momentum.
Consideraciones al Usar las Ecuaciones
Caso General
Caso especial, v2i = 0
 Mucho cuidado con los signos!! Las velocidades llevan signos.
 En el problema típico me dan las masas y las velocidades iniciales.
 Si no me dan información de la energía, me tienen que dar una de las
velocidades finales para encontrar la otra (cons. de momentum).
 Si es elástica o completamente inelástica, entonces tengo una ecuación
adicional y puedo encontrar ambas velocidades finales.
 La colisión completamente inelástica se distingue porque las masas
siguen juntas después (se pegan o se incrustan).
 Estrategia matemática para resolver cuando es elástica:
 Despejar por la velocidad final.
v1f = v2f - (v1i - v2i)
 Sustituir en la ecuación de conservación de momentum.
 Resolver por v2f
¿Qué pasa antes y después?
Completamente Inelástica
Elástica
 Son otros veinte pesos. No hay conservación de momentum.
 En el ejemplo de la derecha, hay un movimiento bajo la fuerza de gravedad
antes. Podemos usar conservación de energía mecánica para analizar ese
movimiento y encontrar la rapidez en el momento de impacto.
 En ambos ejemplos, hay un movimiento bajo la fuerza de gravedad
después. Podemos usar conservación de energía mecánica para analizar
ese movimiento y encontrar la altura final a la cuál sube.
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