CON
REGLA Y COMPAS
FIGURAS EQUIVALENTES
Las Matemáticas sin Letras ni Números
De las Relaciones Geométricas …
Las RELACIONES GEOMÉTRICAS entre dos figuras planas son:
Identidad.
Traslación.
Simetría.
Giro.
Homotecia.
Semejanza.
Equivalencia
Escalas.
… estudiaremos la Equivalencia
Dos FIGURAS EQUIVALENTES
son aquellas que tienen la
misma extensión.
Conviene diferenciar entre:
Demostrar que los dos rectángulos son
equivalentes si U está en la diagonal
SUPERFICIE: es una varieda
bidimensional del espacio
n-dimensional.
EXTENSIÓN: es una propiedad
de las superficies cerradas
que permite compararlas
unas con otras.
ÁREA: es la medida de la
extensión de una superficie
cerrada, y su valor depende
de la unidad de medida.
Construcciones con regla y compás…
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos,
segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla
y compás idealizados.
A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que
permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde.
Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se
separa del papel, de manera que no puede utilizarse
directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la
separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la
circunferencia.
Esta restricción del compás parece muy incómoda para los
usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de
importancia matemática, porque el traslado de distancias se
puede realizar de forma indirecta, así que, a efectos prácticos
podemos utilizar el compás para trasladar distancias.
… dos Construcciones Clásicas
Se trata de construir figuras equivalentes o congruentes
a una dada utilizando sólo la REGLA y el COMPÁS con la
condición de que tengan una forma determinada.
CONSTRUCCIONES
Triángulos Equivalentes
Cuadrado Equivalente
a Rectángulo
Planteamiento del Problema.
D
E
C
F
A
B
Buscamos la equivalencia (mediante Regla y Compás) de un
polígono cualquiera y un triángulo equilátero.
Por ejemplo, tenemos el hexágono irregular ABCDEF…
Un Eterno y Grácil Bucle.
del
hasta
al
Reduciendo lados mediante…
D
E
C
F
r
G
A
B
H
… cuyas diagonales EA, EB, DB hemos dibujado, a la vez que
dos rectas que salen de los vértices F y C, paralelas a las
diagonales EA y DB respectivamente, y que, a su vez, cortan
a la base AB asentada sobre la recta r en los puntos G y H.
…equivalencia de triángulos.
D
E
C
F
G
A
B
H
También podemos demostrar que el triángulo AEG es
equivalente al AEF, puesto que tienen la misma base EA y la
misma altura (porque se encuentran entre rectas paralelas.
Por la misma razón, los triángulos BDH y BDC son
equivalentes. De esta forma se pueden sustituir, y lo que en
un principio era un hexágono irregular ABCDEF queda
reducido a un cuadrilátero GHDE.
Reiterando el proceso…
D
E
r
J
G
H
Trazamos, ahora, la diagonal DG, y por E, la
paralela EJ a DG. Igual que antes, el triángulo
EDG es equivalente al triángulo GDJ.
… hasta tener tres lados.
D
E
C
F
J
A
B
H
Procediendo de esta forma, podemos reducir el cuadrilátero
GHDE al triángulo JHD; es decir, el cuadrilátero GHDE al
triángulo JHD son EQUIVALENTES o congruentes.
Infinitos triángulos equivalentes.
K
D
r
J
H
Este triángulo escaleno JHD se puede transformar en
un triángulo isósceles JHK con la misma área,
trazando la mediatriz de la base JH y dibujando por D
una recta paralela a r. Pero lo que es imposible aquí
es transformar directamente el triángulo escaleno
JHD en un triángulo equilátero.
Y ahora transitaremos...
del
hasta
al
Una equivalencia clásica.
D
M
J
P
O
L
s
H
Para poder proseguir con nuestro objetivo, transformaremos el
triángulo escaleno JHD en un rectángulo JHLM equivalente.
Para ello buscaremos el punto medio P de la altura OD del
triángulo , por el que dibujaremos una recta s que deberá ser
paralela a la base JH del triángulo. Por los puntos J y H se
levantan perpendiculares que cortan a s en M y L
Fórmula del área de un triángulo
D
M
J
Q
P
R
L
H
La equivalencia de JHD y JHLM se demuestra fácilmente
ya que los triángulos JQM y QPD (lo mismo HLR y PRD)
son iguales/equivalentes por tener los mismos ángulos
y un lado (el PD=JM) igual.
El Teorema de la Altura.
G
A
B
r
D
E
F
Abatiendo EB sobre r, donde reposa la base DE, obtenemos el
punto F. Después buscamos el punto medio O de DF y
dibujaremos, con centro en O, una semicircunferencia de
centro O y diámetro DF. Prolongamos EB hasta que corte a
la semicircunferencia en G. De esta forma tendremos el
triángulo rectángulo DFG, al que podemos aplicar el
Teorema de la Altura EG2 = DE x EF = DE x DA.
Otra equivalencia clásica.
H
A
D
G
B
E
F
De esta forma queda explicada la equivalencia del rectángulo
ABCD y del cuadrado DEFG. Ya sólo nos queda transformar
el cuadrado DEFG en un triángulo equilátero equivalente.
Un Proceso en cuatro pasos.
E
D
al
F
C
del
A
B
Para culminar nuestro objetivo de pasar de un
polígono regular o irregular cualquiera, al
polígono regular de menos lados, haremos la
construcción por pasos de la equivalencia de un
cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEF.
Primer paso.
D
C
E
H
s
r
F
G
A
B
I. Alargamos la base AB del cuadrado, y sobre esta recta r
dibujamos un triángulo equilátero AEF arbitrario.
Encontramos el punto medio H de GE, la altura del
triángulo equilátero. Por este punto H trazamos una recta s
paralela a r. Esta recta s cortará al lado AD del cuadrado y a
la recta perpendicular a r levantada por F, formado, así, un
rectángulo equivalente al triángulo AEF.
Segundo Paso.
E
J
H
A
G
r
F
II. Procediendo como ya hemos visto, podemos encontrar
el cuadrado AGHJ equivalente al triángulo AFE.
Tercer paso.
III. Dibujamos la recta EJ, prolongamos la recta AE, y dibujamos
una paralela a EJ que pase por D y corta a la recta t en F.
t
F
D
C
E
J
A
B
Cuarto paso.
IV. Dibujamos la recta FG paralela a EH que corta a la recta r en G.
F
D
C
E
J
r
G
H
A
B
El Teorema de Tales.
El Teorema de Tales nos asegura que el triángulo AFG es
equivalente al cuadrado ABCD.
F
G
D
C
A
B
Aplicación: Área del TRAPECIO.
D
C
F
A
B
E
Como aplicación de lo anterior, REDUCIMOS el trapecio
ABCD a un triángulo equivalente AED.
Aquí se comprueba que los triángulos CDF y BEF son
iguales pues las diagonales DE y CB del
paralelogramos BECD se cortan en el punto medio F.
Primera MIRADA.
D
A
C
B
E
r
t
Visto de otra forma, los triángulos CDB y BEC son
EQUIVALENTES puesto que tienen la misma base y
se encuentran entre paralelas r y t.
Segunda MIRADA.
D
C
h/2
J
H
h/2
A
B
E
Ahora, REDUCIMOS el triángulo AED a un rectángulo
equivalente AEHJ. En resumen, ABCD Ξ ABD Ξ AEHJ
Tercera MIRADA.
D
C
h/2
h/2
A
B
E
De donde se deduce la conocida fórmula
del área del trapecio ABCD.
Área Trapecio = (AB + BE) h/2 = (AB + DC) h/2
Dos RESULTADOS clásicos.
Toda la Geometría Clásica se apoya en dos RESULTADOS:
El Teorema de Tales
El Teorema de Pitágoras
A B

D C
a b c
2
2
2
La importancia de estos dos resultados jamás será suficientemente
ensalzada. Ni el uso que de ellos se hace en la Geometría.
Interludio.
Dadas dos rectas paralelas r y t, y dos paralelogramos ABCD y
ABEF tales que AB esté sobre r, y DC y FE estén sobre t,
entonces son EQUIVALENTES. De lo que se deduce que el
área del cuadrado ABCD es doble que la del triángulo BCD
por tener la misma base y estar entre dos paralelas r y t.
D
C
F
E
t
r
A
B
Veamos ahora, en el marco de las EQUIVALENCIAS, la
demostración clásica que da Euclides en sus ELEMENTOS
del Teorema de Pitágoras.
Demostración del Teorema de Pitágoras
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
C
B
D
L
E
I. Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en A. Trazamos los cuadrados
BDEC, BFGA y CKHA. Trazamos AL paralela a BD y unimos AD y FC.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
C
E
II Como el ángulo BAC y y el ángulo BAG son rectos, G, A y C están
alineados.También lo están B, A y H.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
C
B
D
L
E
III Como DBC y FBA son ambos ángulos rectos, al añadir a ambos el
ángulo ABC, resulta que DBA y FBC son triángulos iguales.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma
base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
IV El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma
base FB y están entre las mismas paralelas FB y GC.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma
base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL. El cuadrado BFGA
es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre
las mismas paralelas FB y GC.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
V. Entonces el paralelogramo BDLI es EQUIVALENTE al cuadrado ABGB.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicularmente), el triángulo ACE es igual al triángulo BCK.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicularmente), el triángulo ACE es igual al triángulo LIE.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicularmente), el triángulo AHK es igual al triángulo BCK.
Paso a paso… y DISFRUTANDO
H
K
G
A
F
B
D
I
L
C
E
VII. Por lo que rectángulo CILE es EQUIVALENTE al cuadrado CKHA.
Aquí está… ¡ÉSTE ES!
H
K
G
A
F
C
B
D
L
E
VI. Por tanto el cuadrado BDEC
es la suma de los cuadrados BFGA y CKHA.
DINÁMICAMENTE.
El RESUMEN... y la PROPINA.
Teorema de los catetos
LA CLAVE está en la altura
A
b
C
c
a
D
B
Como todo triángulo, los triángulos rectángulos ABC tienen tres alturas.
En este caso, dos coinciden con los catetos AB y AC, y la tercera AD, la
que cae sobre la hipotenusa, divide al triángulo rectángulo ABC en otros
dos, ACB y ABD, que tambien son rectángulos y SEMEJANTES entre sí.
LA CLAVE está en la altura
A
D
D
hc = α c
hb = α b
C
B
D
ha = α a
Por lo que tienen lados
y las alturas proporcionales...
a
A
b
=
ha
c
=
hb
1
=
hc
α
LA CLAVE está en la altura
A
D
D
α c2
α b2
b
c
a
C
B
α a2
A
Así que sus áreas son proporcionales
a la hitotenusa al cuadrado.
LA CLAVE está en la altura
A
D
D
C
α
c2
+α
b2
= α
a2
D
B
De donde se deduce
el Teorema de Pitágoras.
A
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h/2 - Matemáticas en el IES Valle del Oja