Matemáticas y la
vida
(probabilidades)
 Las Probabilidades pertenecen a la rama de la
matemática que estudia ciertos experimentos
llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en
que se conocen todos los resultados posibles,
pero no es posible tener certeza de cuál será en
particular el resultado del experimento. Por
ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son
el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento
de un dado, extracción de una carta de un mazo
de naipes. Más adelante se verá que debemos
distinguir entre los conceptos de probabilidades
matemáticas o clásicas de las probabilidades
experimentales o estadísticas.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos
las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc.,
sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo
tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos
un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará
arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia
aleatoria.
 La vida cotidiana está
plagada de sucesos
aleatorios. Muchos de
ellos, de tipo sociológico
(viajes, accidentes,
número de personas que
acudirán a un gran
almacén o que se
matricularán en una
carrera...) aunque son
suma de muchas
decisiones individuales,
pueden ser estudiados,
muy ventajosamente,
como aleatorios.
A la colección de
resultados que se
obtiene en los
experimentos
aleatorios se le llama
espacio muestral.
→ La probabilidad de
convertirse en
astronauta es de 1
entre 13,2 mill.

Suceso aleatorio: es
un acontecimiento
que ocurrirá o no,
dependiendo del
azar.
Ejemplos:
En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}
Espacio muestral: es
el conjunto formado
por todos los posibles
resultados de un
experimento
aleatorio. En adelante
lo designaremos por
E.
 Describe el espacio muestral asociado a cada uno
de los siguientes experimentos aleatorios:
1. Lanzar tres monedas.
 2. Lanzar tres dados y anotar la suma de los
puntos obtenidos.
 3. Extracción de dos bolas de una urna que
contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
 4. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará
durante tres días consecutivos.

 1. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el
siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
 2. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
 3. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}
 4. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días
consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral
E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A
como el cociente entre el número de resultados favorables a que
ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados
posibles del experimento.
La probabilidad deque te parta un rayo es de 2.650.000 a
1, es mucho más probable que te caiga un rayo a que
ganes la lotería, y por una gran diferencia.
En una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la
probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?

P (as) 4/40 = 0,1 = 10%
P (oro) 10/40 = 0,25 = 25%
Definición axiomática.
La definición axiomática de probabilidad se debe a
Kolmogorov, quien consideró la relación entre la
frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando
el número de veces que se realiza el experimento es muy
grande.
si en un experimento que se ha repetido n veces un determinado
suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia
relativa fr del suceso A es:
fr = k/n
 Probabilidad de que te
lastimes en el baño
este año: 1 a 10.000
Probabilidad de
encontrar un trébol
de 4 hojas al primer
intento: 1 a 10.000
 Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la
probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un
suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales
P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la
expresión:
Probabilidad Total
P (B) = P(A1) x P(B/A1) + P(A2) x P(B/A2)+....+P(An) x P(B/An)

En el año 1763, dos años
después de la muerte de
Thomas Bayes (1702-1761), se
publicó una memoria en la
que aparece, por vez
primera, la determinación
de la probabilidad de las
causas a partir de los efectos
que han podido ser
observados. El cálculo de
dichas probabilidades recibe
el nombre de teorema de
Bayes.
Teorema de Bayes
Sea A1, A2, ...,An un sistema
completo de sucesos, tales que
la probabilidad de cada uno de
ellos es distinta de cero, y sea B
un suceso cualquier del que se
conocen las probabilidades
condicionales P(B/Ai).
entonces la probabilidad
P(Ai/B) viene dada por la
expresión:

Probabilidad de que
hoy veas un OVNI: 1 a
3 millones
Probabilidad de sufrir
un accidente de
avión: 1 a 500.000
 Las palomitas de maíz son un fenómeno estadístico
muy interesante. Un montón de granos de maíz se fríen
en una olla. Cuando se dan ciertas condiciones, los
granos estallan y se abren en una especie de flor blanca.
Pero no se abren todos a la vez. Unos van primero, otros
después. ¿De qué depende que un grano se abra? No lo
sabemos. Posiblemente de la temperatura, que será la
misma para todos los granos. Quizá también de la
estructura particular de cada uno; por eso estallan en
distintos momentos.
Como los detalles son muy complicados, sólo podemos
aspirar a describir las palomitas con probabilidades. Una
forma de hacerlo sería anunciar qué proporción de los
granos han estallado al minuto de estar al fuego, a los dos
minutos, a los tres, a los cuatro... Podríamos decir, por
ejemplo, que al minuto ningún grano se ha convertido en
palomita, pero que a los cinco casi todos lo han hecho.
Hablar de cada grano individual sería dificilísimo. No
sabríamos qué propiedades del grano usar para el análisis.
Pero quizá algún día se pueda, y en ese caso podremos
saber cuándo se convertirá en palomita cada uno de los
granos de maíz.
En la física anterior a la cuántica, llamada física clásica, se
usaban probabilidades cuando el fenómeno era tan
complicado que no había esperanza de tomar conocimiento
de todos los detalles pertinentes. La cosa no era imposible,
sin embargo. Se podía uno imaginar que, con gran
laboriosidad, se podría analizar el fenómeno y describirlo
con toda certeza, sin usar probabilidades.
 En la mecánica cuántica, en cambio, sólo caben las
descripciones probabilísticas, como la de las palomitas. Si en
vez de granos de maíz tomamos, por ejemplo, átomos
radiactivos que pueden desintegrarse o no en un lapso dado, la
situación es similar. Sólo podemos saber qué proporción de los
átomos se habrán desintegrado al cabo de cierto tiempo, pero
no en qué momento lo hará cada átomo. La diferencia con las
palomitas es fundamental: las palomitas las tratamos con
probabilidades porque recoger los datos necesarios para el
análisis exacto sería demasiado complicado; los átomos, en
cambio, son probabilísticos por naturaleza. Según la mecánica
cuántica (o quienes la interpretan), el mundo cuántico es
probabilístico porque NO HAY datos más detallados que
recoger. Un átomo se desintegra en un momento dado porque
sí, no porque algo en su estructura determine que ha de hacerlo.

La probabilidad de
sufrir cortes grandes
afeitandose es de 1
entre 6.585
La probabilidad de
sufrir lesiones
usando una sierra
electrica es de 1 entre
4.464
Este aspecto probabilístico fundamental de la mecánica
cuántica molestaba mucho a Albert Einstein. Einstein nunca se
hizo a la idea de que en el universo hubiera fenómenos que
ocurren porque sí, sin causa alguna. La mecánica cuántica
debía ser una teoría incompleta, que no permitía tomar en
cuenta los detalles necesarios para hacer cálculos exactos.
Algunos físicos de la época eran de la misma opinión, pero la
mayoría se convencieron de que no: la mecánica cuántica era la
teoría más completa posible y por lo tanto sí había fenómenos
así.
Por eso Einstein, en una carta a su amigo Max Born, dijo que no
podía creer que Dios jugara a los dados con el universo.
Probabilidad de convertirte en un Santo: 1 a 20 millones
Probabilidad de morir por una enfermedad del corazón:
1a3
Probablemente esta diapositiva sea el final de la
presentación.
¡Pero no, porque es la que estás viendo ahora!
Fin
Montoya.
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