Sistemas Numéricos
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Sistema de numeración
Un sistema de numeración es un
conjunto de símbolos y reglas de
generación que permiten construir todos
los números válidos en el sistema.
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Un sistema de numeración puede
representarse como N = S + R donde:
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N es el sistema de numeración
considerado
S son los símbolos permitidos en el
sistema.
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Ejemplos: sistema decimal son {0,1...9};
en el binario son {0,1}; en el octal son
{0,1...7}; en el hexadecimal son
{0,1...9,A,B,C,D,E,F}
R son las reglas de generación que nos
indican qué números son válidos y cuáles
son no-válidos en el sistema.
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Nota:Estas reglas son
diferentes para cada sistema
de numeración considerado,
pero una regla común a
todos es que para construir
números válidos en un
sistema de numeración
determinado sólo se pueden
utilizar los símbolos
permitidos en ese sistema
(para indicar el sistema de
numeracíon utilizado se
añade como subíndice al
número).
Los sistemas numéricos se
clasifican en posiciónales y
no posiciónales
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125(10)
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125A(10) invalido
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Ejemplo de un sistema
numérico no posicional
valido
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Clasificación
Los sistemas de numeración usados
en la actualidad son ponderados o
posiciónales. En estos sistemas de
numeración el valor de un dígito
depende tanto del símbolo utilizado,
como de la posición que ése símbolo
ocupa en el número.
El número de símbolos permitidos en
un sistema de numeración posicional
se conoce como base del sistema de
numeración.
Si un sistema de numeración
posicional tiene base b significa que
disponemos de b símbolos
diferentes para escribir los números,
y que b unidades forman una unidad
de orden superior.
Podemos ver esto con un ejemplo en
el sistema de numeración decimal.
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Si contamos desde 0, incrementando una
unidad cada vez, al llegar a 9 unidades
hemos agotado los símbolos disponibles,
y si queremos seguir contando no
disponemos de un nuevo símbolo para
representar la cantidad que hemos
contado. Por tanto añadimos una nueva
columna a la izquierda del número,
reutilizamos los símbolos de que
disponemos, decimos que tenemos una
unidad de segundo orden (decena),
ponemos a cero las unidades, y seguimos
contando.
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De igual forma, cuando
contamos hasta 99, hemos
agotado los símbolos
disponibles para las dos
columnas; por tanto si
contamos (sumamos) una
unidad más, debemos poner
a cero la columna de la
derecha y sumar 1 a la de la
izquierda (decenas). Pero la
columna de la izquierda ya
ha agotado los símbolos
disponibles, así que la
ponemos a cero, y sumamos
1 a la siguiente columna
(centena). Como resultado
nos queda que 99+1=100.
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Como vemos, un sistema de
numeración posicional se
comporta como un
cuentakilómetros: va sumando 1
a la columna de la derecha y,
cuando la rueda de esa columna
ha dado una vuelta (se agotan
los símbolos), se pone a cero y
se añade una unidad a la
siguiente columna de la
izquierda.
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Pero estamos tan
habituados a contar
usando el sistema
decimal que no somos
conscientes de este
comportamiento, y
damos por hecho que
99+1=100, sin pararnos
a pensar en el
significado que encierra
esa expresión.
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El sistema de numeración decimal
está basado en dos principios:
10 como base del sistema: Hacer
grupos de 10:
10 unidades hacen una decena
10 decenas hacen una centena, etc.
Posición: Esto consiste en asignar
un lugar a cada tipo de unidad
(unidades, decenas, centenas,
etc.). A la izquierda está la unidad
de mayor valor, la de orden
inmediatamente menor a la derecha
de la anterior y luego la siguiente
hasta que se escribe la unidad de
menor valor. Para el número 236,
sería así:
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Etapas en la comprensión del
sistema de numeración decimal:
Etapa 0: Significación Global: El
alumno no muestra comprensión del
valor relativo de los dígitos; sabe que
35 es la forma corta de escribir
treinta y cinco pero no reconoce que
el dígito 3 significa 3 grupos de diez
unidades.
Etapa 1: Significación Aditiva: El
alumno se hace conciente del valor
relativo de los dígitos y lo puede
expresar utilizando la adición:
87 = 80 unidades y 7 unidades; 87 =
80 + 7
346 = 300 unidades, 40 unidades y 6
unidades; 346 = 300 + 40 + 6
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Etapa 2: Significación Aditiva-Multiplicativa:
Ahora el alumno puede expresar el valor relativo
de los dígitos utilizando tanto la adición como la
multiplicación:
87 = 8 grupos de 10 unidades y 7 unidades; 87 =
8 x 10 + 7
346 = 3 grupos de 100 unidades, 4 grupos de 10
unidades y 6 unidades
346 = 3 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1
Etapa 3: Significación Polinominal: El alumno
asigna un significado abstracto a cada dígito:
346 = 3 grupos de diez de diez, 4 grupos de diez
y 6 de uno
346 = (3 x 10 x 10) + (4 x 10) + (6 x 1)
Al examinar estas etapas, se hace evidente que
para que los alumnos comprendan
completamente el sistema, necesitan construir un
pensamiento aditivo y multiplicativo
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