"La enseñanza de la numeración
en el ciclo escolar.
Consideraciones en torno a la
intervención docente."
Beatriz Rodríguez Rava
24 de setiembre 2007
Recorrido de la conferencia
 Su importancia en el ciclo escolar.
 Diferenciación entre concepto de número y SND.
NUMERACIÓN
Contexto oral
Como objeto
Como herramienta
Contexto escrito
Numeración Racional
Intervención docente
Aclaración
 En algunas diapositivas se agregan llamadas con el
nombre de autores y libros o artículos que pueden
aportar elementos a lo que se plantea. La referencia
completa de dichos materiales se encuentra en la
bibliografía que se presenta en las últimas
diapositivas.
Sistema de Numeración Decimal
“…no es un artilugio de mera traducción de cantidades en formas
gráficas, sino un sistema de representación de las cantidades. La
construcción de cualquier sistema de representación involucra un
proceso de diferenciación de los elementos y relaciones
reconocidos en el objeto a ser representado (…) y una selección
de aquellos elementos y relaciones que serán retenidos en la
representación… Para poder representar las cantidades, el
sistema de numeración posee ciertas reglas que permiten
organizar la cuantificación para hacerla económica, y estas reglas,
lejos de ser «naturales», son producto de la elaboración histórica
de ciertas convenciones.”
Terigi, F. y Wolman, S (2007)
“Sistema de numeración:
consideraciones acerca de su
enseñanza” en Revista
Iberoamericana de Educación.
Nº 43
La gran innovación del Sistema de
Numeración Decimal
 El empleo de los agrupamientos.
 La utilización del principio de la base.
 El valor posicional.
 Incorporación del “0”.
--------------------------------Economía
Hermetismo
Silva, Alicia (2005) – “ El
Sistema de Numeración
Hindú en el ojo de la
tormenta” ,
Nombres de los números en japonés
1
ichi
2
ni
3
san
4
shi
5
go
6
roku
7
sichi
20 niju
21 nijuichi
8
hachi
22 nijuni
9
ku
23 nijusan
10
11
12
13
ju
juichi
juni
jusan
30 sanju
31 sanjuichi
Enseñanza de la numeración
Dos perspectivas:
 Como objeto matemático
 Como herramienta cultural
 Entorno oral
 Entorno escrito
Curti, Ma. Del Carmen
(2005) “El sistema de
numeración: objeto cultural,
objeto de conocimiento”
Lerner, D. y Sadovsky, P.
(1994) “El sistema de
numeración: un problema
didáctico”
Entorno oral
El conteo implica:
 recitado de la serie,
 establecer correspondencia,
 cardinalizar.
Funcionalidad del conteo.
Ressia, Beatriz (2003) – “La
enseñanza del número y del
sistema de numeración en el
Nivel Inicial y el primer año de la
EGB”
Entorno escrito: Hughes
 Escrituras idiosincrásicas
 Pictográficas
Hughes, Martín (1987) - “Los
niños y los números. Las
dificultades en el aprendizaje
de las matemáticas.”
 Icónicas
 Simbólicas
333
123
¿Cómo se aproximan los niños a comprender los
principios que rigen el sistema posicional? Lerner
a)

La utilización de la notación numérica plantea problemas cuya
resolución exige la construcción de regularidades:
en la interacción con la numeración escrita y en la
comparación de números a través su escritura los alumnos
elaboran criterios que funcionan como reglas de acción y les
permiten identificar a) la cantidad mayor; b) en el de jerarquía
le da a la cifra de la izquierda mayor importancia poniendo en
evidencia que empezaron a ver que la posición es portadora
de sentido. “Al contar colecciones de objetos, al buscar
escrituras numéricas en las cinta métrica, o para ubicar una
página de libro los niños construyen regularidades referidas a
la serie numérica oral y a la escrita así como a la
correspondencia entre ambas”
Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender?
Una tensión constante en la enseñanza y el
aprendizaje del sistema de numeración?”
¿Materiales
didácticos?
 Al resolver problemas que requieran sumar o
restar números de 2 cifras y enfrentarse con
la necesidad de construir procedimientos
más económicos que el conteo uno a uno o
el sobre conteo, los alumnos tienen la
oportunidad de descubrir las ventajas de
sumar y/o restar reiteradamente de a 10.
Frente a esto van reconociendo qué le pasa
a un número al cual se le suma 10.
b) En segundo lugar el establecimiento de
estas regularidades aparentemente
superficiales se concibe como una condición
necesaria para que los niños comiencen a
reflexionar sobre ellas, a preguntarse por
aquello que está más oculto en nuestro
sistema de numeración decimal (a
reconstruir las razones que explican las
reglas establecidas). Lerner (2005)“¿Tener éxito o
comprender? Una tensión constante en la
enseñanza y el aprendizaje del sistema
de numeración?”
Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender?
Una tensión constante en la enseñanza y el
aprendizaje del sistema de numeración?”
 400 + 20 + 600 + 2
----------------------------1000 + 500 + 80 + 6
Centración en el
significante
“Tacho los ceros y escribo 1586”
-----------------------------------------“50 + 30 es 5 + 3 y después pongo 80, taché
el cero y después se lo escribí”
Lerner plantea
 Del uso a la reflexión
Regularidades
Observadas en
los significantes
Reglas
Análisis de
conocimientos
puestos en juego
Razones de la regla
Avanzar a través de la
abstracción reflexiva
hacia
la
toma
de
conciencia.
Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender?
Una tensión constante en la enseñanza y el
aprendizaje del sistema de numeración?”
Posibles actividades
 Descomposiciones aditivas y multiplicativas.
 Desagregados como medio para ordenar,
para operar.
 Encuadrar números.
 Diferentes representaciones de un mismo
número.
Aspectos a trabajar
 Conteo.
 Orden.
Xavier de Mello, Alicia (2005)
“Matemática en el primer ciclo de la
escolaridad”
 Representaciones: producción e
interpretación.
 Desagregado y armado de números.
 Regularidades.
Lerner, Delia (1992) “La
matemática en la
 Valor posicional.
escuela. Aquí y ahora.”
 Notación.
Numeración racional: ruptura con la
numeración natural
 Los números ya no tienen anterior y siguiente.
 Entre dos números racionales ya no hay un número




finito de otros números.
El análisis de la cantidad de cifras no vale como
método de comparación de racionales.
La multiplicación sólo en algunos casos puede ser
interpretada como una suma reiterada.
El producto de dos números racionales, en muchos
casos, es menor que cada uno de los factores.
El resultado de una división puede ser mayor que el
dividendo.
Aspectos que involucra la noción de
fracción
 la fracción surge de un todo divisible, constituido por





partes separables,
supone un número de partes que debes ser iguales,
la división del todo debe ser exhaustiva,
existe una relación entre la cantidad de partes y las
divisiones que generan dichas partes,
las partes constituyen el todo original pero a su vez
pueden transformarse en nuevos “todos”,
la unión de todas las partes constituye el todo.
PMEM (2006) “ Cuadernos de Estudio II”
Contextos de uso
 Repartir. Los repartos involucran tanto magnitudes
discretas como continuas.
 Relacionar. Las relaciones pueden ser: a) de tipo
gráfico (entre el todo y las partes, entre las partes
y el todo y entre las partes entre sí) y b) numérico
(orden, equivalencia y operaciones entre fracciones).
 Medir. Actividades en las cuales la cantidad a medir
no es un múltiplo de la unidad empleada y otras en
las que la unidad es mayor que la cantidad de
magnitud a medir. Estas variaciones exigen el
fraccionamiento de la unidad.
PMEM (2006) “ Cuadernos de Estudio II”
 Favorecer la aparición de notaciones no
convencionales.
 Relación entre contextos de uso y las
diferentes representaciones.
 Limitación de algunos sistemas (por ej.
monetario).
Aspectos a trabajar
 Diferentes contextos
 Representaciones
 Orden
 Equivalencia
 Densidad
Abella, Gil, Vilaró (2007) “2/4 y ½
¿iguales o equivalentes? ¿Qué hacer
en la escuela?” PMEM
Construcción del sentido
 Depende esencialmente de las interacciones
que el alumno tiene con el concepto
matemático y del conjunto de prácticas que el
alumno despliega.
 ¿Cuáles son los elementos que configuran
esas prácticas?
Elementos que configuran las prácticas que
los alumnos pueden desarrollar en la escuela
 Las elecciones que realiza el docente con
respecto a los tipos de actividades, la
secuenciación de las mismas, las formas de
presentación…las formas de gestión.
 Las interacciones que el docente promueva entre
los alumnos y las situaciones que les proponga.
 Las modalidades de intervención docente
(directa) a lo largo del proceso de enseñanza.
Intervención docente


a)
b)
c)

Previa (Planificación: análisis a priori)
Durante
Mientras los alumnos están involucrados en la
resolución (¿cómo encontrar insumos?)
Puesta en común (vinculada al objetivo y a los
insumos).
Institucionalización (de procedimientos, algoritmos,
lenguaje, notación y está íntimamente vinculada al
objetivo y a los insumos).
Posterior
Puesta en común
 Espacio de intercambio, de explicitación, de
debate, en el cual el lenguaje juega un papel
fundamental en la “aclaración” del
pensamiento.
Tipos de intervenciones según la
actividad
 Una situación de indagación muy abierta, nueva para los
alumnos, cuyo objetivo es principalmente aprender a explorar.
 Una situación que apunta a la familiarización o estabilización
de una noción o de un procedimiento experto.
 Una situación que exige la validación por parte del alumno.
 Una situación en la que sea necesario centrar la atención sobre
algunos procedimientos , de manera de ayudar a los alumnos a
tomar conciencia de su especificidad.
 Ayudar a los niños a poner en evidencia las relaciones que
existen entre diferentes procedimientos, las filiaciones, los
parentescos.
 Diferentes intervenciones del docente según
los momentos de una secuencia
didáctica o de una clase.
 Intervenciones docentes que favorezcan la
instalación de espacios de reflexión, de
discusión, de formulación, de validación.
 Intervenciones que apunten a sostener la
incertidumbre.
Quaranta, M. E. y Tarasow, P. (2004)
“Validación y producción de
conocimiento sobre las interpretaciones
numéricas”
Tipos de intervenciones: Harfuch y Foures
 Intervenciones de orden
 Intervenciones abiertas
 Intervenciones sustantivas
 Intervenciones no sustantivas
 Intervenciones de apertura ficticia
 Intervención cerrada
Harfuch, Silvia y Foures, Cecilia
(2003) “Un análisis de las
intervenciones docentes en el aula”
 “Comprender consiste en extraer la razón de
las cosas, en tanto que saber hacer es solo
utilizarlas con éxito, lo que indudablemente
es una condición previa para la comprensión,
pero la comprensión supera ese uso exitoso
porque desemboca en un saber que precede
a la acción y puede prescindir de ella”
Jean Piaget
Bibliografía básica recomendada
 Abella, Andrés; Gil, Omar; Vilaró, Ricardo (2007) – “2/4 y ½ ¿iguales o
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equivalentes? ¿Qué hacer en la escuela?” Programa para el
Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP.
http://ipes.anep.edu.uy/documentos/ger_inno_matema/acciones_20
07/dos_cuartos.pdf
Curti, Ma. Del Carmen (2005) – “El sistema de numeración: objeto
cultural, objeto de conocimiento” en Rodríguez, B y Xavier de Mello, A.
(comps.) - El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial
Queduca. FUM TEP. Montevideo.
Harfuch, Silvia y Foures, Cecilia (2003) – “Un análisis de las
intervenciones docentes en el aula” en revista Latinoamericana de
Estudios Educativos. Vol XXXIII, Nª 004. México.
Lerner, Delia (1992) – “La matemática en la escuela. Aquí y ahora.”
Aique Grupo Editor. Buenos Aires.
Lerner, Delia y Sadovsky, Patricia (1994) – “El sistema de numeración:
un problema didáctico” en Parra, C y Saiz, I. (comps) Didáctica de la
Matemática. Ed. Paidós. Buenos Aires.
Lerner, Delia (2005) – “¿Tener éxito o comprender? Una tensión
constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?”
en Alvarado, Mónica; Brizuela, Bárbara Haciendo números. Paidós
Educador. México.
Bibliografía básica recomendada
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Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en
ANEP (2006) – “Cuadernos de estudio II”. ANEP. Montevideo.
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Quaranta, M. Emilia y Tarasow, Paola (2004) – “Validación y producción de
conocimiento sobre las interpretaciones numéricas” en Revista Relime. Vol 7. Nº
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Ressia, Beatriz (2003) – “La enseñanza del número y del sistema de
numeración en el Nivel Inicial y el primer año de la EGB” en Paniizza, M.
Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Ed. Paidós.
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Silva, Alicia (2005) – “ El Sistema de Numeración Hindú en el ojo de la
tormenta” , en Rodríguez, B y Xavier de Mello, A. (comps.) El quehacer
matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo.
Terigi, Flavia y Wolman, Susana (2007) – “Sistema de numeración:
consideraciones acerca de su enseñanza” en Revista Iberoamericana de
Educación. Nº 43 (2007).
Xavier de Mello, Alicia (2005) – “Matemática en el primer ciclo de la
escolaridad” en Rodríguez, B. y Xavier de Mello, A. (comps.)El quehacer
matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo.
Bibliografía ampliatoria
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Baroody, Arthur. (1994) -El pensamiento matemático de los niños. Aprendizaje Visor.
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Boyer, Carl (1986) - Historia de la matemática. Editorial Alianza. Méjico.
Brissiaud, Remi (1993) - El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los
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Carraher, Teresinha et al. (1990) - En la vida diez en la escuela cero.1º ed. Ed. Siglo XXI.
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Centeno, Julia (1998) - Números decimales ¿por qué? ¿para qué?. Editorial Síntesis.
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Colera, José ; de Guzmán, Miguel; García, J. Emilio (1996) – Matemática 1. Edit.
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Corbalán, F; Hans y otros (2002) – Alfa 1 .Matemáticas . Vicens Vives. Barcelona
Chamorro, Ma. del Carmen (2003) – Didáctica de las Matemáticas. Edit. Pearson. Madrid.
Chamorro, Ma. del Carmen - Directora del volumen- (2004) - Número, Formas y
volúmenes en el entorno del niño. Secretaría General Técnica. Ministerio de Educación y
Ciencias. Madrid.
Hughes, Martín (1987) - Los niños y los números. Las dificultades en el aprendizaje de
las matemáticas. 1º ed. en español, Editorial Planeta.(Colec. Nueva Paideia). Barcelona.
Bibliografía ampliatoria
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Ifrah, Georges (1987) - Las cifras. Historia de una gran invención. Ed. Alianza Editorial,
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Kamii, Constance. (1986) - El niño reinventa la aritmética. Ed. Aprendizaje Visor. Madrid.
Kamii, Constance (1995) - Reinventando la aritmética: implicaciones de la Teoría de
Piaget. Ed. Aprendizaje Visor. Madrid.
Llinares, S; Sánchez, M.V. (1996) - Fracciones. Editorial Síntesis. Madrid.
Meljac, Claire, Fischer, Paul y otros (1992) - Los caminos del número. Edit. Lawrence
Erlbaum. Londres.
Nunes, Teresina; Bryant, Peter (1997) - Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva
del niño. Siglo Veintiuno Editores. Méjico
Panizza Mabel –comp. - (2003) - Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de
la EGB. Análisis y propuestas. Paidós. Buenos Aires
Parra, Cecilia y Saíz, Irma -comp.- (1994) - Didáctica de matemáticas. Aportes y
reflexiones. 1º ed. Paidós Educador. Buenos Aires.
Rodríguez, B. y Xavier de Mello, Alicia - comps.- (2005) - El quehacer matemático en la
escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo.
Sellares, R y Bassedas, M. (1983) “La construcción del Sistema de Numeración en la
historia y en los niños” en Moreno, Monserrat et al. (1989) La pedagogía operatoria. Un
enfoque constructivista en la educación. 4a ed. Editorial Laia. Barcelona.
Silva, Alicia ( 1994) – “Taller con Delia Lerner: el sistema de numeración como problema
didáctico” en Revista Educación Hoy. Nº 12. Edit. Rosgal. Montevideo.
Tolschinsky, Liliana (1995) - Dibujar, escribir, hacer números en: Más allá de la
alfabetización. Teberosky y Tolschinsky. Ed. Santillana, Aula XXI, Buenos Aires.
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