Curso de Semiconductores
Sesión 2
Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng.
E-mail: [email protected]
Departamento de Ingeniería Electrónica
Grupo de Microelectrónica - Control
Universidad de Antioquia
Objetivos
-
Revisar la solución de algunos casos especiales de la ecuación
de Schrodinger.
- Pozo de potencial.
- Modelo de Kronig-Penny
- Átomo de hidrógeno.
- Estudiar la estructura del silicio, el germanio y GaAs.
Tópicos especiales de física moderna
La ecuación de SchrÖdinger
Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica.
Si la función de onda asociada a una partícula es Y (x,y,z) la
Ecuación de onda de estado estacionario es:
2Y + (8p2m/h2)(E – W)Y = 0
siendo m la masa de la partícula.
W es la energía potencial.
E es la energía total.
Tópicos especiales de física moderna
Ejercicio:
1. Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos:
W=∞
El electrón esta confinado en
una caja de potencial
E
W=0
x=0
x=a
El electrón se mueve en las
Dos regiones
Región 1
W
Región 2
W=0
x=0
Tópicos especiales de física moderna
4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno:
-q

La energía potencial está
dada por:
EP = -q2/4pe0r
( r , ,  )
r
q
Ecuación de SchrÖdinger en
coordenadas esféricas:

1 
r r
2

(r
2

r

2
1
r sen   
2
)
2
2

1

r sen  
2
8p
h
2
( sen


)
[ E  V ( r )]  0
Tópicos especiales de física moderna
5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio
de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de
Kronig-Penny)
n=3
n=2
n=1
a
L
Epo
a
x=0
b= a-L
x
Tópicos especiales de física moderna
Problema de la caja de potencial:
W=∞
W=∞
W=0
Energía potencial
Un electrón
E
x=0
d 
W 0
con
W 
en
dx
x  0, x  a
x=a
2
2
0 xa
k  0
2
Solución:
8p m E
2
Con:
k 
  A sen ( kx )
h
2
Tópicos especiales de física moderna
Átomo de Hidrogeno:
La energía potencial para el átomo
de hidrógeno esta dada por:
-q

EP = -q2/4pe0r
( r , ,  )
r
q
Ecuación de SchrÖdinger en
coordenadas esféricas:

1 
r r
2

(r
2

r

2
1
r sen   
2
)
2
2

1

r sen  
2
8p
h
2
( sen


)
[ E  V ( r )]  0
Tópicos especiales de física moderna
1 
r r
2

8p
h
2
(r
2

r
)

1
r sen  
2
( sen


)

2
1
r sen   
2
2
2
[ E  V ( r )]  0
Masa reducida
Con
 
Mm
M m
y
V (r )  
E. Potencial
q
2
4p 0 r
Solución:
 ( r ,  ,  )  R ( r ). ( ). ( )
Números cuánticos y el átomo de hidrogeno
Al solucionar la ecuación de Schrodinger aparecen 3 números cuánticos
asociados a cada coordenada ( a cada ecuación diferencial):
1 d
R dr
(r
2
R
r
)
8p r
h
2
2
[ E  V ( r )]  l ( l  1)
Ecuación radial
La ecuación radial tiene solución R(r) si existe un constante entera
denominada n que se introduce en la solución y que está restringida
a los valores 1,2, 3,….
R (r )
La solución existe
si y únicamente si
n  1, 2, 3
número cuántico
principal
Números cuánticos y el átomo de hidrogeno
Similarmente al solucionar la ecuación de la coordenada :
m
2
l
2
sen 

1
d
 sen d 
( sen
d
d
)  l ( l  1)
Ecuación en 
La ecuación tiene solución () si existe un constante entera
denominada l que se introduce en la solución y que está restringida
a los valores 0,1,2, 3,…. (n-1)
 ( )
La solución existe
si y únicamente si
l  1, 2, 3
n 1
número cuántico
orbital
Números cuánticos y el átomo de hidrogeno
Similarmente al solucionar la ecuación de la coordenada :
1  
2
 
2
 m
2
l
Ecuación azimutal
La ecuación azimutal tiene solución () si existe un constante
entera denominada ml que se introduce en la solución y que está
restringida a los valores –l, -l+1,….+l
 ( )
La solución existe
si y únicamente si
m l   l ,  l  1, 0, l  1, l
número cuántico
magnético
Números cuánticos y el átomo de hidrogeno
Al solucionar la ecuación de Schrodinger aparecen 3 números
cuánticos asociados a cada coordenada (cada ecuación
diferencial):
(n,l,ml)
Cada posible conjunto de valores (n,l,ml) corresponde a un estado
cuántico y por lo tanto a una función de onda diferente y por
consiguiente una diferente distribución de probabilidad para el
electrón alrededor del núcleo.
El número de estados posibles dado el número cuántico n es
n2.
Así para n=1, tenemos l= 0 y ml= 0 un estado (1,0,0)
para n=2 tenemos l=0, 1 y ml= -1,0, 1
(2,0,0), (2,1,-1), (2,1,0), (2,1,1)
(4 estados)
para n=3, ?
Números cuánticos
Los tres números cuánticos aparecen den la solución de la ecuación
de Schrodinger, sin embargo había evidencias experimentales
que mostraban un número de estados 2 veces que el predicho
por esta solución espacial:
Se postuló un tercer número cuántico para el spin el cual puede
tener do valores: ± 1/2
De esta forma el número de estados sería 2n2 Siendo n= 1,2,3….
Investigación 2 (opcional):
1. Investigar en que consistía el experimento de Stern-Gerlach
que demuestra la cuantización del spin
2. Explicar como los números cuánticos l y ml cuantizan el
momentum angular y componente z del momentum angular.
Tópicos especiales de física moderna
5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio
de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de
Kronig-Penny)
n=3
n=2
n=1
a
L
Epo
a
x=0
b= a-L
x
Tópicos especiales de física moderna
Modelo de Kronig-Penney
Es importante recordar:
1. El teorema de Bloch el cual establece que si un sistema
presenta un energía potencial periódica (con periodo a),
entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma:
Y (x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a
o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)
La formación de las bandas de energía
Modelo de Kronig-Penney establece la siguiente solución:
Si W > E
C osk 1 a .C oshk 2 ( L  a ) 
k k
2
1
2 k1 k 2
2
2
Senk 1a .Senhk 2 ( L  a )  C osK L
Donde:
k1 
2 mE
( h / 2p )
k2 
2 m ( E po  E )
( h / 2p )
K 
n 2p
L
La formación de las bandas de energía
Modelo de Kronig-Penny establece la siguiente solución:
Si W < E
C osk 1 a .C osk 2 ( L  a ) 
k k
2
1
2 k1k 2
2
2
Senk 1a .Senk 2 ( L  a )  C osK L
Donde:
k1 
2 mE
( h / 2p )
k2 
2 m ( E po  E )
( h / 2p )
K 
n 2p
L
De acuerdo con las ecuaciones anteriores:
E
E
p/L
2p/L -p/L
p/L 2p/L
K
p/L
La formación de las bandas de energía
El concepto de masa efectiva m* del electrón
Al someter a un campo eléctrico ξ, al electrón se le aplica una
fuerza
qξ
se puede mostrar que dVg/dt = (4p2/h2) (d2E/dK2) qξ
aceleración
masa efectiva (1/m*)
fuerza
La masa efectiva esta dada por: (1/m*) = (4p2/h2) (d2E/dK2)
Ejercicio: deducir la expresión anterior para la masa efectiva del
electrón libre
La naturaleza de los semiconductores
Una propiedad importante de los semiconductores:
Al agregar cierto tipo de átomos (llamados impurezas) se pueden
modificar significativamente las propiedades eléctricas del
semiconductor:
Ejemplo: agregando átomos de fósforo (P) o boro (Br) al Si.
Típicamente:
Desde un átomo de impureza por cada 109 átomos de silicio
hasta un átomo de impureza por cada 103 átomos de silicio.
Se modifican propiedades tales como la conductividad y la
movilidad de los portadores (electrones y huecos)
Estructura de los semiconductores
La disposición de los átomos al interior del material determina en gran
Parte sus propiedades:
De acuerdo con la disposición atómica los sólidos (semiconductores) se
clasifican en:
-Amorfos
- Policristalinos.
- Cristalinos
Fuente: “Fundamentos de semiconductores”
Cristales
Redes cristalinas simples
Un cristal ideal es una repetición, en tres dimensiones, de unidades estructurales
idénticas.
“las redes critalinas simples son útiles para analizar las estructuras critalinas
reales, aunque los semiconductores no cristalizan con estas estructuras simples”
Cómo describir una estructura cristalina ?
Red de Bravais: Es una matriz tridimensional de puntos generada por un conjunto
de vectores unitarios linealmente independientes.
Una red de Bravais consiste en todos los puntos generados por:
donde
3
R 
na
i
i 1
i
ai
Son vectores primitivos
ni
Son números enteros
Redes cristalinas (redes cúbicas)
Ejemplos:
• La estructura cúbica simple.
• La estructura cúbica centrada en cara (FCC- Face centered cubic).
• La estructura cúbica centrada en cuerpo (BCC – Body centered cubic)
Cristales
Celda primitiva:
“Es una porción del espacio con un volumen determinado que al ser
trasladado por todo los vectores de la red de Bravais, exactamente
llena todo el espacio definido por dicha red”
La celda es primitiva cuando es la más pequeña posible
Una celda primitiva
debe contener solo
un punto de la red
En el caso de una red
de dos dimensiones:
Estructuras cristalinas
La matriz de puntos se puede utilizar para describir la estructura básica
del un cristal.
Un cristal real se puede obtener considerando un red de Bravais y
agregando una base ( celda primitiva).
Una Base puede ser justo un átomo, dos átomos idénticos, dos átomos
diferentes (NaCl, GaAs, ...). Tres átomos, …three atoms, ...hasta complejas
moléculas enormes.
Estructuras cristalinas
Semiconductores más usados:
Si y Ge cristalizan en un estructura llamada diamante.
Es similar a la FCC con cuatro átomos adicionales ubicados en las diagonales.
Se puede también describir como dos redes FCC ínter penetradas.
Lectura individual (resposabilidad de cada estudiante):
Cuáles son las 14 redes de Bravais diferentes ?. En que se diferencian ?.
Estructuras cristalinas
Estructura de diamante (Silicio y Germanio)
La celda tiene:
1 átomos en cada esquina.
(8 átomos)
1 átomo en cada cara
(6 átomos)
4 internos localizados en
las diagonales
Dentro del cubo hay
8 átomos.
Si, L = 5,43 A
Ge, L = 5,64 A
Estructuras cristalinas
Estructura Blenda de Zinc (zincblende structure)(GaAs )
en este caso a= 5,65 A
Lectura individual (responsabilidad de cada estudiante):
-
Los indices de Miller son útiles para referirse a planos y direcciones en una
red cristalina. Investigar que son los índices de Miller y cuales serían para
planos simples.
- Qué es la red reciproca ?
Ejercicios numéricos:
1. Calcular las densidades del Silicio y del GaAs a partir de las constantes de
la red, los pesos atómicos y el número de Avogadro.
2. Cuál es la distancia entre los átomos más próximos en el silicio ?
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