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Capítulo 12
Más pruebas de hipótesis:
proporciones, varianzas y
comparación de medias
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Objetivos:
• Conocer y entender el procedimiento para realizar una
prueba de hipótesis con la población de una población.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Definición:
• Reglas para una prueba de hipótesis con la proporción de
una población
oSi np > 5, y
on(1 – p) > 5,
oentonces por el Teorema del Límite Central, el estadístico de
prueba está dado por
z 
pp
p
,
w h e re p 
donde
x
,
n
p 
p 1  p 
,
n
proporción
propone
hipótesis
p isesthele valor
h yp ode
th elasize
d v a lu e poblacional
o f th e p o p uque
la tio
n p ro p olartio
n,
esth
laecantidad
tienen
x is
n u m b e rde
incasos
th e sade
m la
p lemuestra
th a t h aque
ve a
ce rtaalguna
in ch acaracterística
ra cte ristic,
a
n el
is tamaño
th e sa mde
p le
size .
y nndes
la muestra
El estadístico de prueba, z, tiene una distribución estándar
normal.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para
estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para
concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema.
En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el
nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de
significancia.
Solución:
1) H0: A lo mucho 60% de los estudiantes prefieren el nuevo
sistema.
Ha: Más de 60% de los estudiantes prefieren el nuevo sistema.
2) p = es la verdadera proporción de la población que creen que el
nuevo sistema es mejor que el viejo.
3) La palabra clave en este caso es “más.” Como la escuela está
tratando de determinar si más de 60% de los alumnos prefiere el
nuevo sistema, la prueba es de una cola.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para
estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para
concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema.
En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el
nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de
significancia.
Solución:
4) H0 : p < 0.6
Ha : p > 0.6
5) a  0.05
6)Como np > 5 y n(1 – p) > 5, podemos asumir que la distribución
muestral p es aproximadamente normal; por lo tanto, podemos usar la
prueba z.
7)Como a  0.05 y la prueba es de una cola, za  z0.05  1.645.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
Una escuela está probando un nuevo sistema de registro para
estudiantes. El director quiere saber si existe evidencia suficiente para
concluir que hay un apoyo de los alumnos de 60% al nuevo sistema.
En una muestra aleatoria de 520 estudiantes, 352 dijeron preferir el
nuevo sistema. Realiza una prueba de hipótesis con 0.05 de nivel de
significancia.
Solución:
8)
pp
0 .6 7 6 9 2 3  0 .6
x
352
p 
 0 .6 7 6 9 2 3, z 

n
520
p 1  p 
n

0 .6  1  0 .6 
 3.58
520
9) Como 3.58 > 1.645  za , se rechaza hipótesis nula.
10) Hay evidencia suficiente al 0.05 de nivel de significancia de que
más de 60% de los estudiantes prefiere el nuevo sistema de registro.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 95% de las veces p será menor
que 1.645 desviaciones estándar por encima del valor propuesto para
p, por lo que el valor del estadístico de prueba z será menor que
1.645.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor
de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una
muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la
construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de
significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban
que se construya el puente.
Solución:
1) H0: A lo mucho 50% de los residentes están en favor de construir
el puente.
Ha: Más de 50% de los residentes están en favor de construir el
puente.
2) p = la verdadera proporción de residentes que está en favor de
construir el puente.
3) La palabra clave en este caso es “más”. Como el alcalde quiere
saber si hay más de 50% de residentes en favor del puente,
entonces la prueba es de una cola.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor
de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una
muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la
construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de
significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban
que se construya el puente.
Solución:
4) H0 : p < 0.5
Ha : p > 0.5
5) a  0.01
6)Como np > 5 y n(1 – p) > 5 podemos asumir que la distribución de
la muestra p es aproximadamente normal y usar la prueba z.
7)Como a  0.01 y la prueba es de una cola, za  z0.01  2.33.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
El alcalde de Savannah quiere saber si los residentes están en favor
de construir un puente levadizo para cruzar el río de la ciudad. En una
muestra aleatoria de 420 residentes, 228 declaran estar en favor de la
construcción. Realiza una prueba de hipótesis con 0.01 de nivel de
significancia para determinar si la mayoría de los residentes aprueban
que se construya el puente.
Solución:
8)
p 
x
n

228
420
 0 .5 4 2 8 5 7, z 
pp
p 1  p 
n

0 .5 4 2 8 5 7  0 .5
0 .5  1  0 .5 
 1.76
420
9)Como1.76 < 2.33  za, no se puede rechazar hipótesis nula.
10)No hay evidencia suficiente al 0.01 de nivel de significancia para
concluir que hay una mayoría en favor de construir el puente.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 99% de las veces p será menor a
2.33 desviaciones estándar por encima del valor propuesto para p.
Por lo que, el valor del estadístico de prueba z será menor a 2.33.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.1 Probando una hipótesis con la proporción de una población
Valores p y proporciones:
• Las reglas para rechazar una hipótesis nula usando el valor p son
las mismas que para las medias poblacionales.
• Si el valor calculado p es menor a a, se rechaza la hipótesis nula en
favor de la alternativa.
• Si el valor calculado p es mayor a a, no se puede rechazar la
hipótesis nula.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Objetivos:
• Realizar una prueba de hipótesis para la desviación
estándar o varianza de la población.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Definición:
La prueba estadística apropiada para una hipótesis sobre la
varianza poblacional es la prueba chi-cuadrada, dada por

2

 n  1 s 2
0
2
Tamaño
la, muestra
donde n  sa
m p le de
size
s 2  sa
m p le vde
a ria
ce ,
Varianza
lanmuestra
 02  hValor
yp o th
e size d v para
a lu e la
o fvarianza
p o p u la tio
ria n c e , a n d
propuesto
denlav apoblación
d f  dGrados
e g re e sdeo flibertad
fre e d on-1
m , n  1.
Nota: Los pasos para probar la varianza poblacional son
idénticos a aquellos para probar las medias y proporciones de
una población. La prueba chi-cuadrada requiere asumir que la
población tiene una distribución normal.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Prueba de hipótesis:
Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de
la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho
de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que
la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de
hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la
variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume
que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución
normal.
Solución:
1) H0: La desviación estándar es a lo mucho de 0.1 miligramos.
Ha: La desviación estándar es mayor a 0.1 miligramos.
2)
n  30, el tamaño de la muestra
s  0.14, la desviación estándar muestral
0  0.10, la desviación estándar poblacional apropiada
3) La palabra clave en este caso es “mayor.” Como la compañía
necesita determinar si la desviación estándar es mayor a 0.1, la
prueba es de una cola.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Prueba de hipótesis:
Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de
la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho
de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que
la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de
hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la
variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume
que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución
normal.
Solución:
4) H0 : 0 < 0.10
Ha : 0 > 0.10
5) a  0.01
6)Como se quiere comparar la desviación estándar de la muestra con
la de la población, se utilizará la prueba chi-cuadrada.
7)Como a  0.01 y la prueba es de una cola, a2  n 1   02.0 1 2 9  4 9 .5 8 8 .
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Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Prueba de hipótesis:
Una compañía farmacéutica quiere saber si la desviación estándar de
la medicina en las pastillas contra el dolor de cabeza es a lo mucho
de 0.1 miligramos. En una muestra de 30 pastillas, se encuentra que
la desviación estándar es de 0.14 miligramos. Realiza una prueba de
hipótesis con un nivel de significancia de 0.01 para determinar si la
variación entre el medicamento de cada pastilla es mucha. Asume
que la cantidad de medicamento por pastilla tiene una distribución
normal.
Solución:
8)

2

 n  1 s 2
0
2

 3 0  1  0 .1 4 
2
0
.1
0


2
 56.840
9) Como 5 6 .8 4 0 > 4 9 .5 8 8   a2 ,n 1,se rechaza la hipótesis nula.
10) Hay evidencia suficiente con un nivel de 0.01 de significancia de
que la desviación estándar del medicamento en la muestra es mayor
a 0.1 miligramos.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 99% de las veces el valor de 2 con
29 grados de libertad será menor que 49.588.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.2 Probando una hipótesis con la varianza poblacional
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Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Objetivos:
• Realizar una prueba de hipótesis para dos medias
poblacionales utilizando muestras independientes con una n
grande.
• Realizar una prueba de hipótesis para dos medias de una
población utilizando muestras independientes con una n
pequeña.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Definición:
• Reglas para probar dos medias poblacionales
oSi n1 > 30 y n2 > 30, la distribución muestral de x 1  x 2
tiene una distribución normal .
o
x
1 x2
 1   2
oSi las dos muestras son independientes, entonces por el
Teorema del Límite Central, el estadístico de prueba está dado
por
z 
 x1  x 2    x  x
1
x
1 x2
2

 x1  x 2    1   2 

2
1
n1


,
2
2
n2
donde z tiene una distribución estándar normal.
 y  pueden ser aproximados con s 12 y s 22 , respectivamente,
si n1 > 30 y n2 > 30.
2
2
2
1
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Definición:
• Reglas para comparar dos medias poblacionales
oEn las pruebas de hipótesis previas, las hipótesis nula y
alternativa tenían valores numéricos propuestos para el
parámetro poblacional.
oEn la prueba de hipótesis para dos medias poblacionales, se
busca probar que no hay ninguna diferencia entre las dos
medias (la diferencia de las medias es 0) o, en otras palabras,
las dos medias son iguales. La hipótesis nula para una preuba
de dos colas será presentada de la siguiente manera.
1  2  0, y
1  2.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia
suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que
existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre
niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace
leer algunas páginas del mismo libro. El tiempo que le tomo a los
alumnos leerlo se indica en la siguiente tabla.
Velocidad de lectura (en minutos)
n
x
s
Niños
40
10
3
Niñas
40
11
2
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Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia
suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que
existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre
niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace
leer algunas páginas del mismo libro.
Solución:
s
1) H0: No hay diferencia entre la velocidad promedio de lectura de
los niños y de las niñas.
Ha: Hay una diferencia entre la velocidad promedio de lectura de
los niños y de las niñas.
numde
ber
of boys,
número
niños,
40 40
2) n1  the
la evelocidad
x 1  th
sa m p le de
m electura
a n re a d in g
promedio
sp
e e d o f muestral
b o ys, 1 0de los
número
40 40
n 2  the
numde
berniñas,
of girls,
laevelocidad
deelectura
x 2  th
sa m p le m
a n re a d in g
promedio
sp
e e d o f gmuestral
irls, 1 1 de las
niños, 10
niñas, 11
 1  th
v a ria n ce
re a d in g
 2  th
v a ria n ce
a d in g
la evarianza
de olaf velocidad
laevarianza
deolaf re
velocidad
sp e e d o f de
b olos
ys, niños,
sp
e e d o f de
g irls,
promedio
promedio
las niñas,
2
2
2
2
a p p ro ximpor
a te d b y s 1  3  9
acalculada
p p ro xim a
te d b y s 2  2  4
calculada
por
2
2
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Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia
suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que
existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre
niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace
leer algunas páginas del mismo libro.
Solución:
3) La palabra clave en este caso es “diferente”. Como buscamos
establecer si existe una diferencia entre las medias, la prueba es de
dos colas.
4) H0 : 1  2  0
Ha : 1  2 ≠ 0
5) a  0.05
6)Como n1 > 30 y n2 > 30, podemos asumir que la distribución
muestral de x 1  x 2 está distribuida aproximadamente de forma
normal, por lo que podemos utilizar una prueba z.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un profesor de una escuela primaria quiere saber si existe evidencia
suficiente con un nivel de significancia de 0.05 para concluir que
existe una diferencia entre la velocidad de lectura promedio entre
niños y niñas. El profesor elige a 40 estudiantes al azar y los hace
leer algunas páginas del mismo libro.
Solución:
7) Como a  0.05 y la prueba es de dos colas , za/2  z0.025  1.96.
8)
z 
x
1
 x 2    1   2 
1
2
n1
2
3
n2
40
2


 1 0  1 1   0 
2

2
2
 1.754
40
9) Como  1.754 < 1.96  za / 2 ,no se puede rechazar la hipótesis nula.
10) Con un nivel de confianza de 0.05 no hay evidencia de que la
velocidad promedio de lectura entre niños y niñas sea diferente.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor del
estadístico z se encontrará entre 1.96 y 1.96.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Definición:
• Reglas para comparar dos medias poblacionales
oSi n1 < 30 o n2 < 30 y ambas poblaciones tienen una
distribución normal, la distribución muestral de x 1  x 2 tiene
una distribución t.
 x  x  1   2
o
1
2
oSi ambas poblaciones tiene una varianza igual (pero
desconocida) entonces el estadístico de prueba está dado por
t 
 x1  x 2    1   2 
 1
1 
s 


n
n
2 
 1
2
p
, donde
w h e re s 
2
p
 n 1  1 s 12   n 2
 1 s 2
n1  n 2  2
2
.
Si la hipótesis nula es verdadera, t tiene una distribución t de
n1  n2  2 grados de libertad.
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Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren
cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal.
15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el
diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas
mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2
años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años,
respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para
determinar si hay un incremento en la esperanza de vida.
Solución:
1) H0: La esperanza de vida de las mujeres que asisten a terapia es
menor o igual a la de las mujeres que no asisten.
Ha: La esperanza de vida de las mujeres que asisten a terapia es
mayor que la de las mujeres que no asisten.
15
2) n1  attend
Asistentherapy,
a terapia,15
Esperanza
vida
promedio
x1  m
e a n life de
e xp
e cta
n cy o f
deolas
th
seque
w hasisten
o a ttean terapia,
d , 3 .8
3.8
s 1  th
e sta n d estándar
a rd d e vde
ia tio
Desviación
lasn fo r
th o se
w h oa terapia,
a tte n d0.6
, 0 .6
que
asisten
Nonot
asisten
a terapia,
15
n 2  do
attend,
15
Esperanza
promedio
x2  m
e a n life de
e xpvida
e cta
n cy o f de
laso se
quewno
th
h oasisten
d o n oat terapia,
a tte n d ,2 2 .0
s 2  th
e sta n d aestándar
rd d e v iade
tiolas
n fo
r no
Desviación
que
th
o se wahterapia,
o d o n0.5
o t a tte n d , 0 .5
asisten
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Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren
cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal.
15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el
diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas
mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2
años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años,
respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para
determinar si hay un incremento en la esperanza de vida.
Solución:
3) La palabra clave en este caso es “aumentar”. Como estamos tratando
de establecer que una media es mayor a otra, la prueba es de una cola.
4) H0 : 1  2 < 0Ha : 1  2 > 0
5) a  0.05
6) Como n1 < 30 y n2 < 30, usaremos la prueba t. Asumimos que la
esperanza de vida para mujeres con cáncer terminal está distribuida
normalmente y que las varianzas para las que van a terapia y las que no
son iguales.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren
cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal.
15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el
diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas
mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2
años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años,
respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para
determinar si hay un incremento en la esperanza de vida.
Solución:
t a , n  n  2  t 0 .0 5  2 8  1 .7 0 1 .
7) Como a  0.05 y la prueba es de una cola,
1
8) s p2 
t 
 n 1  1 s 12   n 2  1 s 22
n1  n 2  2
 x1  x 2    1   2 
 1
1 
s 


n
n
2 
 1
2
p


 1 5  1  0 .6 
2
2
  1 5  1  0 .5 
15  15  2
 3 .8  2 .0    0 
1 
 1
0 .0 5 5 


 15 15 
 21.019
2
 0.055
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Un oncólogo cree que la esperanza de vida de las mujeres que sufren
cáncer de mama terminal aumenta si éstas acuden a terapia grupal.
15 mujeres van a terapia y 15 no van. Su esperanza de vida desde el
diagnóstico se registra. El promedio es de 3.8 años para aquellas
mujeres que asisten a terapia de grupo, para aquellas que no, es de 2
años. Las desviaciones estándar son de 0.6 años y 0.5 años,
respectivamente. Realiza una prueba de hipótesis al 0.05, para
determinar si hay un incremento en la esperanza de vida.
Solución:
9) Como 2 1 .0 1 9 > 1 .7 0 1  t a , n  n  2 ,se rechaza hipótesis nula.
1
2
10) Hay suficiente evidencia en un nivel de significancia de 0.05 de que la
esperanza de vida promedio de una mujer con cáncer terminal que
asiste a terapia es mayor a la de aquellas que no asisten.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor del
estadístico t será menor a 1.701.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección. 12.3 Comparando dos medias poblacionales
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Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Objetivos:
• Realizar una prueba de hipótesis relativa a la diferencia
entre dos medias poblacionales usando muestras
dependientes.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Definiciones:
•
•
Dependientes – Si los conjuntos de datos están
relacionados. También pueden ser llamados como
muestras en par o datos emparejados (paired data).
Diferencia par – la diferencia entre los valores de cada
conjunto de datos es D  x2 – x1.
Si se sustrae el valor previo al tratamiento del valor posterior al
tratamiento, una reducción en el valor sería un número negativo. El
signo de desigualdad también se revierte: una “reducción de más de”
sería < y una “reducción de más de” sería >.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Estadístico de prueba para medias dependientes:
t 
xD  D
sD
número
w h e re n D ises
thel
e n
u m b e r de
o f diferencias
d iffe re n ce s, x D 
donde
D,
nD
nD
a nyd s D is
sa m p le sta nestándar
d a rd d e vmuestral
ia tio n o f th
p a ire
d d iffe re n emparejadas.
ce s.
esthlae desviación
dee las
diferencias
Cuando se calcula la media muestral de una diferencia emparejada,
redondea un decimal más que el dado en los datos originales.
Si las diferencias están normalmente distribuidas y la hipótesis nula es
verdadera, el estadístico de prueba tiene una distribución t y nD – 1
grados de libertad.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
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Prueba de hipótesis:
Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un
onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El
investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo
de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una
hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más
largo después de haber tomado el alcohol. Los tiempos registrados se
presentan en la siguiente tabla.
Tiempo de reacción (en segundos)
Sujeto
Antes
Después
Diferencia
1
0.4
0.5
–0.1
2
0.5
0.5
0.0
3
0.6
0.7
–0.1
4
0.4
0.6
–0.2
5
0.5
0.6
–0.1
6
0.4
0.4
0.0
7
0.4
0.5
–0.1
8
0.5
0.7
–0.2
9
0.6
0.8
–0.2
10
0.4
0.5
–0.1
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Prueba de hipótesis:
Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un
onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El
investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo
de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una
hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más
largo después de haber tomado el alcohol.
Solución:
1) H0: No hay diferencia entre el tiempo de reacción promedio antes
y después de tomar una onza de alcohol.
Ha: El tiempo promedio de reacción es significativamente más
largo después de tomar una onza de alcohol.
2 D  la media poblacional de las diferencias emparejadas en
tiempo de reacción.
3) La palabra clave en este caso es “más largo”. Como el
investigador está probando que el tiempo de reacción es más
largo, es una prueba de una cola.
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Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Prueba de hipótesis:
Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un
onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El
investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo
de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una
hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más
largo después de haber tomado el alcohol.
Solución:
4) H0 : D > 0
Ha : D < 0
5) a  0.01
6)Como nD < 30 se usará una prueba t. Se asume que la distribución
de las diferencias es normal.
7)Como a  0.01 y la prueba es de una cola.t a , n
D
1
 t 0.01,9   2.821.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
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Prueba de hipótesis:
Un investigador está interesado en conocer la diferencia que tiene un
onza de alcohol ten el tiempo de reacción de las personas. El
investigador selecciona 10 sujetos aleatoriamente y registra su tiempo
de reacción antes y después de tomar la onza de alcohol. Realiza una
hipótesis al 0.01 para determinar si el tiempo de reacción es más
largo después de haber tomado el alcohol.
Solución:
t 
xD  D
sD
nD
D  0
s D  0.073786
8) x D  0.11

 0 .1 1  0
0 .0 7 3 7 8 6
n  10
  4 .7 1 4
10
9) Como  4.714 <  2.821  t a , n
D
, se rechaza la hipótesis nula.
1
10) Al 0.01 existe evidencia significativa de que el tiempo de reacción
es más largo después de tomar una onza de alcohol.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 99% del tiempo el valor del
estadístico t será mayor a -2.821.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.4 Probando medias dependientes y diferencia par
Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Objetivos:
• Realizar una prueba de hipótesis para dos proporciones de
la población de muestras independientes con n grande.
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Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Definición:
• Reglas para probar dos proporciones poblacionales
oSi n 1 p 1  5, n 1  1  p 1   5, n 2 p 2  5, ayn d n 2 1  p 2   5 , la
distribución muestral de p 1  p 2 tiene una distribución normal .
oEl estadístico de prueba está dado por
z 
p
1
p c 1  p c 
n1

 p2  0

p c 1  p c 
, w h e re p c 
n1
n1  n 2
n2
y z tiene una distribución estándar normal.
p1 
n2
n1  n 2
p2
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Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Definición:
• Reglas para probar dos proporciones poblacionales
oEn las pruebas de hipótesis previas, la hipótesis nula y la
alternativa contenían un valor numérico propuesto para el
parámetro poblacional.
oEn la prueba de hipótesis para dos proporciones
poblacionales, se busca mostrar que no hay una diferencia en
las proporciones (la diferencia de las proporciones es igual a
0) o, en otras palabras, que las proporciones son iguales. La
hipótesis nula debe plantearse para una prueba de dos colas
en dos formas:
p1  p2  0, y
p1  p2 .
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas
acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el
mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está
produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el
ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y
cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o
rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la
proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel
de significancia de 0.1.
Celulares Defectuosos
Muestra
defectuosos
Planta A
200
5
Planta B
200
12
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Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas
acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el
mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está
produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el
ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y
cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o
rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la
proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel
de significancia de 0.1.
Solución:
1) H0: No hay diferencia entre las proporciones de celulares
defectuosos de las plantas A y B.
Ha: Hay una diferencia entre las proporciones de celulares
defectuosos de las plantas A y B.
2) n 1  2 0 0, p 2 
5
200
 0 .0 2 5, n 2  2 0 0, p 2 
12
 0 .0 6
200
3) La palabra clave en este caso es “diferencia.” Como el ejecutivo
está buscando una diferencia, la prueba es de dos colas .
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Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas
acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el
mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está
produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el
ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y
cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. Prueba o
rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la
proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel
de significancia de 0.1.
Solución:
4) H0 : p1  p2
Ha : p1 ≠ p2
5) a  0.10
6)El estadístico de prueba apropiado es z.
7)Como a  0.10 y la prueba es de dos colas , za/2  z0.05  1.645.
Temas adicionales de la prueba de hipótesis
Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
Un ejecutivo de una compañía celular ha recibido múltiples quejas acerca
de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y
él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares
defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una
muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares
defectuosos de cada una. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de
que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las
dos plantas con un nivel de significancia de 0.1.
Solución:
8) p c 
z 
p
1
n1
n1  n 2
n2
n1  n 2

 p2  0
p c 1  p c 
n1
p1 

p c 1  p c 
n2

p2 
200
200  200
 0.025  
200
200  200
 0.06 
 0 .0 2 5  0 .0 6   0
0 .0 4 2 5  1  0 .0 4 2 5  0 .0 4 2 5  1  0 .0 4 2 5 
200

 0.0425
 1.735
200
9) Como  1.735 > 1.645  za / 2 , se rechaza la hipótesis nula.
10) Hay evidencia suficiente con a  0.10 para concluir que hay una
diferencia entre las proporciones de celulares defectuosos producidos
por las dos plantas.
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Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
Si la hipótesis nula es verdadera, 90% del tiempo el valor del
estadístico z se encontrará entre 1.645 y 1.645.
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Sección 12.5 Comparando dos proporciones de la población
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Prueba de hipótesis:
La zona de rechazo puede ser graficada en una recta de la siguiente
forma:
De esta forma el estadístico de prueba puede ser comparado contra
la zona de rechazo en esta recta.
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