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Capítulo 11
Introducción a la prueba de
hipótesis
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
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Objetivos:
• Aprender a establecer un problema para
poder realizar una prueba de hipótesis.
• Entender cómo plantear la conclusión de
una prueba de hipótesis.
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Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Definiciones:
•
•
•
•
Hipótesis – Una teoría o premisa, normalmente el
planteamiento que se está investigando.
Hipótesis Nula, H0 – Describe el valor del parámetro de
la población que en ese momento es aceptado.
Hipótesis alternativa, Ha – Describe la afirmación que se
está probando; es el opuesto matemático de la hipótesis
nula.
Prueba de hipótesis – Compara el “mérito” de las dos
hipótesis en competencia al examinar los datos con los
que se cuentan.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Prueba de hipótesis:
• En una prueba de hipótesis, a la hipótesis
nula siempre se le da el beneficio de la
duda. Esto implica asumir que la hipótesis
nula es correcta, a menos de que exista
evidencia significativa en la muestra para
rechazarla.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Para plantear la hipótesis nula y la alternativa:
1. Escribe la premisa.
2. Escribe su opuesto matemático.
3. Etiquétalas como “nula” y “alternativa”.
Recuerda que la hipótesis nula es el valor que en
ese momento es aceptado para el parámetro del a
población.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
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Determina la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Una comunidad de profesores sostiene que el alumno
promedio estudia no más de 15 horas por semana. Una
organización nacional de estudiantes afirma que sus
miembros estudian más horas por semana que un alumno
promedio.
Solución:
Premisa: Los alumnos de la organización nacional de
estudiantes estudian más horas por semana que
un alumno promedio.
m > 15
Opuesto matemático:
m < 15
H0: m < 15 Valor actualmente aceptado
H a:
m > 15 Hipótesis a comprobar
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
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Determina la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
Un periódico nacional afirma que la tasa de aprobación del presidente ha
disminuido durante los últimos tres meses. Encuestas anteriores establecían la
tasa de aceptación del mandatario en 56%. Al coordinador de asesores del
presidente le preocupan estos datos ya que se encuentran en año de elecciones,
por lo que quiere someter a prueba esta afirmación.
Solución:
Premisa: La tasa de aprobación del presidente ha
disminuido por debajo del 56%.
p < 0.56
Opuesto matemático:
p > 0.56
H 0:
p > 0.56
H a:
p < 0.56
Valor actualmente aceptado
Hipótesis a demostrar
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Determina la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:
La Convención Nacional Veterinaria ha establecido que
aproximadamente 1% de los perros atacan a las personas aun si
no fueron provocados. La asociación de derechos de animales
cree que la cifra no es exacta.
Solución:
Premisa:
No es exacto que 1% sea el porcentaje de perros
que ataca a las personas.
p ≠ 0.01
Opuesto matemático: p = 0.01
H 0:
Ha: p = 0.01 Valor actualmente aceptado
p ≠ 0.01 Hipótesis a demostrar
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Definiciones:
•
Estadístico de prueba – Uno de los componente de los
criterios utilizados para evaluar las hipótesis, calculado a
partir de la muestra.
•
Estadísticamente significativo – Se dice que un dato es
estadísticamente significativo si es poco probable que
una muestra similar a la que se escogió ocurra al azar si
la hipótesis nula es cierta.
•
Nivel de significancia, a – Es la probabilidad de
rechazar una hipótesis nula que es verdadera. También
es el complemento del grado de confianza, c,
donde a = 1 - c.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Pasos para probar una hipótesis:
1. Establece la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.
2. Diseña la prueba de hipótesis al escoger el
estadístico de prueba y determinar los valores que,
en caso de presentarse, llevarían a rechazar la
hipótesis nula.
3. Junta los datos y calcula los estadísticos muestrales
necesarios.
4. Establece una conclusión.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Las posibles conclusiones a una prueba de hipótesis :
1. Rechazar la hipótesis nula.
2. No poder rechazar la hipótesis nula.
Una vez que hayas elegido una conclusión, debes
plantearla en términos de la premisa original y
discutirla.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Establecer la conclusión:
Una comunidad de profesores sostiene que el alumno promedio estudia no más
de 15 horas por semana. Una organización nacional de estudiantes afirma que
sus miembros estudian más horas por semana que un alumno promedio.
Después de realizar una prueba de hipótesis para evaluar la afirmación de la
organización, con un grado de confianza de 95%, los investigadores rechazan
la hipótesis nula. ¿El resultado apoya la afirmación de la organización?
Solución:
Premisa:
Los alumnos de la organización nacional de estudiantes
estudian más horas por semana que un alumno promedio.
m > 15
Opuesto matemático:
m < 15
H0:
m < 15 Valor actual aceptado
Ha:
m > 15 Hipótesis a comprobar
Ya que la hipótesis nula fue rechazada, la organización puede
confiar 95% en que sus miembros estudian más que el alumno
promedio.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.1 Desarrollando una hipótesis
Establecer la conclusión:
La junta de profesores de una escuela local calcula que 10% de los
estudiantes de primer año de preparatoria considera dejar de
estudiar. Un consejero estudiantil afirma que el porcentaje es muy
alto. Una prueba de hipótesis con a = 0.02 es realizada a la premisa
del consejero. El resultado es no rechazar la hipótesis nula. ¿El
resultado apoya la premisa del consejero?
Solución:
Premisa: 10% es un porcentaje sobreestimado para la cantidad de alumnos
que consideran dejar la escuela.
p < 0.10
Opuesto matemático: p > 0.10
H0: p > 0.10 Valor actual aceptado
Ha: p < 0.10 Hipótesis a comprobar
Ya que la hipótesis nula no fue rechazada, la evidencia no es
suficientemente fuerte en este nivel de significancia para apoyar la
premisa del consejero.
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Introducción a la prueba de hipótesis
Sección 11.2 Llegando a una conclusión
Objetivo:
• Entender la diferencia entre el error tipo I y
el error tipo II al probar una hipótesis.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.2 Llegando a una conclusión
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Definiciones:
•
Error Tipo I – Rechazar una hipótesis nula correcta, la
probabilidad de cometer este error está denotado por a.
•
Error Tipo II Error – No rechazar una hipótesis nula
falsa, la probabilidad de cometer este error está denotado
por b.
Realidad
H0 es rechazada
Decisión
H0 no es rechazada
H0 es verdadera
H0 es falsa
Error Tipo I
Decisión
correcta
Decisión
Correcta
Error Tipo II
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Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.2 Llegando a una conclusión
Identificar si se ha cometido un error:
Un ejecutivo de una empresa televisiva cree que al menos 99% de
los hogares tienen un televisor. Un estudiante de esta compañía cree
que el porcentaje verdadero es menor a 99%. Se realiza una prueba
de hipótesis y, basada en la muestra, la estudiante decide no
rechazar la hipótesis nula. Si, en realidad, 97.5% de los hogares
tiene un televisor, ¿se cometió algún error? En caso de que sí, ¿de
qué tipo?
Solución:
Primero, plantear la hipótesis.
H0: p > 0.99
Ha: p < 0.99
La decisión era no rechazar la hipótesis nula. En realidad, la
hipótesis nula era falsa, dado que menos de 99% de los hogares
tenía un televisor. Por lo tanto, la estudiante no rechazó una hipótesis
nula falsa. Esto es un error Tipo II.
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Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.2 Llegando a una conclusión
Identificar si se ha cometido un error:
Las compañías de seguros normalmente calculan que un carro
recorre 1000 millas en promedio en un mes. Una nueva compañía
afirma que este número es menor a las millas que en verdad se
recorren. Se realiza una prueba de hipótesis y se decide rechazar la
hipótesis nula. Si el número promedio de millas recorridas por un
carro al mes es de 1500, ¿se cometió algún error? En caso de que
sí, ¿de qué tipo?
Solución:
Primero, establecer la hipótesis.
H0: m < 1000
Ha: m > 1000
La decisión fue rechazar la hipótesis nula.
En realidad, la hipótesis nula es falsa ya que el promedio de millas
recorridas es mayor a 1000. POr lo tanto la decisión fue de rechazar
una hipótesis nula falsa.
La decisión fue correcta.
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Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.2 Llegando a una conclusión
Identificar si se ha cometido un error:
Un estudio reveló que los niños ven la televisión un promedio de 4
horas al día. Un investigador cree que esta cifra es falsa, por lo que
realiza una prueba de hipótesis. Su decisión es rechazar la hipótesis
nula. Si, en realidad, los niños ven la televisión un promedio de 4
horas al día, ¿se cometió un error? En caso de que sí, ¿de qué tipo?
Solución:
Primero, establece la hipótesis:
H0: m = 4
Ha: m ≠ 4
La decisión fue rechazar la hipótesis nula. En realidad, la hipótesis
nula era verdadera ya que los niños ven la televisión un promedio de
4 hora al día. Por lo tanto, el investigador rechazó una hipótesis nula
verdadera. Esto es un error tipo I.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Objetivos:
• Entender los pasos para hacer una prueba de hipótesis.
• Realizar una prueba de hipótesis para una media
poblacional usando el estadístico de prueba z.
• Realizar una prueba de hipótesis para una media
poblacional usando el estadístico de prueba t.
• Entender como plantear conclusiones de una prueba de
hipótesis utilizando el valor p del estadístico de prueba.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Definición:
• Reglas para una prueba z para una media poblacional
oSi n > 30, o
ola desviación estándar de la población, s, es conocida y la
muestra se obtiene de una población normal,
oEntonces, debido al Teorema del Límite Central, el
estadístico de prueba está dado por
z =
x - m0
sx
s
, donde
w h e re s x =
,
n
Esthlae media
x is
sa m p muestral
le m e a n ,
Esthelevalor
muestra
la, hipótesis,
m 0 is
h yp ode
th elasize
d v a lupoblacional
e o f th e p opresentado
p u la tio n mpor
ean
yann es
d nelistamaño
th e sade
m pla
lemuestra.
size .
Si s no se conoce y n > 30, la desviación estándar muestral,
s, puede ser utilizada como un aproximado de s.
El estadístico de prueba, z, tiene una distribución estándar
normal.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Pasos para una prueba de hipótesis :
1)Plantea las hipótesis de manera sencilla.
2)Selecciona la prueba estadística apropiada.
3)Determina si la hipótesis alternativa debe ser de una cola o de dos
colas.
4)Plantea la hipótesis usando la prueba estadística que refleje la
hipótesis que se está considerando.
5)Especifica a, el nivel de la prueba.
4)Selecciona el estadístico de prueba apropiado.
5)Determina el valor crítico del estadístico de prueba.
6)Calcula el estadístico de prueba usando los datos de la muestra.
7) Toma una decisión.
8)Plantea la conclusión en términos de la premisa original.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 157 palabras por minuto.
Solución:
1) H0: Los alumnos de la escuela local están leyendo a la velocidad
promedio nacional.
Ha: Los alumnos de la escuela local no están leyendo a la
velocidad promedio nacional.
2) m = Número de palabras promedio que leen los alumnos de la
escuela local.
3) La palabra clave en este ejemplo es “diferente”. Ya que el profesor
está interesado en saber si hay alguna diferencia, la prueba debe
de ser de dos colas.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 157 palabras por minuto.
Solución:
4) H0 : m = 150 Ha : m ≠ 150
5) a = 0.05
6)Ya que n > 30, podemos asumir que la distribución muestral es x
normal y usar una prueba z.
7)Como a = 0.05 y la prueba es de dos colas, za/2 = z0.025 = 1.96.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 157 palabras por minuto.
Solución:
8) z =
x - m0
s
n
=
157 - 150
15
100
=
7
15
 4.67
10
s se utiliza como un aproximado de s.
9)Como 4.67 > 1.96 = za   , se rechaza la hipótesis nula.
10) Existe evidencia significativa con un nivel de 0.05 que los alumnos
de la escuela local no leen a la velocidad nacional promedio.
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Prueba de hipótesis :
El estadístico de prueba z tiene un distribución normal estándar.
Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor del
estadístico de prueba z estará entre -1.96 y 1.96.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Las zonas de rechazo pueden ser graficadas en una recta con valores
numéricos de la siguiente forma:
De esta forma, el estadístico de prueba puede compararse contra las
zonas de rechazo de esta misma recta.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Un diseñador de microprocesadores ha desarrollado un nuevo proceso de
fabricación y cree que éste incrementará la vida útil de un chip.
Actualmente, un chip dura 16,000 horas con una desviación estándar de
2500. Se realiza una prueba a la hipótesis del diseñador con un nivel de
0.01. Se toma una muestra de 1000 microprocesadores y la media
muestral es de 16,500. Asume que la desviación estándar de los nuevos
chips es igual a la desviación de los pasados.
Solución:
1) H0: El nuevo proceso no incrementa la vida útil del chip.
Ha: El nuevo proceso incrementa la vida útil de chip.
) m = la media de la vida útil de los nuevos chips.
3) La palabra clave en el ejercicio es “incrementar”. Ya que el objetivo
es determinar si existe evidencia suficiente para decir que el
nuevo proceso de fabricación aumenta la vida útil de los chips, la
prueba es de una cola.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Un diseñador de microprocesadores ha desarrollado un nuevo proceso de
fabricación y cree que éste incrementará la vida útil de un chip.
Actualmente, un chip dura 16,000 horas con una desviación estándar de
2500. Se realiza una prueba a la hipótesis del diseñador con un nivel de
0.01. Se toma una muestra de 1000 microprocesadores y la media muestral
es de 16,500. Asume que la desviación estándar de los nuevos chips es
igual a la desviación de los pasados.
Solución:
4) H0 : m < 16,000
Ha : m > 16,000
5) a = 0.01
6)Como n > 30, podemos asumir que la distribución muestral es x
normal, por lo que podemos utilizar la prueba z.
7)Como a = 0.01 y la prueba es de una cola za = z0.01 = 2.33.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Un diseñador de microprocesadores ha desarrollado un nuevo proceso de
fabricación y cree que éste incrementará la vida útil de un chip. Actualmente,
un chip dura 16,000 horas con una desviación estándar de 2500. Se realiza
una prueba a la hipótesis del diseñador con un nivel de 0.01. Se toma una
muestra de 1000 microprocesadores y la media muestral es de 16,500. Asume
que la desviación estándar de los nuevos chips es igual a la desviación de los
pasados.
Solución:
8) z =
x - m0
s
n
=
1 6, 5 0 0 - 1 6, 0 0 0
2500
1000

500
2500
 6.32
3 1 .6 2 2 7 7 7
9) Como6.32 > 2.33 = za, se rechaza la hipótesis nula.
10) Existe evidencia significativa al 0.01que el nuevo proceso de
fabricación de los chips, aumenta el promedio de vida útil del mismo.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Si la hipótesis nula es verdadera, 99% del tiempo el valor de
estadístico de prueba z será menor a 2.33.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Valor crítico del estadístico de prueba z para una prueba de una
cola
Nivel de la
prueba
Definición de Variación Ordinaria
z
0.20
Inferior/superior 80% de la distribución
±0.84
0.10
Inferior/superior 90% de la distribución
±1.28
0.05
Inferior/superior 95% de la distribución
±1.645
0.02
Inferior/superior 98% de la distribución
±2.05
0.01
Inferior/superior 99% de la distribución
±2.33
Para una prueba de una cola para una hipótesis alternativa “menor a”
(Ha), el valor crítico de la prueba será negativo. Para una prueba de
una cola para una hipótesis alternativa de “mayor a” (Ha), el valor
crítico de la prueba será positivo.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Valor crítico del estadístico de prueba z para una prueba de dos
colas
Nivel de la
prueba
Definición de Variación Ordinaria
z
0.20
80% intervalo alrededor de la media de la
hipótesis
1.28
0.10
90% intervalo alrededor de la media de la
hipótesis
1.645
0.05
95% intervalo alrededor de la media de la
hipótesis
1.96
0.02
98% intervalo alrededor de la media de la
hipótesis
2.33
0.01
99% intervalo alrededor de la media de la
hipótesis
2.575
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Definición:
• Reglas para una prueba t para una media poblacional
oSi n < 30, y
oLa desviación estándar de la población, s, es desconocida y
la muestra viene de una población con distribución normal,
oEntonces, el estadístico de prueba está dado por
t =
x - m0
sx
s
, Donde
w h e re s x =
,
n
x isEsthlae media
sa m p le
m ean,
muestral
m 0 is
h yp ode
th elasize
d v apoblacional
lu e o f th e propuesto
p o p u la tio n
m la
e ahipótesis
n,
Esthele valor
media
por
s isEsthla
e desviación
sa m p le staestándar
n d a rd dmuestral
e v ia tio n ,
aynnd es
n is
e sa mde
p lelasize
.
el th
tamaño
muestra
El estadístico de prueba tiene una distribución t con n - 1
grados de libertad.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una investigadora diseñó un cuestionario que, en su opinión, puede
ser respondido en un tiempo promedio de 35 minutos. Ella toma una
muestra de 20 empleados y encuentra que el tiempo promedio de
respuesta es de 27 minutos con una desviación estándar de 4
minutos. Determina si hay suficiente evidencia para concluir que la
duración del cuestionario es diferente a la que supone la
investigadora. Realiza una prueba al 0.05.
Solución:
1) H0: Responder el cuestionario toma 35 minutos.
Ha: Responder el cuestionario toma más o menos de 35 minutos.
) m = la promedio de tiempo verdadero que le toma a un empleado
responder al cuestionario.
3) La palabra clave es “difiere”. Ya que la investigadora está
interesada en cualquier diferencia de la duración esperada, la
prueba es de dos colas.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una investigadora diseñó un cuestionario que, en su opinión, puede
ser respondido en un tiempo promedio de 35 minutos. Ella toma una
muestra de 20 empleados y encuentra que el tiempo promedio de
respuesta es de 27 minutos con una desviación estándar de 4
minutos. Determina si hay suficiente evidencia para concluir que la
duración del cuestionario es diferente a la que supone la
investigadora. Realiza una prueba al 0.05.
Solución:
4) H0 : m = 35
Ha : m ≠ 35
5) a = 0.05
6)Como n < 30, se usará una prueba t. Asumimos que distribución de
las veces que se respondió el cuestionario es normal.
7)Como a = 0.05 y la prueba es de dos colas con 19 grados de
libertad (df = n - 1 = 19), ta/2, n - 1 = t0.05/2, 20 - 1 = t0.025, 19 = 2.093.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una investigadora diseñó un cuestionario que, en su opinión, puede
ser respondido en un tiempo promedio de 35 minutos. Ella toma una
muestra de 20 empleados y encuentra que el tiempo promedio de
respuesta es de 27 minutos con una desviación estándar de 4
minutos. Determina si hay suficiente evidencia para concluir que la
duración del cuestionario es diferente a la que supone la
investigadora. Realiza una prueba al 0.05.
Solución:
8) t = x - m 0 = 2 7 - 3 5

s
n
9)Como
4
20
-8
4
 -8.944
4 .4 7 2 1 3 6
- 8.944 > 2.093 = t a / 2, n -1,se rechaza la hipótesis nula.
10)Hay evidencia significativa en un nivel de 0.05 que la media de
tiempo para llenar el cuestionario difiere a 35 minutos.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
El estadístico de prueba t tiene una distribución en forma de campana
con n - 1 grados de libertad.
Si la hipótesis nula es verdadera, 95% del tiempo el valor de t con 19
grados de libertad se encontrará entre -2.093 y 2.093.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
1) H0: Los cables tienen en promedio una resistencia no mayor a
4000 libras.
Ha: Los cables tienen en promedio una resistencia mayor a 4000
libras.
) m = la media de la resistencia de los cables.
3) La palabra clave es “mayor”. Ya que la compañía está interesada
en medir si los cables resisten más del valor especificado, la
prueba es de una cola.
Introducción a la prueba de hipótesis
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
4) H0 : m < 4000
Ha : m > 4000
5) a = 0.01
6)Como n < 30, usaremos una prueba t. Asumimos que la distribución
de la resistencia de los cables es normal.
7)Como a = 0.01 y la prueba es de una cola con 24 grados de libertad
(df = n - 1 = 24), ta, n - 1 = t0.01, 25 - 1 = t0.01, 24 = 2.492.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
x - m0
8)
t =
s
n
=
4014 - 4000
20
25
=
14
20
= 3.5
5
9)Como 3.5 > 2.492 = ta, n - 1, se rechaza la hipótesis nula.
10)Hay evidencia significativa a un nivel de 0.01 de que la media de
resistencia de los cables es mayor a 4000 libras. Por lo que los cables
cumplen los estándares de calidad.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
El estadístico de prueba t tiene una distribución en forma de campana
con n - 1 grados de libertad.
Si la hipótesis nula es verdadera, 99% del tiempo el valor t con 24
grados de libertad será menor a 2.492.
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Sección 11.4 Probando una hipótesis de una media poblacional
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Prueba de hipótesis :
La zona de rechazo puede ser graficada en la recta de la siguiente
forma:
Entonces, el estadístico de prueba puede compararse con esta recta.
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Definición:
• valor p – la probabilidad de que se presente un valor del
estadístico de prueba en contraste con el que se espera observar al
asumir que la hipótesis nula es cierta.
Tomando una decisión a partir del valor p:
• Si el valor p calculado es menor a a, se rechaza la hipótesis nula en
favor de la alternativa.
• Si el valor p calculado es mayor a a, no se puede rechazar la
hipótesis nula.
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Valor p:
• El valor p permite expresar la fueraza con la cual se rechaza o no
se rechaza la hipótesis nula. Un menor valor p indica un estadístico
de prueba más raro, lo que quiere decir que la hipótesis nula tiene
menos posibilidad de ser cierta.
• Entre mejor situado se encuentre el estadístico de prueba en la
zona de rechazo (más alejado de la zona de no rechazo) y menor
sea el valor p, se puede tener mayor confianza al rechazar la
hipótesis nula.
• Por otro lado, si el valor p es mayor o igual a a, el estadístico de
prueba no es tan raro como para rechazar la hipótesis nula. Esto
puede ser causado sólo por una variación ordinaria dentro del a
muestra.
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Valor p:
• Probando valores “menores” (una cola, cola izquierda) – Si estás
probando si un valor observado es significativamente menor que el
promedio de la hipótesis, el valor p es la probabilidad de que se
presente un estadístico de prueba menor o igual al valor calculado.
Ejemplo: Si el estadístico de prueba para una prueba de cola
izquierda es z = -2.45, entonces el
valor p = P(z < - 2.45) = 0.0071.
• Probando valores “mayores” (un cola, cola derecha) – Si estás
probando si un valor observado es significativamente mayor que el
promedio de la hipótesis, el valor p es la probabilidad de que se
presente un estadístico de prueba mayor o igual al valor calculado.
Ejemplo: Si el estadístico de prueba para una prueba de cola
derecha es z = 2.12, entonces el
valor p = P(z > 2.12) = 0.0170
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Valor p:
Probando valores “diferentes” (dos colas) – Si estás probando si un valor
observado es significativamente diferente que el promedio de la hipótesis, el
valor p es la probabilidad de que se presente un estadístico de prueba cuyo
valor absoluto sea igual o mayo que el valor absoluto del valor calculado. Por
lo que, para calcular el valor p para una prueba de dos colas, simplemente
duplica la probabilidad del estadístico de prueba.
Ejemplo: Si el estadístico de prueba para una prueba de dos
colas es z = -2.56, entonces:
P -v a lu e = P
z
 - 2 .5 6
)
= 2  P  z  - 2.56 )
= 2  0.0052
= 0.0104.
El valor p de 0.0104 es la probabilidad de que se presente un valor
del estadístico de prueba que sea mayoro igual a 2.56 o menor o
igual a -2.56 asumiendo que la hipótesis nula es verdadera.
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Valor p:
Imagina que una prueba de hipótesis acerca de la media
poblacional se realiza y que el valor p es de 0.0156.
a. Si el nivel de significancia es 0.01, ¿cuál es la conclusión de
esta prueba?
b. Si el grado de confianza es de 90%, ¿cuál es la conclusión
de esta prueba?
Soluciones:
a. Como el valor p = 0.0156 > 0.01 = a, no se puede rechazar la
hipótesis nula.
b. Como a = 1 - grado de confianza= 1 - 0.9 = 0.1 y
valor p = 0.0156 < 0.1 = a, se rechaza la hipótesis nula.
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Valor p:
La siguiente gráfica muestra el estadístico de prueba z de 2.03 y el
correspondiente valor p de 0.0212. Con un nivel de significancia de
0.05, ¿rechazarías o no rechazarías la hipótesis nula?
Solución:
Como el valor p = 0.0212 < 0.05 = a
(nivel de significancia), se rechazaría
la hipótesis nula.
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Valor p:
La siguiente gráfica ilustra el valor p de una prueba de dos colas
donde el estadístico de prueba z es de 2.31. Con un nivel de
significancia de 0.05, ¿rechazarías o no rechazarías la hipótesis nula?
Solución:
Para calcular el valor p para una
prueba de dos colas, duplica la
probabilidad de estadístico de
prueba.
Entonces, valor p = 0.0104 +
0.0104
= 0.0208.
Como el valor p = 0.0208 < 0.05 =
a, se rechaza la hipótesis nula.
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 155 palabras por minuto.
Solución:
1) H0: Los estudiantes de la escuela local están leyendo a la
velocidad promedio nacional.
Ha: Los estudiantes de la escuela local no están leyendo a la
velocidad promedio nacional.
2) m = número de palabras leídas en promedio por los estudiantes de
la escuela local.
3) La palabra claves “diferente”. Ya que el profesor est+a interesado
en saber si existe alguna diferencia, la prueba es de dos colas.
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 155 palabras por minuto.
Solución:
4) H0 : m = 150 Ha : m ≠ 150
5) a = 0.05
6)Como n > 30, podemos asumir que la distribución muestras es x
normal y, por lo tanto, realizar una prueba z.
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 155 palabras por minuto.
Solución:
7) z =
x - m0
s
n
=
155 - 150
15
100
=
5
15
 3.33
10
s se utiliza como una aproximación de s.
8) P -v a lu e = P  z  3 .3 3 ) = 2  P  z  3.33 ) = 2  0.0004 ) = 0.0008
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Prueba de hipótesis :
El promedio nacional de velocidad de lectura entre los alumnos de
primer año es de 150 palabras por minuto con una desviación
estándar de 15. Un profesor de una escuela local quiere saber si sus
alumnos también leen esta cantidad de palabras por minuto. El nivel
de la prueba se establece en 0.05. Se selecciona una muestra al azar
de 100 alumnos y la media muestral es de 155 palabras por minuto.
Solución:
9) Como el valor p = 0.0008 < 0.05 = a, se rechaza hipótesis nula.
10) Existe evidencia significativa con un nivel de 0.05 que los alumnos
de la escuela local no leen a la velocidad promedio nacional.
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Prueba de hipótesis :
Un reportero investiga la afirmación de unos vecinos de que los
vendedores de gas están entregando menos producto del que se
paga. Para poder probar esto, el reportero selecciona 46 pipas de gas
al azar en las que se había pagado por 1 galón de gas. Se midió la
cantidad que entregada y la media muestral de la cantidad de gas
dispensado fue de 0.97 galones con una desviación estándar de 0.18
galones. ¿Con un nivel de significancia de 0.05, este dato apoya lo
que los vecinos claman?
Solución:
1) H0: El promedio del gas dispensado en cada pipa es de al menos
un galón.
Ha: El promedio del gas dispensado en cada pipa es menor a un
galón.
) m = el promedio de gas dispensado cuando se compra un galón.
3) La palabra clave es “menor”. Ya que el reportero está interesado
en saber si se dispensa menos cantidad de la que se paga, la
prueba es de una cola.
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Prueba de hipótesis :
Un reportero investiga la afirmación de unos vecinos de que los
vendedores de gas están entregando menos producto del que se
paga. Para poder probar esto, el reportero selecciona 46 pipas de gas
al azar en las que se había pagado por 1 galón de gas. Se midió la
cantidad que entregada y la media muestral de la cantidad de gas
dispensado fue de 0.97 galones con una desviación estándar de 0.18
galones. ¿Con un nivel de significancia de 0.05, este dato apoya lo
que los vecinos claman?
Solución:
4) H0 : m > 1
Ha : m < 1
5) a = 0.05
6)Como n > 30, podemos asumir que la distribución de la muestrax es
normal y usar la prueba z.
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Prueba de hipótesis :
Un reportero investiga la afirmación de unos vecinos de que los
vendedores de gas están entregando menos producto del que se
paga. Para poder probar esto, el reportero selecciona 46 pipas de gas
al azar en las que se había pagado por 1 galón de gas. Se midió la
cantidad que entregada y la media muestral de la cantidad de gas
dispensado fue de 0.97 galones con una desviación estándar de 0.18
galones. ¿Con un nivel de significancia de 0.05, este dato apoya lo
que los vecinos claman?
Solución:
7) z =
x - m0
s
n
=
0 .9 7 - 1
0 .1 8
46

- 0 .0 3
0 .1 8
 -1.13
6 .7 8 2 3 3 0
s es utilizado como un aproximado de s.
8) P -value = P  z < - 1.13 ) = 0.1292
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Prueba de hipótesis :
Un reportero investiga la afirmación de unos vecinos de que los
vendedores de gas están entregando menos producto del que se
paga. Para poder probar esto, el reportero selecciona 46 pipas de gas
al azar en las que se había pagado por 1 galón de gas. Se midió la
cantidad que entregada y la media muestral de la cantidad de gas
dispensado fue de 0.97 galones con una desviación estándar de 0.18
galones. ¿Con un nivel de significancia de 0.05, este dato apoya lo
que los vecinos claman?
Solución:
9) Como el valor p = 0.1292 > 0.05 = a, no se puede rechazar la
hipótesis nula.
10)No hay evidencia en un nivel de significancia de 0.05 de que el
promedio de gas dispensado sea menor a un galón.
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Valor p para el estadístico de prueba t :
• Ya que existe una distribución t diferente para cada cantidad de
grados de libertad (df), la tabla t se construye de forma diferente a
la z.
• La tabla t muestra los valores t para probabilidades frecuentemente
utilizadas en una cola, por lo que para algunos casos el valor del
estadístico de prueba t no estará en la tabla.
• Cuando esta situación se presente, podemos encontrar los valores t
más cercanos en la tabla con los grados de libertad apropiados que
rodean al estadístico de prueba y determinar un intervalo del valor
p.
• Los valores p exactos para el estadístico de prueba t puede ser
encontrado por una calculadora graficadora o por un software
estadístico.
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Valor p para el estadístico de prueba t :
La gráfica señala un estadístico
de prueba t de 2.236 para una
prueba de cola derecha con 15
grados de libertad. Determina
el valor p.
Solución:
El valor del estadístico de prueba, t = 2.236, se encuentra entre t0.025, 15 =
2.131 y t0.010, 15 = 2.602, por lo que P(t > 2.236) está entre 0.010 y 0.025.
En notación de intervalo, el valor p se encuentra en el intervalo (0.010,
0.025). Al usar una calculadora graficadora y un software estadístico, el
valor p calculado es de 0.0205.
grados de
libertad
t0.050
Area en una cola
t0.025
t0.100
t0.010
t0.005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
15
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
1) H0: Los cables tienen en promedio una resistencia no mayor a
4000 libras.
Ha: Los cables tienen en promedio una resistencia mayor a 4000
libras.
) m = la media de la resistencia de los cables.
3) La palabra clave es “mayor”. Ya que la compañía está interesada
en medir si los cables resisten más del valor especificado, la
prueba es de una cola.
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
4) H0 : m < 4000
Ha : m > 4000
5) a = 0.01
6)Como n < 30, usaremos la prueba t. Asumimos que la distribución
de la capacidad de resistencia de los cables es normal.
t =
x - m0
s
n
=
4014 - 4000
20
25
=
14
20
5
= 3.5
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Prueba de hipótesis :
Una compañía produce cables capaces de resistir una tensión de
4000 libras. Una muestra de 25 cables es seleccionada y su
capacidad de resistencia es de 4014 libras, con una desviación
estándar de 20 libras. Realiza una prueba de hipótesis para
determinar si hay evidencia suficiente al 0.01 de que los cables
cumplen con la calidad deseada.
Solución:
8) Usando la fila de la tabla t para df = 24,podemos determinar que el estadístico
de prueba, t = 3.5, es mayor que t0.005, 24 = 2.797, así que P(t > 3.5) es menor
que 0.005. En notación de intervalo, esto significa que el valor p está en el
intervalo (0, 0.005). Usando una calculadora graficadora o un software
estadístico, se encuentra que el valor p exacto es 0.0009.
9) Como el valor p = 0.0009 < 0.01 = a, se rechaza la hipótesis nula.
10) Hay evidencia significativa al 0.01 de que la media de resistencia de los cables
es mayor a 4000 libras, por lo que se cumplen los estándares de la empresa.
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Prueba de hipótesis :
Un alguacil afirma que la edad promedio de los prisioneros de su
condado no es la misma que la de los reos a nivel nacional. La media
nacional es de 33.7 años. El alguacil selecciona a 25 reos de su
condado al azar y encuentra que la edad promedio es de 31.3 años
con una desviación estándar de 8.8 años. Estos datos, con un nivel
de significancia de 0.1, ¿apoyan la afirmación del alguacil? Asume
que la distribución del a edad de los reos del condado es normal.
Solución:
1) H0: Los reos del condado tienen una edad promedio de 33.7
años.
Ha: Los reos del condado no tienen una edad promedio de 33.7
años.
) m = edad promedio de los reos del condado.
3) La palabra clave es “diferentes”. Ya que al alguacil le interesa
saber si los prisioneros de su condado tienen una edad promedio
distinta a la nacional, la prueba es de dos colas.
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Prueba de hipótesis :
Un alguacil afirma que la edad promedio de los prisioneros de su
condado no es la misma que la de los reos a nivel nacional. La media
nacional es de 33.7 años. El alguacil selecciona a 25 reos de su
condado al azar y encuentra que la edad promedio es de 31.3 años
con una desviación estándar de 8.8 años. Estos datos, con un nivel
de significancia de 0.1, ¿apoyan la afirmación del alguacil? Asume
que la distribución del a edad de los reos del condado es normal.
Solución:
4) H0 : m = 33.7
Ha : m ≠ 33.7
5) a = 0.10
6)Como n < 30, utilizaremos la prueba t. Como el mismo problema lo
indica, se asumira que la distribución de las edades de los reos es
normal.
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Prueba de hipótesis :
Un alguacil afirma que la edad promedio de los prisioneros de su
condado no es la misma que la de los reos a nivel nacional. La media
nacional es de 33.7 años. El alguacil selecciona a 25 reos de su
condado al azar y encuentra que la edad promedio es de 31.3 años
con una desviación estándar de 8.8 años. Estos datos, con un nivel
de significancia de 0.1, ¿apoyan la afirmación del alguacil? Asume
que la distribución del a edad de los reos del condado es normal.
Solución:
7) t =
x - m0
s
n
=
3 1 .3 - 3 3 .7
8 .8
25
=
- 2 .4
8 .8
 -1.364
5
8)El estadístico de prueba tiene una distribución t con
n - 1 = 24 grados de libertad. Ya que la prueba es de
dos colas el valor p es la probabilidad de obtener una
prueba t que sea o menor o igual a -1.364 o mayor
o igual a 1.364.
Como se muestra en la gráfica.
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Prueba de hipótesis :
Un alguacil afirma que la edad promedio de los prisioneros de su
condado no es la misma que la de los reos a nivel nacional. La media
nacional es de 33.7 años. El alguacil selecciona a 25 reos de su
condado al azar y encuentra que la edad promedio es de 31.3 años
con una desviación estándar de 8.8 años. Estos datos, con un nivel
de significancia de 0.1, ¿apoyan la afirmación del alguacil? Asume
que la distribución del a edad de los reos del condado es normal.
Solución:
8) Utilizando la fila de la tabla t para df = 24, podemos determinar el
valor absoluto del estadístico de prueba, |t| = 1.364, cae entre t0.100, 24
= 1.318 y t0.050, 24 = 1.711, así que el valor p, P(|t| > 1.364), está dentro
de 2(0.050) = 0.100 y 2(0.100) = 0.200. Multiplicamos el área en una
cola por dos ya que estamos haciendo una prueba de dos colas. En
notación de intervalo, el valor p está en el intervalo (0.100,
0.200).Usando una calculadora graficadora o un software estadístico,
el valor p exacto es 0.1852.
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Prueba de hipótesis :
Un alguacil afirma que la edad promedio de los prisioneros de su
condado no es la misma que la de los reos a nivel nacional. La media
nacional es de 33.7 años. El alguacil selecciona a 25 reos de su
condado al azar y encuentra que la edad promedio es de 31.3 años
con una desviación estándar de 8.8 años. Estos datos, con un nivel
de significancia de 0.1, ¿apoyan la afirmación del alguacil? Asume
que la distribución del a edad de los reos del condado es normal.
Solución:
9) El valor p está en el intervalo (0.100, 0.200), lo que significa que el
valor p > 0.100 y valor p < 0.200. Entonces, valor p > a = 0.10, así
que no se puede rechazar la hipótesis nula.
10) Con un nivel de significancia de 0.10, los datos no apoyan la
afirmación del alguacil de que sus reos tengan una edad promedio
distinta al a nacional.
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