Ecuaciones
Compendio por Eugenio Skerrett
Ecuación
Igualdad que incluye desconocidas
Ecuación algebraica: aquella que iguala
expresiones algebraicas
Solución
Es el valor(es) que satisface(n) la igualdad. Es
decir, es el valor(es) que al sustituir por la(s)
variable(s) de la ecuación, se verifica la
igualdad:
suponga que x – 7 = – 4 y que 3 es la solución;
entonces, x = 3 y podemos sustituir:
(3) – 7 = – 4
–4=–4
Resolución
Es el procedimiento o pasos con los cuales
hallamos la solución.
Ecuaciones equivalentes: son aquellas que
tienen la misma solución
Ecuación trivial: aquella que muestra
directamente la solución
Ecuación lineal en una variable
Es aquella que tiene una sola desconocida que
está a la primera potencia. Su forma general es:
ax + b = c, donde a, b y c son
números Reales, a ≠ 0
Se puede decir que es la igualdad que incluye
polinomios de primer grado, en una variable.
Ejemplos:
x–7=–4
2x + 5 = 3
3x – 4 = 7x + 2
Resolución de ecuaciones lineales
en una variable
El objetivo es dejar sola la variable. Para
esto:
1. Se suma el opuesto del término
constante
2. Se multiplica por el recíproco del
coeficiente del término variable
Todo esto tiene que realizarse en ambos
lados de la ecuación.
Una situación
Una columna se diseña para que mida 9 pies.
Se formará con dos secciones. La sección A
mide 5 pies menos que la B. Halla la medida
de cada sección.
Podemos formar una ecuación:
x+x–5=9
2x – 5 = 9
x
B
9’
x–5
A
Una situación
2x – 5 = 9
5 5
2x = 14
2 2
Ecuaciones equivalentes
Ecuación trivial
x=7
La B mide 7 pies y la A, 2.
Repaso
11x – 3(5x – 7) = 1 + 3(2x)
11x – 15x + 21 = 1 + 6x
– 4x + 21 = 1 + 6x
21 = 1 + 6x + 4x
21 = 1 + 10x
21 – 1 = 10x
20 = 10x
20 = x
10
2=x
Ecuación cuadrática binomial
Es aquella que tiene una sola desconocida que
está a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. La
forma general de las que son binomiales, es:
ax2 + c = 0, donde a y c son
números Reales
Nota: esta forma al igual que otra que dejaremos fuera de esta discusión, son
derivados de la forma general de ecuaciones cuadráticas: ax2 + bx + c = 0,
donde a, b y c son números reales diferentes de cero.
Ejemplos:
x2 + 3 = 0
2x2 – 6 = 0
3x2 – 4 = 7x2 + 2
Resolución de ecuaciones
cuadráticas binomiales
El objetivo es el mismo. Sin embargo, por su
naturaleza cuadrática estas ecuaciones
tienen dos soluciones. Los pasos son iguales
a excepción de que hay que realizar un paso
adicional en el que se calculan raíces
cuadradas.
(para revisar el concepto de raiz
cuadrada marca el siguiente enlace: rcd)
Ejemplo
2x2 – 8 = 0
8 8
2 x2 = 8
2
2
2 = +– 4
x
√
√
x = +– 2
Resumen
Las ecuaciones son uno de los temas más
importantes del Álgebra. Se utilizan desde
los albores de las civilizaciones. Las que
revisamos aquí, son las más sencillas,
pero simultáneamente, muy útiles.
Raiz cuadrada
Es la operación opuesta a elevar al
cuadrado (a la segunda potencia)
– La definición de exponente implica la
multiplicación repetida:
2(2) = 22 = 4; recordar que también,
(– 2)(– 2) = – 22 = 4
Tanto – 2 como 2 al cuadrarse tienen al 4 como
resultado. Por lo tanto, 4 tiene dos raices
cuadradas, 2 y – 2. (continúa en la próxima
diapositiva)
Raiz cuadrada
En general, esto se expresa así:
√ a2 =+– a
Ejemplo:
√16 = +– 4
Regularmente se desestima la raiz negativa
y se utiliza la positiva a la que se le dice raiz
principal. (para volver al tema marca el siguiente enlace: rcd)
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Razones y proporciones