10/7/2015
RAICES MULTIPLES
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MODIFICACION METODO DE NEWTON
,  si y solo si   =   ′ () ≠ 
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En la explicación del método de Newton Raphson fue muy
importante la restricción ′ () ≠  donde  es la solución
de   = 0. En general tanto el método de Newton como el
de la secante presentan dificultades si  ′  = 0
cuando   = 0.
Definición
Una solución     =  es un cero de multiplicidad
m de f si para todo  ≠  ∶
  =  −     donde →   ≠ 
En esencia   representa la porción de f que no
contribuye al cero de ésta.
Teorema
La función  ∈  ,  tiene un cero simple en  en
→
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Demostración
Si           =  
  =  −      →   ≠ . Dado que  ∈
 ,  resulta:
′  = lim ′  = lim   +  −  ′ 
→
= lim   ≠ 
→
Recíprocamente si   =   ′  = 
       :
  =   + ′    −  = ′    − 
Donde   ∈ ,   dado que  ∈  ,  resulta:
lim  ′  
→
= ′ (lim   ) = ′  ≠ 
→
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Definiendo
 = ′ ∘  tenemos:
  = −  
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Donde: lim   ≠ 
→
Por lo tanto  tiene un cero simple en .
Teorema
La función  ∈  ,  tiene un cero de multiplicidad
   ∈ ,  si y solo si:
 =   = ′  = ′′  = ⋯ = 
−

 
La demostración queda a cargo del lector

 ≠
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Ejemplo:
Sea   =   −  − 1
a) Muestre que f tiene un cero doble en x=0
b) Muestre que el método de Newton con 0 = 1 converge a 0
pero no cuadráticamente
Para el ítem b) tome como datos:
 0
−2
1 = 0 − ′
=1−
≅ 0.58198
 0
−1
 1
2 = 1 − ′
= 0.58198
 1
0.20760
−
≅ 0.31906
0.78957
Y la tabla:
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La gráfica de la función dada es:
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Modificación del método de Newton para raíces
múltiples
Definimos la función:   =
 
′ 
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Si          
Entonces:
  = −


 −   
  =
  −  −1   +  − 
 ′
 
= −
  +  −   ′ 
Observemos que:
1)      
 
2)        pues:
′
  + −  

=
=
1

≠0
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Ahora aplicamos el método de Newton a esta nueva función
 y obtenemos:
 
  =− ′
=
 
 
′ 
=−
 ′  2 −    ′′ 
Simplificando obtenemos:
/ ′ 
2
Si g tiene las condiciones necesarias de continuidad, la
iteración funcional aplicada a la función  será
cuadráticamente convergente sin importar la
multiplicidad de la raíz de f.
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Volviendo al ejemplo anterior   =   −  − 1
Usando la modificación del método de Newton obtenemos:
 0  ′ 0
1 = 0 − ′
=
2
′′
 0 −  0  0
−2 −1
−1
=1−
≅
−2.3421.10
−1 2− −2 
Compare la convergencia con la tabla anterior.
FIN
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