MÉTODO DE
NEWTON-RAPHSON
Newton-Raphson
Si el valor inicial
de la raíz es Xi,
se puede
extender una
tangente desde
[Xi, f(Xi)].
Interpretación Geométrica
La primera derivada de X es equivalente a la
pendiente.
xi
 1
 xi 
f ( xi)
f ' ( xi)
Primer Ejemplo
Calcular la raíz de
f ( x)  e
x
 x ,Con Xo = 0.
Primera derivada
f ' ( x)  e
x
1
Sustituyendo
 xi
xi
 1
 xi 
e
e
 xi
 xi
1
I
Xi
Et(%)
0
0
100
1
0.500000000
11.8
2
0.566311003
0.147
3
0.567143165
0.0000220
4
0.567143290
<1X10-8
Segundo Ejemplo

Calcular la Raíz
positiva de
f ( x)  x
10
1
Con Xo= 0.5
Función por evaluar :
xi
 1
 xi 
xi
10
1
10 x i
9
Iteración
0
1
2
3
4
5
.
.
.
∞
X
0.5
51.65
46.485
41.8365
37.65285
33.887565
.
.
.
1.000000
Ejemplo 3
Comenzando con
Comenzamos con
y hasta que
y obtenemos:
.
En este caso, el error aproximado es:
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Aprox. a la raíz
Error aprox.
1
1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
Ejemplo 4
Comenzando con
Comenzamos con
y hasta que
y obtenemos:
.
En este caso, el error aproximado es:
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Aprox. a la raíz
Error aprox.
0
0.5
100%
0.5201957728
3.88%
0.5202689918
0.01%
Ejemplo 5
Comenzando con
y
hasta que
.
Comenzamos con
Aprox. a la raíz
y obtenemos:
Error aprox.
5
5.1
1.96%
5.099019608
0.019%
5.099019514
0.0000018%
Convergencia Deficiente del método
NEWTON- RAPHSON
PASOS QUE SE DEBEN SEGUIR PARA IMPLEMENTAR UN
PROGRAMA QUE EJECUTE EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Se debe incluir una rutina gráfica del programa
Al final de los cálculos, se deberá siempre sustituir la raíz final
calculada en la función original, para determinar si el resultado es
cercano a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa
contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta
u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de Ea,
mientras que la solución aun está muy lejos de una raíz.
El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del
número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones
oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían
persistir en forma interminable.
El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la
posibilidad de que f´(x) sea igual a cero en cualquier momento
durante el cálculo
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METODO DE NEWTON