Valor efectivo de una onda
sinusoidal
Introducción
La CA de la red domiciliaria es de 220V, y se conoce
como el “valor eficaz” de dicha tensión.
El valor eficaz o efectivo de una señal es una magnitud
que representa la “efectividad” de una tensión (corriente)
alterna para entregar la misma potencia a un resistor de
carga que la que entrega una tensión (corriente)
equivalente de corriente continua.
Ief
i
Vf
RL
Vef
RL
Determinación del valor eficaz
La potencia promedio entregada a un resistor R
(eligiendo “T” como periodo de integración) será:
P 
1
T
T
 i R dt 
R
2
0
T
T
 i dt
2
0
Por otro lado, la potencia entregada por una corriente
continua, de valor Ief , viene dada por:
P  I ef R
2
Teniendo en cuenta que Ief es la corriente continua que
tiene la misma “efectividad” que la corriente “i” sobre el
resistor R, resulta: T
T
I
2
ef

1
T
 i dt
2
0

I ef 
1
T
 i dt
2
0
Determinación del valor eficaz
Analizando la expresión anterior, puede notarse que Ief
representa la raíz cuadrada del valor medio cuadrático,
razón por la cual se la suele denominar comúnmente
también “corriente raíz cuadrática media”, Ircm.
Para determinar el valor eficaz de una corriente que varía
sinusoidalmente en la forma i=Im cos t, se tiene:
I rcm  I ef 
1
T
T
I
2
m
cos  t dt  I m
2
0
I rcm  I ef 
Im
2
1
T
T
1
 2 (1  cos
0
2 t ) dt
Determinación del valor eficaz
En general, el voltaje eficaz se determina de la misma
forma, es decir:
T
1
V rcm  V ef 
T
 v dt
2
0
Ejemplo: Determinar el valor eficaz del voltaje “diente de
sierra” del ejemplo anterior.
Como: v ( t ) 
Vm
V rcm 
(t  T )
T
1
T
T
2
Vm
T
2
(  t  T ) dt
2
0
Por lo tanto:
V rcm 
Vm
1
T
T
T
 (  t  T ) dt 
2
0
Vm
1
T
T
T
 ( t  2T t  T ) dt
2
0
2
V rcm 
Vm
3
Definición
La potencia promedio absorbida por una impedancia es:
P 
Vm I m
cos 
2
Recordando que:
V rcm  V ef 
se tendrá:
Vm
2
;
I rcm  I ef 
Im
2
P  V ef I ef cos   V I cos 
donde:
V I  V ef I ef : Potencia
aparente [V A]
Factor de potencia
Definición
El factor de potencia se define como:
fp 
P
 cos 
V I
Sea una línea de distribución domiciliaria representada por:
Línea de Transmisión
Empresa
Distribución
Energía
iF
ZC
VF
V  Im ZC θ
La carga puede representarse como:
ZC  R  j X
;
tan   X
R
Carga o
consumo
Definición
Un ejemplo para el caso de un motor sería:
En este caso se tiene que:
fp  0 , 81
Puede notarse que un
motor representa una
carga inductiva.
INQUIETUD: ¿Cuál es la
potencia reactiva y
aparente de este motor? ¿y
la resistencia e inductancia
del bobinado?
Definición
Cuando un usuario conecta una carga a la red domiciliaria, la
potencia promedio consumida en dicha carga (por la que
tendrá que pagar el abono correspondiente) viene dada por :
P  V I cos 
Por ejemplo, si   60 º  P  0 , 5 V I , la empresa
distribuidora debe producir la corriente I, por lo que la
pérdida de potencia en una línea de resistencia R será:
Plínea  I
2
R
Ejemplo
Supóngase que se conecta a la red domiciliaria una estufa de
cuarzo, cuya potencia media de operación es de 1000w, en
una casa cuyo factor de potencia fuese 0,5 ( = 60º). Entonces:
•
La corriente necesaria (provista por la compañía eléctrica)
será:
a)
•
I 
P
V cos 

1000 [ w ]
220 [ V ]
 9 ,1 [ A ]
cos 60 º
En cambio, si el factor de potencia fuese “1” (fp=1=0º)
b)
I 
P
V cos 

1000 [ w ]
220 [ V ]
cos 0 º
 4 , 54 [ A ]
Ejemplo
Considerando que la resistencia de la línea fuese R=10, las
pérdidas de potencia producidas en la línea serán (en ambos
casos):
a)
I a R  ( 9 ,1 [ A ]) 10 [  ]  828 [ w ]
b)
I b R  ( 4 , 54 [ A ]) 10 [  ]  206 [ w ]
2
2
2
2
Para disminuir las pérdidas en la línea, a la empresa de
distribución eléctrica le interesa que el consumidor
mantenga su factor de potencia lo más cercano
posible a “1” (fp  1).
Cuando esto no se cumple, debe ser corregido.
Corrección del factor de potencia
Para corregir el factor de potencia, se puede colocar una
impedancia en paralelo con la carga, tal como se muestra a
continuación:
Línea de Transmisión
Generador
de Energía
iF
VF
Terminales
del
consumidor
I
Carga
ZC
Impedancia
de
ZP
corrección
La impedancia vista desde los terminales del consumidor será:
ZC ZP
Z 
ZC  ZP
Corrección del factor de potencia
Para que la impedancia de corrección no consuma potencia
promedio, se utiliza una impedancia reactiva, es decir:
ZP  j X P
La impedancia resultante será:
Z  R  j X  Z 
con un factor de potencia corregido, fpC, definido por:
fp C  cos  C  cos (tan
1
X
R
)
Corrección del factor de potencia
Por lo general, un
valor aceptable de
factor de potencia
debe cumplir:
jC
G

C
0 ,9  fp  1, 0
C
-jB
 C  G tan   G tan  C
 C  G (tan   tan  C )
donde
• cos  : factor de potencia sin corrección;
• cos C : factor de potencia corregido.
Transformadores
El Transformador
Como:
N   Li
vL  L
di
 N
dt
dt
La dirección del flujo magnético puede determinarse
aplicando la “regla de la mano derecha”.
A
+
+~
V1
N1
N2
-
V2
+

d
El Transformador
Como el flujo  (producido por el voltaje V1, aplicado al
devanado primario N1) está confinado al núcleo, de sección A,
y será el mismo que atraviesa el devanado N2, sobre la salida
del trafo se inducirá un voltaje V2, el que puede determinarse
como:
V2  N 2
d
dt
Para determinar la polaridad de un trafo (la que estará relacionada con el sentido de arrollamiento entre ambos devanados)
se usa la notación de un “punto”, para establecer que los
terminales indicados tienen la misma polaridad en el mismo
instante.
Expresiones características
M
+
+
V1
I2
I1
-
V2
-
Por lo general, el empleo de trafos está limitado a aplicaciones
de CA, ya que los devanados primario y secundario se
comportan como cortocircuitos para CC.
Cuando se conecta una carga al devanado secundario, el
voltaje sobre el devanado primario será:
V1  L1
di 1
dt
M
di 2
dt
Expresiones características
Por otra parte, el voltaje inducido en el devanado secundario
podrá expresarse como:
V2  L2
di 2
dt
M
di 1
dt
Así, la inductancia mutua puede interpretarse como el
efecto de inducir un voltaje en una bobina debido a
la corriente que circula por la otra.
En estado estable, un trafo puede representarse fasorialmente
como:
V1  j  L1 I 1  j  M I 2
V2  j  L2 I 2  j  M I1
Expresiones características
Para que W  0, se debe verificar que:
L1 L 2  M
En consecuencia, el máximo valor de M será
L1 L 2 .
Definiendo el “factor de acoplamiento”, k, como:
k 
M
L1 L 2
0  k 1
Puede notarse que cuando k=0 implicará que no existirá
acoplamiento. Por el contrario, cuando k=1 existirá un
acoplamiento total entre el primario y el secundario del trafo.
Transformador Ideal
Es un modelo de transformador con coeficiente
de acoplamiento igual a la unidad (k=1). Tiene
que tener las reactancias primarias y
secundarias muy grandes en comparación con
las impedancias que se conectan a los
terminales del trafo.
En general, los trafos convencionales se pueden aproximar a
un trafo ideal en un rango de frecuencias. Algo parecido
ocurre en transformadores con núcleo de hierro.
En un trafo ideal se debe cumplir que:
L2
L1
2

N2
N
2
1
n
2
n
N2
N1
Transformador Ideal
A la magnitud “n” se la conoce como “relación de vueltas” o
“relación de transformación”.
Así, las dos ecuaciones que caracteriza a un trafo ideal son:
V 2  n V1
I1  n I 2
El símbolo de un transformador ideal es el siguiente:
1: n
+
+
Un tranfo
I2
I1
V2
ideal no tiene
V1
pérdidas
ideal (k=1)
Transformador Ideal
Conectando una impedancia de carga a un trafo ideal, resulta
el siguiente circuito:
Zf
Vf
I1
I2
1:n
+
+
V2
V1
ideal
-
La impedancia vista en el primario del trafo será:
Z1 
V1
I1
Z2
-
e) Transformadores
Transformador Ideal
R2
100ohm
T1
.
V1
.
1V 1000Hz 0Deg
R1
1kohm
C1
0.1uF
NLT_VIRTUAL
XSC1
G
A
B
T
e) Transformadores
Transformador Ideal
Teniendo en cuenta que:
V1 
V2
n
;
I1  n I 2
Como I 2 se consideró saliendo del terminal marcado con el
punto, resulta que V2  I 2 Z 2
En consecuencia:
V2
1 V2
n
Z1 
 2
n I2
n I2

Z1 
1
n
2
Z2
Por lo tanto, la impedancia de entrada vista desde la fuente Vf
será:
Se puede ajustar
1
Z ent  Z f  Z 1  Z f  2 Z 2
Zent con “n”
n
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