DERIVADA DE UNA
FUNCION REAL
Prof.: Cecilia Contreras
INTERPRETACIÓN GEOMETICA
DE LA DERIVADA
Sea f(x) función y L recta secante.
Sean P = ( x , f(x) ) y Q = (x +h, f(x +h)),
dos
puntos
que
pertenecen
simultáneamente a la
recta y a la
función.
GRAFICO
La razón
representa a
la pendiente de la recta secante que pasa
por P y Q.
A medida que h tiende a cero, el
punto Q se aproxima cada vez más a P,
por lo tanto la recta secante está más
próximo a ser recta tangente.
GRAFICO
Entonces cuando h 0 la pendiente de
la recta secante se transforma en pendiente
de la recta tangente en el punto P.
Luego la pendiente de la recta tangente
viene dada por:
mt =
DEFINICIÓN
El
límite utilizado para definir la
pendiente de la tangente se usa también para
definir una de las operaciones fundamentales
del cálculo LA DERIVADA. Siempre que el
limite exista.
NOTACIÓN
Otras notaciones comunes para la
derivada de la función f(x) son:
EJERCICIO
Encuentre:
1. La derivada de f(x) = x3 + 2x
2. La pendiente de la recta tangente a la curva
en el punto P = (1, 3)
3. La ecuación de la recta tangente a la curva
en P
REGLAS DE DERIVACIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN
EJERCICIO
Derive la siguiente función:
REGLA DE LA CADENA
Se refiere a la derivada de funciones
compuestas.
Dada la función fog = f(g(x)), se
debe derivar f y g, por lo tanto esta regla
nos permite derivar la función compuesta.
TEOREMA
Si y = f(u) es una función derivable
de u y u =g(x) una función derivable de x,
entonces y = f(g(x)) es una función
derivable de x, esto es:
EJEMPLO
Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función
compuesta viene dada por y = f(g(x)),
La derivada de y con respecto a u viene dada
por:
dy
2
=
12
u
du
La derivada de u con respecto a x viene dada
por:
du = 10 x
dx
EJEMPLO
Por lo tanto, la derivada de la
función y con respecto a la variable x
viene dada por:
dy 12 u 2 10 x
dx
y como u = 5x2 + 4, entonces finalmente la
derivada viene dada por
dy  12 (5 x 2  4 ) 2 10 x
dx
REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA
CON REGLA DE LA CADENA
Si n es cualquier número real, f(x)
y g(x) funciones, entonces:
EJERCICIO
Derive la siguiente función
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Sea y = f(x) una función, si su
derivada existe, se denota por f’(x). Si
f’(x) es una función entonce la derivada
existe y se denota por f’’(x), la cual se
llama segunda derivada.
En general la n- ésima derivada de
una función viene dada por fn(x).
EJEMPLO
Encuentre la tercera derivada de
DERIVADAS DE FUNCIONES
TRASCENDENTES
1. FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
f(x) = Ln (g(x))
1
g
'
(
x
)

f’(x) =
g ( x)
2. FUNCIÓN LOGARITMO DECIMAL
f(x) = Loga(g(x))
g '( x)
f’(x) = g ( x ) Ln ( a )
DERIVADAS DE FUNCIONES
TRASCENDENTES
3. FUNCION EXPONENCIAL
3.1. f(x) = eg(x)
f’(x) = g’(x) eg(x)
3.2.
F(x) = bg(x)
f’(x) = g’(x) bg(x) Ln(b)
APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
F. CRECIENTE Y DECRECIENTE
En que intervalos la función crece y/o decrece.
FUNCIÓN CRECIENTE
Una función f definida en algún
intervalo se dice que es creciente en dicho
intervalo si solo si:
f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2
FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función f definida en algún
intervalo se dice que es decreciente en
dicho intervalo si solo si:
f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2
TEOREMA
Sea f una función continua en [a,b] y
derivable en un intervalo (a,b) se tiene que:
MAXIMOS Y MINIMOS
RELATIVOS
VALOR MAXIMO RELATIVO
Se dice que f tiene
un máximo relativo en un
punto c si pertenece al
intervalo (a, b) tal que:
VALOR MINIMO RELATIVO
Se dice que f tiene
un mínimo relativo en un
punto c, si c pertenece al
intervalo (a, b) tal que:
PUNTO CRITICO
Si la función f está definida en
un punto c, se dirá que c es un
número critico de la función f si
f’(c) = 0 o si f’ no está definida en c.
OBSERVACIÓN
Si una función tiene un valor
máximo relativo o un valor mínimo
relativo en c, se dice entonces que la
función tiene un extremo relativo en
c
TEOREMA
Los extremos relativos solo
ocurren en los puntos críticos.
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA
Procedimiento para elaborar la gráfica de una
función utilizando el criterio de la primera derivada
1.
Calcular la primera derivada para encontrar los
puntos críticos.
2.
Marcar los puntos críticos en una recta
numérica, quedando dividida en intervalos. Luego
evaluar la derivada para valores mayores y menores
que los puntos críticos , para determinar el signo de
ella.
Utilizar el teorema para determinar los intervalos
de crecimiento y decrecimiento.
4. Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0,
entonces:
4.1.
Si f’(x) cambia de positiva a negativa en
c, f(c) es un max relativo de f.
4.2
Si f’(x) cambia de negativa a positiva en
c, f(c) es un min relativo de f.
4.3.
Si f’(x) no cambia de signo en c, f(c) no
es ni un mínimo ni un máximo relativo.
5. Para cada punto crítico c encontrar f ( c).
3.
EJEMPLO
Determine los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la
siguiente función
f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
SOLUCION
1. Dada la función encontramos la primera derivada.
f’(x) = 6x2 + 6x –12
2.
Igualamos f’(x) a cero, esto es: f’(x) = 0
3.
Encontramos los puntos críticos, resolviendo la
ecuación resultante.
6x2 + 6x –12 =0
6(x + 2)(x – 1) = 0
x=-2yx=1
SOLUCION
4.
Ubicar los puntos críticos en una recta
numérica como la siguiente:
SOLUCION
5.
En la última fila se puede obtener los
intervalos de crecimiento y decrecimiento,
esto es:
Intervalos de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
SOLUCION
6.
7.
De acuerdo a la tabla del punto 4, se
concluye que hay un máximo relativo en x
= 2 y un mínimo relativo en x =1.
Las coordenadas de los puntos críticos,
reemplazandolos en f(x), son:
f(2) = 13 y f (1) = -14
CONCAVIDAD Y PUNTO DE
INFLEXION
CONCAVIDAD
Sea f definida en un
intervalo:
1.
f es cóncava
hacia arriba si la
gráfica se dobla hacia
arriba
2.
f es cóncava
hacia abajo si la
gráfica se dobla hacia
abajo
CONCAVA HACIA ARRIBA
Sea f derivable en
un número c, se dice
que la grafica de f es
cóncava hacia arriba
en el punto P = (c, f (
c) )
si existe un
intervalo abierto (a, b)
que contenga a c, tal
que en (a, b) la grafica
de f esté arriba de la
recta tangente en P.
CONCAVA HACIA ABAJO
Sea f derivable en
un número c, se dice que
la grafica de f es
cóncava hacia abajo en
el punto P = (c, f ( c) )
si existe un intervalo
abierto (a, b) que
contenga a c, tal que
en (a, b) la grafica de f
esté bajo la recta
tangente en P.
TEOREMA
Sea f una función derivable en (a, b) con
c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f”(x)
existe, entonces:
1.
Si f”(x) > 0 , entonces la grafica de f es
cóncava hacia arriba.
2.
Si f”(x) < 0, entonces la grafica de f es
cóncava hacia abajo.
PUNTO DE INFLEXION
Sea f una función cuya recta
tangente en (c, f (c)). Se dice que el
punto (c, f (c)) es un punto de
inflexión si la concavidad cambia de
ser hacia arriba a ser hacia abajo (o
viceversa) en ese punto
CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA
Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0 y
f” existe, entonces:
1. Si f”(c) > 0, f tiene un mínimo local
2. Si f”(c) < 0, f tiene un máximo local
3. Si f”(c) = 0 entonces esta prueba no es
concluyente. Usar el criterio de la
primera derivada.
EJEMPLO
En la siguiente función, encuentre los
extremos locales utilizando el criterio de la
segunda derivada Dada la función
f(x) = 4x3 + 7x2 – 10x+8
DERIVADA DE UNA
FUNCION REAL
Descargar

LIMITES