NIVEL DE COBERTURA DE UN
INTERVALO DE CONFIANZA
(SIMULACIÓN)
SIMULACIÓN Y MÉTODOS DE MONTE CARLO: APLICACIONES
3. Aproximación por Monte Carlo del error de recubrimiento de un
intervalo de confianza.
X / F desconocida ( con  conocida )
¿   EX ?
2
P
X
(m Î
U1)
m.a.s. natural
æ
æ
s
ç
ç
= P çç m Î çç X m
z
çè
n 1èç
b
tb
2
 conocida
X / F conocida ( escenario controlado )
x   x1 ,..., x n 
a
öö
÷÷
÷÷
; 1- a
÷÷
÷÷
÷÷
øø
u 1b ; lon g u 1b
, b  1,..., B
B m.a.s. artificiales
1
ìï si m Î u b ® 1
1
ï
b = 1, ..., B ® í
ï si m Ï u b ® 0
ïî
1
B
1
B
B
å
· MC
1, 0 ... = co b . d e U 1
b= 1
B
å
b= 1
lo n g
u ib
MC
·
= E ( lo n gU 1 )
Notemos que
1
B
B
å
b= 1
C .S .
Ib
( mÎ U 1 )
1
B
¾ ¾ ¾ ¾
® E
B® ¥
( I ( mÎ U ) ) =
1
P
(m
Î U 1 ),
B
å
C .S .
lo n g U 1b ¾ ¾ ¾ ¾® E ( lo n g U 1 ) ,
B® ¥
b= 1
por lo que las estimaciones anteriores son fuertemente consistentes.
Llamaremos error de recubrimiento a la diferencia entre la cobertura
nominal y la real en valor absoluto.
·
e 1 = co b . R E A L - co b . N O M I N A L = co b .
MC
de U 1 -
(1 -
a
)
Tabla. Resultado de un estudio de simulación que calcula el error de recubrimiento y
la longitud (debajo, entre paréntesis) del intervalo de confianza de nivel aproximado
0,95 (obtenido a partir de U 1 ), estimando por Monte Carlo dicho error y longitud con
B=10.000 en diferentes escenarios controlados.
Normal (5,1)
Exponencial (1/5) Chicuadrado (5)
U1
U1
U1
n = 10
0,006
(1,24)
0,0048
(6,20)
0,0030
(3,92)
n = 50
0,002
(0,55)
0,0012
(2,77)
0,0021
(1,75)
n = 100
0,000
(0,39)
0,0009
(1,96)
0,0030
(1,24)
Nota.
• En el contexto normal este intervalo es exacto (nivel 0,95). En los
restantes contextos son aproximados (T.C.L.).
#ESTIMACIÓN POR MC DEL ERROR DE COBERTURA DEL INTERVALO DE CONFIANZA TCL
#PARA LA MEDIA Y SU LONGITUD MEDIA. CASO NORMAL (LM).
###################################################
alpha<-0.05
n<-10
mu<-5
sigma<-1
B=10000
cobertura=numeric(B)
longitudMC=numeric(B)
longitudEXACTA<- 2*sigma*zalpha/sqrt(n)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
for (i in 1:B)
{
muestra<-rnorm(n,mu,sigma)
liminf=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitudMC[i]=limsup-liminf
if ((liminf<=mu)&(mu<=limsup))
cobertura[i]=1
}
cobertura=mean(cobertura)
errorcobertura=abs(cobertura-(1-alpha))
longitudMC=mean(longitudMC)
longitudEXACTA<-2*sigma*zalpha/sqrt(n)
print(list("cobertura"=cobertura,"longitudMC"=longitudMC,"errorcobertura"=errorcobertura,"longitudEXACTA"=longitudEXAC
TA))
#error aquí debe ser próximo a 0 (intervalo exacto)
#ESTIMACIÓN POR MC DEL ERROR DE COBERTURA DEL INTERVALO DE CONFIANZA TCL
#PARA LA MEDIA Y SU LONGITUD MEDIA. CASO EXPONENCIAL.
####################################################
alpha<-0.05
n<-10
mu<-4
sigma<-mu #sigma=mu (en este caso)
B=10000
cobertura=numeric(B)
longitud=numeric(B)
longitudEXACTA<-2*sigma*zalpha/sqrt(n)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
for (i in 1:B)
{
muestra<-rexp(n,(1/mu))
liminf=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitud[i]=limsup-liminf
if ((liminf<=mu)&(mu<=limsup))
cobertura[i]=1
}
cobertura=mean(cobertura)
longitudMC=mean(longitud)
errorcobertura=abs(cobertura-(1-alpha))
print(list("cobertura"=cobertura,"longitudMC"=longitudMC,"errorcobertura"=errorcobertura,"longitudEXACTA"=longitudEXACTA
))
#error aquí de orden (n^-1/2, TCL)
#ESTIMACIÓN POR MC DEL ERROR DE COBERTURA DEL INTERVALO DE CONFIANZA TCL
#PARA LA MEDIA Y SU LONGITUD MEDIA. CASO CHICUADRADO.
######################################################
alpha<-0.05
n<-10
mu<-4
sigma<-sqrt(2*mu)
B=10000
cobertura=numeric(B)
longitud=numeric(B)
longitudEXACTA<-2*sigma*zalpha/sqrt(n)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
for (i in 1:B)
{
muestra<-rchisq(n,mu)
liminf=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitud=limsup-liminf
if ((liminf<=mu)&(mu<=limsup))
cobertura[i]=1
}
cobertura=mean(cobertura)
longitudMC=mean(longitud)
errorcobertura=abs(cobertura-(1-alpha))
print(list("cobertura"=cobertura,"longitudMC"=longitudMC,"errorcobertura"=errorcobertura,"longitudEXACTA"=longitudEXACTA))
#error aquí de orden (n^-1/2, TCL)
SIMULACIÓN Y MÉTODOS DE MONTE CARLO: APLICACIONES
4. Comparación por Monte Carlo de dos intervalos de confianza.
X / F desconocida ( con  conocida )
¿   EX ?
æ
æ
öö
s
÷÷
ç
ç
P ( m Î U 1 ) = P çç m Î çç X m
z a ÷÷
; 1- a
÷÷
÷÷
÷÷
çè
n 1 - 2 øø
èç
X
æ
æ
m.a.s. natural
s
s
ç
ç
ç
ç
P (m Î U 2 ) = P çm Î çX z a, X z 2a
1
çè
n
n 3
èç
3
2
¿?
 conocida
X / F conocida ( escenario controlado )
x   x1 ,..., x n 
b
tb
u 1b ; lon g u 1b
, b  1,..., B
u 2b ; lo n g u 2b
B m.a.s. artificiales
1
ìï si m Î u b ® 1
i
ï
b = 1, ..., B ® í
ï si m Ï u b ® 0
ïî
i
öö
÷÷
÷÷
; 1- a
÷÷
÷÷
÷÷
øø
B
1
B
B
å
· MC
1, 0 ... = co b . d e U i
b= 1
B
å
b= 1
lo n g
u ib
·
= E ( lo n gU i
(i
= 1, 2 )
MC
)
·
Notemos que
1
B
B
å
C .S .
Ib
¾ ¾ ¾ ¾® E
( mÎ U i )
b= 1
1
B
B® ¥
( I mÎ U ) =
i
P
(m Î
U i ) , i = 1, 2
B
å
C .S .
lo n g U ib ¾ ¾ ¾ ¾® E ( lo n g U i ) , i = 1, 2
B® ¥
b= 1
por lo que las estimaciones anteriores son fuertemente consistentes.
·
Elegiríamos el intervalo con menor error de recubrimiento e i , probando
con diferentes escenarios controlados.
·
e i = co b . R E A L - co b . N O M I N A L = co b .
MC
de U i -
(1 -
A igualdad de cobertura elegiríamos el intervalo de menor longitud.
a
)
Tabla. Resultado de un estudio de simulación que compara errores de recubrimiento
y longitudes (debajo, entre paréntesis) de dos intervalos de confianza de nivel
aproximado 0,95 (obtenidos a partir de U 1 y U 2 ), estimando por Monte Carlo dichos
errores y longitudes con B=10.000 en diferentes escenarios controlados.
Normal (5,1)
U1
U2
Exponencial (1/5) Chicuadrado (5)
U1
U2
U1
U2
n = 10
0,0000 0,0003
(1,24) (1,25)
0,0048 0,0070
(6,20) (6,26)
0,0030 0,0047
(3,92) (3,96)
n = 50
0,0003 0,0027
(0,55) (0,56)
0,0012 0,0041
(2,77) (2,80)
0,0021 0,0033
(1,75) (1,77)
n = 100
0,0015 0,0019
(0,392) (0,396)
0,0009 0,0022
(1,96) (1,98)
0,0030 0,0037
(1,24) (1,25)
Nota.
• En el contexto normal estos intervalos son exactos (nivel 0,95). En los
restantes contextos son aproximados (T.C.L.). Se observa que los intervalos
obtenidos a partir de U 1 (de longitud mínima en contexto normal) tienen
siempre menor longitud que los obtenidos a partir deU 2 .
• Una aproximación alternativa será el bootstrap.
#Comparación por MC de dos intervalos de confianza para mu, con sigma conocida,
#de igual nivel, el LM y otro cambiando extremos. CASO NORMAL.
#################################################################
alpha<-0.05
n<-100
mu<-5
sigma<-1
B=10000
cobertura1=numeric(B)
cobertura2=numeric(B)
longitud1=numeric(B)
longitud2=numeric(B)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
zalpha1<-qnorm(1-(alpha/3))
zalpha2<-qnorm((2*alpha)/3)
for (i in 1:B)
{
muestra<-rnorm(n,mu,sigma)
liminf1=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup1=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitud1[i]=limsup1-liminf1
liminf2=mean(muestra)-sigma*zalpha1/sqrt(n)
limsup2=mean(muestra)-sigma*zalpha2/sqrt(n)
longitud2[i]=limsup2-liminf2
if ((liminf1<=mu)&(mu<=limsup1)) {
cobertura1[i]=1}
if ((liminf2<=mu)&(mu<=limsup2)) {
cobertura2[i]=1}
}
cobertura1=mean(cobertura1)
errorcobertura1=abs(cobertura1-(1-alpha))
longitud1=mean(longitud1)
cobertura2=mean(cobertura2)
errorcobertura2=abs(cobertura2-(1-alpha))
longitud2=mean(longitud2)
print(list("cobertura1"=cobertura1,"longitud1"=longitud1,"errorcobertura1"=errorcobertura1,
"cobertura2"=cobertura2,"longitud2"=longitud2,"errorcobertura2"=errorcobertura2))
#error aquí debe ser próximo a 0 (intrevalo exacto)
#Comparación por MC de dos intervalos de confianza para mu, con sigma conocida,
#de igual nivel, el LM (caso normal) y otro cambiando extremos. CASO EXPONENCIAL.
#############################################################
alpha<-0.05
n<-100
mu<-5
sigma<-mu
B=10000
cobertura1=numeric(B)
cobertura2=numeric(B)
longitud1=numeric(B)
longitud2=numeric(B)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
zalpha1<-qnorm(1-(alpha/3))
zalpha2<-qnorm((2*alpha)/3)
for (i in 1:B)
{
muestra<-rexp(n,1/mu)
liminf1=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup1=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitud1[i]=limsup1-liminf1
liminf2=mean(muestra)-sigma*zalpha1/sqrt(n)
limsup2=mean(muestra)-sigma*zalpha2/sqrt(n)
longitud2[i]=limsup2-liminf2
if ((liminf1<=mu)&(mu<=limsup1)) {
cobertura1[i]=1}
if ((liminf2<=mu)&(mu<=limsup2)) {
cobertura2[i]=1}
}
cobertura1=mean(cobertura1)
errorcobertura1=abs(cobertura1-(1-alpha))
longitud1=mean(longitud1)
cobertura2=mean(cobertura2)
errorcobertura2=abs(cobertura2-(1-alpha))
longitud2=mean(longitud2)
print(list("cobertura1"=cobertura1,"longitud1"=longitud1,"errorcobertura1"=errorcobertura1,
"cobertura2"=cobertura2,"longitud2"=longitud2,"errorcobertura2"=errorcobertura2))
#Comparación por MC de dos intervalos de confianza para mu, con sigma conocida,
#de igual nivel, el LM (caso normal) y otro cambiando extremos. CASO CHI2.
###############################################################
alpha<-0.05
n<-100
mu<-5
sigma<-sqrt(2*mu)
B=10000
cobertura1=numeric(B)
cobertura2=numeric(B)
longitud1=numeric(B)
longitud2=numeric(B)
zalpha<-qnorm(1-(alpha/2))
zalpha1<-qnorm(1-(alpha/3))
zalpha2<-qnorm((2*alpha)/3)
for (i in 1:B)
{
muestra<-rchisq(n,mu)
liminf1=mean(muestra)-sigma*zalpha/sqrt(n)
limsup1=mean(muestra)+sigma*zalpha/sqrt(n)
longitud1[i]=limsup1-liminf1
liminf2=mean(muestra)-sigma*zalpha1/sqrt(n)
limsup2=mean(muestra)-sigma*zalpha2/sqrt(n)
longitud2[i]=limsup2-liminf2
if ((liminf1<=mu)&(mu<=limsup1)) {
cobertura1[i]=1}
if ((liminf2<=mu)&(mu<=limsup2)) {
cobertura2[i]=1}
}
cobertura1=mean(cobertura1)
errorcobertura1=abs(cobertura1-(1-alpha))
longitud1=mean(longitud1)
cobertura2=mean(cobertura2)
errorcobertura2=abs(cobertura2-(1-alpha))
longitud2=mean(longitud2)
print(list("cobertura1"=cobertura1,"longitud1"=longitud1,"errorcobertura1"=errorcobertura1,
"cobertura2"=cobertura2,"longitud2"=longitud2,"errorcobertura2"=errorcobertura2))
Descargar

NIVEL DE COBERTURA DE UN INTERVALO DE CONFIANZA …