Gravedades f(R)
Federico Márquez
Proyecto semestral FIA3009
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Física
¿Porque es necesario?
• El universo esta expandiendose
• Queremos evitar la adición de un fluido
• Análogo a lo sucedido con la órbita de Mercurio
Un poco de mecánica clásica
• Concepto de acción
• Principio de Hamilton
• Ecuación de Euler-Lagrange:
Relatividad
• ¿Cuál es la diferencia?
• Trabajamos en un espacio de 4 dimensiones
• Debemos asociar un lagrangiano al vacío
•No podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange
Lagrangiano del vacío
• Intuitivamente
• El vacío esta caracterizado por la métrica
• Debemos incluir información acerca de la curvatura
Lagrangiano del vacío
• El lagrangiano es una magnitud escalar
• El lagrangiano más simple que contenga toda la información
Lagrangiano del vacío
• 2 problemas:
• No podemos usar Euler-Lagrange
• No es invariante
Acción relativista
• Ahora podemos escribir la acción
• Incluyendo materia
Acción relativista
Acción de Einstein-Hilbert
Ecuaciones de Einstein
• Definimos
• Principio de Hamilton
• Nos interesan las ecuaciones en el vacío
Ecuaciones de Einstein
• Principio de Hamilton
• Consideremos
Ecuaciones de Einstein
• Pero
¡¡¡ Este termino no aporta nada !!!
Lo podemos escribir como una
derivada total
• Siguiendo esta lógica, llegamos a las ecuaciones de Einstein
Gravedades f(R)
• Consisten en modificar el lagrangiano del vacío
• Históricamente, nacen como un cuestionamiento a la simplicidad
• Pueden armarse de forma tal de provocar correcciones y no una
modificación completa. Por ej:
Metric f(R) gravity
• Acción
• Ecuaciones de campo
¡¡¡ Con cuidado !!!
Metric f(R) gravity
• Repitamos el proceso
Metric f(R) gravity
• Por lo anterior
• Nuevamente tenemos:
• Ahora este término SÍ aporta
Metric f(R) gravity
Esa derivada puede ser cualquier cosa, por lo tanto,
no podemos escribirlo como una derivada total.
Debemos resolver este término
• Usamos:
Metric f(R) gravity
• Obtenemos:
• Integrando por partes, llegamos a la ecuación de campo
Palatini f(R) gravity
• Acción
Estamos considerando los símbolos de Christoffel como una variable
independiente de la métrica, es decir, tenemos dos escalares de Ricci.
Palatini f(R) gravity
• ¿Cómo definimos estas conexiones?
• En el proceso matemático se descubre la relación entre los dos escalares
de Ricci.
Palatini f(R) gravity
• Llegamos a las ecuaciones de campo:
• Solo derivadas de segundo orden
Metric-affine f(R) gravity
• Acción
• La materia también depende de la conexión
• La teoría es muy complicada y muy nueva
¿Qué se espera de f(R)?
• Deben producir la misma dinámica cosmológica
• Deben introducir correcciones pequeñas a la relatividad general
• Deben tener poder predictivo (Problema de Cauchy)
Conclusiones
• Una alternativa a la energía oscura
• Aun estamos lejos de proclamar las gravedades f(R) como la teoría “correcta”
Referencias
[1] E.Goldstein, Classical mechanics, third edition
[2] R.M. Wald 1984, General Relativity (Chicago University
Press, Chicago)
[3] Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry
[4] T.P.Sotiriou and V. Faraoni, arXiv:0805.1726
[5] V. Faraoni, arXiv:0810.2602, Oct. 2008
¿Preguntas?
Descargar

Gravedades f(R)