Cecilia Álvarez de Neyra Enrich
Fernando Jiménez Urbanos
Grupo 536
Deducción de las ecuaciones de
movimiento:
Lagrangiano
Energía cinética y potencial
Podemos expresar las coordenadas como:
Desarrollando los términos, encontramos el Lagrangiano:
Sabemos que las ecuaciones de Euler-Lagrange vienen dadas por:
(1)
(2)
(1)
(2)
Ahora vamos a analizar distintos casos:
a) Ángulos muy rígidos:
Ec. de ondas
b)
Probamos un ángulo de la forma:
Tenemos de (1) que:
Haciendo separación de variables:
Dividimos por r y obtenemos:
La igualdad es cierta si cada lado es una constante.
En las siguientes diapositivas discutiremos los distintos signos de la
constante y las consecuencias que esto conlleva.
Sólo nos es válido el último caso, es decir, en el que la constante es
positiva. De este modo, tenemos que la solución queda como:
Metiéndolo en la ecuación:
Obtenemos la relación de dispersión, que queda de la forma:
Conclusiones
• Hemos utilizado las ecuaciones de Euler-Lagrange para el continuo.
• Para oscilaciones con ángulos rígidos obtenemos la ecuación de ondas
sólo para el radio ya que el ángulo no varía.
• Hemos probado una posible solución para el ángulo y hemos obtenido
lo siguiente:
Para frecuencias iguales al modo fundamental de la cuerda, la parte
temporal se pierde y tenemos que ésta oscila como si tuviéramos una
comba propiamente dicha (ya que el radio no depende del tiempo) en
la que la parte armónica está en la coordenada z.
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MOVIMIENTO DE UNA COMBA