Movimiento de rotación
Javier Junquera
Bibliografía
Física, Volumen 1, 3° edición
Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.
Ed. Thomson
ISBN: 84-9732-168-5
Capítulo 10
Física, Volumen 1
R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands
Ed. Pearson Eduación
ISBN: 968-444-350-1
Capítulo 8
Momento (o par o torque) de una fuerza
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de
un cierto eje gracias a un pivote, y la línea de acción de la fuerza no pasa a través
de ese pivote, el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje
La línea de acción de una
fuerza es una línea
imaginaria colineal con el
vector fuerza y que se
extiende hasta al infinito en
ambas direcciones
La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor de un eje se mide
mediante una magnitud vectorial denominada par (o momento axial) de la fuerza
El par es la causa de los cambios producidos en el movimiento de rotación y juega un
papel en la dinámica de rotación análogo a las fuerzas en la dinámica de traslación
Momento (o par o torque) de una fuerza
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica el punto de aplicación de la fuerza
Hasta ahora hemos definido el
módulo, pero el momento de
una fuerza es un vector
Definimos el módulo del momento asociado por la fuerza
como
El momento de la fuerza solo queda definido cuando se especifica un eje de referencia a partir del
cual se determina la distancia
entre el pivote y el punto de aplicación de la fuerza
Interpretación de la fórmula del módulo del momento (I)
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica el punto de aplicación de la fuerza
Solo la componente
perpendicular provoca un giro
alrededor del pivote
La componente de la fuerza
paralela a no
contribuirá al giro alrededor del
punto de pivote, porque su línea
de acción pasa justamente a
través del punto del pivote
El módulo del momento de la fuerza es el producto de la distancia al punto de aplicación
de la fuerza multiplicada por la componente perpendicular de la fuerza
Interpretación de la fórmula del módulo del momento (II)
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica el punto de aplicación de la fuerza
Si asociamos la función seno a la distancia
A la magnitud
se la denomina brazo del momento (o brazo de palanca) de la
fuerza y representa la distancia perpendicular entre el eje de rotación y la línea de acción de
Momento de un sistema de fuerzas
Si dos o más fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, cada una de ellas tiene una
cierta tendencia a producir un movimiento de rotación alrededor del punto de pivote
Si el cuerpo está inicialmente en reposo:
tiende a hacer girar el cuerpo en el
sentido de las agujas del reloj
Por convenio: signo negativo
tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido
contrario al de las agujas del reloj
Por convenio: signo positivo
No se debe confundir momento con fuerza
Las fuerzas pueden producir cambios
en los movimientos lineales
(segunda ley de Newton)
Las fuerzas también pueden producir
cambios en los movimientos de
rotación, per su efectividad no solo
depende del módulo de la fuerza sino
del punto de aplicación con respecto
al eje de giro
Naturaleza vectorial del momento de una fuerza
Unidades en el SI:
(no confundir con Julios)
Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
Supongamos que podemos considerar un cuerpo rígido en rotación
como un conjunto de partículas.
El cuerpo rígido está sometido a la acción de un número de fuerzas que
se aplican en distintas posiciones del cuerpo rígido, en las cuales
estarán situadas determinadas partículas.
Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo
rígido como si fueran ejercidas sobre partículas individuales del mismo.
Calcularemos el momento neto sobre el objeto debido a los momentos resultantes
de la acción de estas fuerzas alrededor del eje de rotación del cuerpo.
Cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo rígido puede ser
descompuesta en sus componentes radial y tangencial.
La componente radial de la fuerza aplicada no contribuye al momento,
dado que su línea de acción pasa a través del eje de rotación.
Solo la componente tangencial contribuye al par.
Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
Para cualquier partícula dada, identificada mediante la variable de índice
del interior del cuerpo rígido, podemos utilizar la segunda ley de
Newton para describir la aceleración tangencial de la partícula
Multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por
distancia de la partícula al eje de giro
Como
, la
y
Ahora sumamos los momentos ejercidos sobre todas las partículas del cuerpo rígido
Segunda ley de Newton en las rotaciones
Par neto sobre todas las partículas
del cuerpo rígido
En el modelo de cuerpo rígido, todas
las partículas tienen la misma
aceleración angular
Como el par neto debido a las
fuerzas internas se anula (ver tema
de Sistemas de partículas), entonces
el término de la izquierda queda
reducido al par externo neto
La segunda ley de Newton
en las rotaciones
El par neto que actúa sobre un
cuerpo rígido es proporcional
a su aceleración angular y la
constante de proporcionalidad
es el momento de inercia
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
Supongamos un cuerpo rígido que puede rotar alrededor de un punto
Supongamos que aplicamos una
única fuerza externa en el punto
y que
es el desplazamiento que
experimenta el punto de aplicación
de la fuerza por acción de la misma
El trabajo infinitesimal que realiza la fuerza
sobre el cuerpo, a
medida que el punto de aplicación de la fuerza gira a lo largo de una
distancia infinitesimal
en un tiempo
es la componente tangencial de la fuerza, o la componente a lo largo del desplazamiento
La componente radial de la fuerza no realiza ningún trabajo porque
es perpendicular al desplazamiento
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
Supongamos un cuerpo rígido que puede rotar alrededor de un punto
Supongamos que aplicamos una
única fuerza externa en el punto
y que
es el desplazamiento que
experimenta el punto de aplicación
de la fuerza por acción de la misma
Como
El trabajo realizado en el
movimiento de rotación es igual
al producto del par por el
desplazamiento angular
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
A partir de la segunda ley de Newton para las rotaciones
De la expresión anterior para el diferencial de trabajo
Integrando esta expresión tenemos el trabajo total realizado por el par
Exactamente la misma fórmula matemática que el teorema de las fuerzas
vivas para el movimiento de traslación
Potencia en el movimiento de rotación
La potencia es el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajo
Con lo que la potencia instantánea queda definida como
Expresión análoga a
en el movimiento de traslación
Definición de momento angular o cinético
Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición
y que se mueve con una cantidad de movimiento
El momento angular instantáneo
de la partícula relativo al origen O se define como el
producto vectorial de su vector posición instantáneo y del momento lineal instantáneo
Definición de momento angular o cinético
Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición
y que se mueve con una cantidad de movimiento
Tanto el módulo, la dirección como
el sentido del momento angular
dependen del origen que se elija
Dirección: perpendicular al plano formado por
Sentido: regla de la mano derecha
Módulo:
Unidades SI: kg • m2/s
y
Momento angular o cinético:
Casos particulares
cuando
es paralelo a
. Es decir, cuando la partícula se mueve a lo largo de una línea
recta que pasa por el origen tiene un momento angular nulo con respecto a ese origen
máxima cuando
es perpendicular a
. En ese momento la partícula se mueve
exactamente igual que si estuviera en el borde de una rueda que gira alrededor del origen
en el plano definido por
y
(movimiento circular).
Módulo
Dirección y sentido
Conservación del momento angular
En general, si sobre la partícula actuase más de una fuerza
Ecuación análoga para las rotaciones de las segunda ley de Newton para las traslaciones
Esta ecuación es válida:
- sólo si los momentos de todas las fuerzas involucradas y el momento angular se
miden con respecto al mismo origen.
-válida para cualquier origen fijo en un sistema de referencia inercial.
Conservación del momento angular
Si
Esto se verifica si:
La fuerza se anula
(caso, por ejemplo, de la partícula libre)
La fuerza es paralela a la posición
(fuerzas centrales)
(ley de Gravitación Universal)
Analogías entre rotaciones y traslaciones
Traslaciones
Rotaciones
Una fuerza neta sobre una partícula
produce un cambio en el momento
lineal de la misma
Un torque neto sobre una partícula
produce un cambio en el momento
angular de la misma
Una fuerza neta actuando sobre una
partícula es igual a la razón de cambio
temporal del momento lineal de la partícula
Una torque neto actuando sobre una partícula
es igual a la razón de cambio temporal del
momento angular de la partícula
Momento angular de una partícula en un
movimiento circular
Supongamos una partícula que se mueve en el plano xy en un movimiento circular de radio r.
Hallar la magnitud y dirección de su momento angular con respecto al origen O si su velocidad
lineal es
Como el momento lineal de la partícula está en
constante cambio (en dirección, no en
magnitud), podríamos pensar que el momento
angular de la partícula también cambia de
manera contínua con el tiempo
Sin embargo este no es el caso
Magnitud
Dirección
Perpendicular al plano de la pantalla y saliendo
hacia fuera (regla de la mano derecha)
Una partícula en un movimiento circular uniforme tiene un momento angular
constante con respecto a un eje que pase por el centro de la trayectoria
Momento angular total de un sistema de partículas
El momento angular total de un sistema de partículas con respecto a un determinado
punto se define como la suma vectorial de los momento angulares de las partículas
individuales con respecto a ese punto.
En un sistema continuo habría que reemplazar la suma por una integral
Momento angular total de un sistema de partículas
A priori, para cada partícula i tendríamos que calcular el torque asociado con:
- fuerzas internas entre las partículas que componen el sistema
- fuerzas externas
Sin embargo, debido al principio de acción y reacción, el torque neto
debido a las fuerzas internas se anula.
Se puede concluir que el momento angular total de un sistema de
partículas puede variar con el tiempo si y sólo si existe un torque neto
debido a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
Momento angular total de un sistema de partículas
EL torque neto (con respecto a un eje que pase por un origen en un
sistema de referencia inercial) debido a las fuerzas externas que actúan
sobre un sistema es igual al ritmo de variación del momento angular
total del sistema con respecto a dicho origen
Momento angular de un sólido rígido en rotación
Consideremos una placa que rota alrededor de un eje perpendicular y
que coincide con el eje z de un sistema de coordenadas
Cada partícula del objeto rota en el plano xy
alrededor del eje z con una celeridad angular
El momento angular de una partícula de masa
que rota en torno al eje z es
Y el momento angular del sistema angular (que en este
caso particular sólo tiene componente a lo largo de z)
Momento angular de un sólido rígido en rotación
Y el momento angular del sistema angular (que en este
caso particular sólo tiene componente a lo largo de z)
Donde se ha definido el momento de inercia del objeto
con respecto al eje z como
En este caso particular, el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular
Momento angular de un sólido rígido en rotación
En general, la expresión
no siempre es válida.
Si un objeto rígido rota alrededor de un eje arbitrario, el momento angular y la velocidad angular
podrían apuntar en direcciones diferentes.
En este caso, el momento de inercia no puede ser tratado como un escalar.
Estrictamente hablando,
se aplica sólo en el caso de un sólido rígido de cualquier forma
que rota con respecto a uno de los tres ejes mutuamente perpendiculares (denominados ejes
principales de inercia) y que pasan por su centro de masa.
Ecuación del movimiento para la rotación
de un sólido rígido
Supongamos que el eje de rotación del sólido coincide con uno de sus ejes principales,
de modo que el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular
Derivando esta expresión con respecto al tiempo
Si asumimos que el momento de inercia no cambia con el tiempo
(esto ocurre para un cuerpo rígido)
Ecuación del movimiento para la rotación
de un sólido rígido
Supongamos que el eje de rotación del sólido no coincide con uno de sus ejes principales,
de modo que el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular
Pero como el momento angular ya no es paralelo a la velocidad angular,
ésta no tiene por qué ser constante
Conservación del momento angular
El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en
módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula
Tercera ley de conservación: en un sistema aislado se conserva:
- energía total
- el momento lineal
- el momento angular
El principio de conservación del momento angular es un resultado general que se
puede aplicar a cualquier sistema aislado.
El momento angular de un sistema aislado se conserva tanto si el sistema es un
cuerpo rígido como si no lo es.
Conservación del momento angular
El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en
módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula
Para un sistema aislado consistente en un conjunto de partículas, la ley de
conservación se escribe como
Conservación del momento angular
Si la masa de un sistema aislado que rota sufre un redistribución,
el momento de inercia cambia
Como la magnitud del momento angular del sistema es
La ley de conservación del momento angular requiere que el
producto de I por w permanezca constante
Es decir, para un sistema aislado, un cambio en I requiere un cambio en w
Esta expresión es válida para:
- una rotación en torno a un eje fijo.
- una rotación alrededor de un eje que pase por el centro de masas de un
sistema que rota.
Lo único que se requiere es que el torque neto de la fuerza externa se anule
Comparación de los movimientos lineales y
movimientos rotacionales
Transparencias de soporte
Cálculos de momentos de inercia
Sistema discreto
Sistema continuo
Placa plana
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