Movimiento de rodamiento,
momento angular y momento de
torsión
Física I
Contenido
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•
•
Rodamiento de un cuerpo rígido
Producto vectorial
Cálculo del producto cruz
Momento angular de una partícula
Momento angular de un sistema de partículas
Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje
fijo
• Conservación del momento angular
Rodamiento de un cuerpo rígido
Considere un objeto que gira sobre una superficie sin resbalar.
s
s q
a
a
R
a’
a CM 
2vCM
vCM
CM
P
dt
R
P’
Q
La velocidad y aceleración del
centro de masa son:
ds
d
v CM 
 R
 R
Q’
dv CM
dt
dt
 R
d
 R
dt
La energía total del cilindro es:
K = ½IP2
Donde IP es el momento de inercia
alrededor del eje que pasa por P.
Aplicando el teorema de ejes paralelos:
K = ½ICM2 + ½MvCM2
Se puede concluir que:
La energía cinética total de un objeto sujeto a movimiento de rodamiento es
la suma de la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa y la
energía cinética traslacional del centro de masa.
Empleando el hecho que vCM = R:
2
 v CM 

 
 R 
K 
1
2
I CM
K 
1
2
 I CM
 2
 2  M  v CM
 R

1
2
2
Mv CM
Si un objeto se desliza sobre una pendiente de altura h, la velocidad con
que llega al final de la pendiente es:
M
h
R
v CM 

x
q
vCM
2 gh
1  I CM
MR
2
Ejemplo
Calcular velocidades de cuerpos que bajan por pendiente
Aro o cascarón cilíndrico
I CM  MR
Esfera sólida
2
I CM 
Cilindro sólido o disco
I CM 
1
2
v CM 
MR
2
5
MR
Esfera hueca
I CM 
2
2
3
MR
2
Barra delgada larga con eje de
rotación que pasa por el centro.
2 gh
1  I CM
2
MR
2
I CM 
1
12
ML
2
Producto vectorial
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores se define como:
C=AB
La magnitud del producto vectorial es: C  AB sen q (área del
paralelogramo limitado por A y B)
Algunas propiedades del producto cruz son:
1. A  B = - (B  A)
2. Si A es paralelo a B, entonces A  B = 0
A
3. Si A es perpendicular a B, entonces |A 
B| = AB.
B
4. A  (B + C) = A  B + A  C
C=AB
q
-C = A  B
Cálculo del producto cruz
De las propiedades del producto cruz se desprenden los siguientes
resultados:
i  i = j  j = k  k =0
i  j = –j  i = k
j  k = –k  j = i
k  i = –i  k = j
De esto se desprende que el producto cruz de dos vectores se puede
evaluar con el determinante:
i
j
k
A  B  Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Ejemplo
A = 2i +3j – 2k, B = i + 2j
i
j
k
AB  2
3
2
1
2
0
AB 
= 0i – 2j + 4k – 3k + 4i – 0j = 4i – 2j + k
4   2   1 
2
2
2
21  4 . 58
|A| = 4.12, |B| = 2.24
A · B = 8,
q = cos-1(4.2x2.24/8) = 29.73°
A B sen(q) = 4.12x2.24x0.4898 = 4.58
A
B
AB
Momento angular de una
partícula
El momento angular instantáneo L de la partícula relativa al origen O es
definido por medio del producto cruz del vector de posición instantáneo de
la partícula y su momento lineal instantáneo p:
Lrp
La magnitud de L es:
L = mvr sen f
De la definición de momento de torsión, t = rFsenf, en
términos vectoriales:
τ  rF  r
Lrp
dt
dL
O
r
dt
m
f
dp
p

d
dt
r  p   r 
dp
dt

dr
dt
p  r
dp
τ
dt
El momento de torsión que actúa sobre una
partícula es igual a la tasa de cambio en el
tiempo del momento angular de la partícula.
Momento angular de un sistema
de partículas
El momento angular de un sistema de partículas es la suma
vectorial de los momentos angulares de cada partícula:
L = L1 + L2 + ... + Ln =  Li
Por lo tanto concluimos que:

τ ext 

dL i
dt

d
dt

L 
i
dL
dt
La tasa de cambio en el tiempo del momento angular total del
sistema alrededor de algún origen en un marco inercial es igual
al momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistema
en torno a ese origen.
Rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje fijo
La magnitud del momento angular de un elemento mi del cuerpo rígido es: Li
= miri2
La componente z del momento angular será la suma de estos elementos:
Lz 
z
L

mr
Derivando:
2
i i
dL z
dt
r
vi
mi
x
y
 
 m r 
 I
2
i i
d
dt
 I
 I 
t
ext
El momento de torsión externo neto que actúa
sobre un objeto que gira alrededor de un eje
fijo es igual al momento de inercia alrededor
del eje de rotación multiplicado por la
aceleración angular del objeto relativo a ese
eje.
Conservación del momento
angular
El momento angular total de un sistema es constante si el momento de torsión
externo resultante que actúa sobre el sistema es cero.
Si
t
xt

dL
0
dt
Entonces L = constante o Iii = Iff
El momento de torsión resultante que actúa sobre un cuerpo alrededor de
un eje que pasa por el centro de masa es igual a la tasa de cambio en el
tiempo del momento angular independientemente del movimiento del
centro de masa.
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