Elementos del movimiento
Unidad 11
2
Contenidos (1)
1.- Introducción.
2.- Magnitudes escalares y vectoriales.
3.- Sistemas de referencia. Concepto de
movimiento.
4.- Operaciones con vectores.
5.- Trayectoria, posición y desplazamiento.
6.- Velocidad media e instantánea (introducción
al concepto de derivada).
3
Contenidos (2)
7.- Aceleración media e instantánea.
8.- Componentes intrínsecas de la aceleración:
tangencial y normal..
4
Magnitudes escalares y
vectoriales
• Escalares: quedan perfectamente definidas
con una cantidad (número) y una unidad
– Ejemplo: el tiempo  3 s; la masa  8 kg.
• Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:
– Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por
la longitud del vector. Es la parte escalar.
– Dirección: es la recta que contiene el vector.
– Sentido: indicado por la punta de la flecha.
– Punto de aplicación: origen de la flecha.
– Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...
5
Sistema de referencia y movimiento
• Es un punto del espacio respecto al cual
describimos el movimiento.
• Un objeto se encuentra en movimiento si
cambia su posición respecto al sistema de
referencia.
• Los sistemas de referencia cuentan a su vez con
uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z),
perpendiculares entre sí, según trabajemos en
una recta, en un plano, o en el espacio.
6
Representación de un sistema de
referencia tridimensional.
• Sobre cada eje se
toma como unidad de
medida los vectores
unitarios
(módulo igual a 1):
– i sobre el eje x
– j sobre el eje y
– k sobre el eje z
y
k
j
i
z
x
7
Vectores
• Se representan con una flecha encima de la letra
que utilizada para dicha magnitud.
• Se suelen expresar en forma cartesiana en donde
ax, ay y az son sus componentes cartesianas:
•




a = ax · i + ay · j + az · k
• A partir de ahora, los vectores los escribiremos en
negrita y diferente color para mayor comodidad:
•
a = a x · i + ay · j + a z · k
• en donde i, j y k representan los vectores unitarios
sobre los ejes x, y, z.
8
Suma de vectores
• Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · k
y
b = b x · i + b y · j + bz · k
• El vector suma vendrá dado por:
a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k
• Ejemplo: Sean
y
a=3i+2j
a
5
y b=2i–3j
x
a + b = (3+2) i + (2 –3) j
b
=5 i–j
9
Cálculo del módulo de un vector.
• Sean un vector:
a = ax · i + ay · j + a z · k
• El módulo de a, que se representa como |a| se
calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
•
____________
|a| =  ax2 + ay2 + az2
• Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j
•
____________ ____________ ___
|a| =  ax2 + ay2 + az2 =  52 + (–1)2 + 02 =  26
10
Vector Posición ( r = r) .
• Para un punto P de coordenadas (x,y,z)
el vector posición viene dado por:
• r=x·i+y·j+z·k
r=2i+2j
Representación de vectores posición
v=x·i+y·j
• En dos
dimensiones
v=x·i+y·j+z·k
• En tres
dimensiones
11
12
Ecuación del movimiento
• La ecuación que proporciona la posición de
un objeto con respecto al tiempo se llama
“ecuación del movimiento”:
•
r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k
• Ejemplo: r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m
• En el S.I. la unidad será el m.
Ejercicio: Sea el movimiento definido por la si-
13
guiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I.
Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2,
4 y 6 segundos.
•
•
•
•
•
y
t (s)
r (m)
0
8 j (0,8)
2 4 i + 8 j (4,8)
4 8 i + 8 j (8,8)
6 12 i + 8 j (12,8)
10
5
5
10
x
14
Ecuaciones paramétricas.
• Son las ecuaciones que relacionan cada
componente cartesiana con el tiempo.
•
x = f(t); y = g(t); z = h(t)
• Son ecuaciones escalares (no vectores).
• Ejemplo: En el vector:
r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m
• las ecuaciones paramétricas serían:
• x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4
15
Trayectoria
• Es la línea que sigue
el movimiento.
• Los diferentes
puntos de dicha
línea se obtienen
dando valores a “t”
en la ecuación del
movimiento
(paramétricas).
y
x
16
Ecuaciones de la trayectoria.
• Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en
una ecuación y sustituyendo el valor en la otra.
• Son ecuaciones escalares (no vectores).
• Ejemplo: r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m
• x = 2t ; y = 1 – t ;
z = 3t2 + 4
• t = x/2  y = 1 – x/2 ;
z = 3x2/4 + 4
• En el caso del espacio bidimensional, únicamente
existe una ecuación de la trayectoria: y = f(x).
17
Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas
y de la trayectoria del siguiente movimiento
expresado por la ecuación:
r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m
•
•
•
•
•
•
•
•
Ecuaciones paramétricas:
x=t–2
;
y = 2t2 + 4t –3
Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2
Y sustituyendo en la segunda:
y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3
y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3
y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3
Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13
Ejercicio: Determina el valor del vector posición del
vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los
instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el
módulo de dichos vectores y la ecuación de la
trayectoria.
t (s)
0
2
r(t) (m)
–6j
6i+ 2j
r(t) (m)
———
(–6)2
————
62 + 22
——————
= 6,00
= 6,32
4
12 i + 26 j
122 + 262 = 28,64
——————
6
18 i + 66 j
182 + 662 = 68,41
• Despejando “t” de x = 3 t  t = x/3, y
sustituyendo en y = 2 t2 – 6 queda:
y = 2(x/3)2 – 6;
y = 2x2/9 – 6
18
Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación
anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).
y
50
25
5
10
15
x
19
20
Vector desplazamiento (r = r)
• Es el vector diferencia de dos vectores de
posición en dos momentos distintos.
• Sean r0 = x0 i + y0 j + z0 k
y
r 1 = x 1 i + y 1 j + z1 k
dos vectores posición.
• r = r1 – r0 =
= (x1–x0) i + (y1–y0) j + (z1–z0) k =
= x i +  y j + z k
• En el S.I. la unidad será el m.
Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y
21
cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:
r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I
entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.
•
r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
r2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m
• r = r2 – r1 = x i +  y j + z k =
• [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m
•
•
r = (6 i + 24 j) m
———–
———–
2
2
r=  6 + 24 m = 36 + 576 m = 24,74 m
22
Espacio recorrido (s)
• Es una magnitud escalar que mide la longitud de
trayectoria recorrida.
• NO hay que confundir
con el vector desplazamiento, aunque en trayectorias rectilíneas y
que no cambien de sentido el movimiento
s = r
• En el S.I. la unidad será el m.
23

Velocidad media (vm = vm)
•
r x i +  y j + z k
vm = — = ————————
t
t
•
x
y
z
vm = —— i + —— j + —— k
t
t
t
vm = vmx i + vmy j + vmz k
• El módulo del vector vm toma el valor:
———————
vm=  vmx2 + vmy2 + vmz2
24
Velocidad media (continuación)
• La dirección y el sentido son los mismos que los del
vector desplazamiento r ya que t es un escalar.
• NO hay que confundir vm con el escalar s/t que, en
Física, llamaremos rapidez o celeridad media.
• Ni siquiera vmtiene porqué coincidir con la rapidez o
celeridad media.
– Ejemplo: un corredor que da una vuelta completa a un circuito
tendrá vm = 0 ya que r = 0. Sin embargo tiene una rapidez que
viene determinada por la longitud de la pista (s) dividido por
el tiempo empleado en cubrir la vuelta (t).
• En el S.I. la unidad será el m/s.
25
Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los
instantes t = 2s y t = 5, así como su módulo en el
movimiento: r(t) = [(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m
r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m
r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m
r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m
r (42 i – 12 j) m
vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s
t
5s–2s
—————————
vm (2s5s)=  (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s
26

Velocidad instantánea (v = v)
• Es el valor límite que toma la velocidad media cuando
los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.
27
Ejemplo: Calcular la velocidad instantánea aproximada ( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, así como su
módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2–6) j] m
• Sea  t = 0,1 s, suficientemente pequeño:
deberemos conocer la posición en r1 (t =2 s) y en
r2 (t =2,1 s)
• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
• r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) m
• r = r2 – r1 = (0,3 i + 0,82 j) m
•
r (0,3 i + 0,82 j) m
vaprox (t=2 s) = — = ——————— = (3 i + 8,2 j) m/s
t
0,1 s
•
————
vaprox (t=2 s)=  32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s
28
Ejercicio: Calcular la velocidad instantánea más
aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo
en el movimiento: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m
• Si queremos calcular v (t=2 s) de forma más aproximada
deberemos tomar un  t aún menor, por ejemplo 0,01 s,
y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s).
• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
• r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) m
• r = r3 – r1 = (0,03 i + 0,0802 j) m
•
•
r (0,03 i + 0,0802 j) m
vaprox (t=2 s) = — = ———————— = (3 i + 8,02 j) m/s
t
0,01 s
—————
2
2
vaprox (t=2 s)=  3 + 8,02 m/s = 8,56 m/s
29
Componentes cartesianas de la
velocidad instantánea v
•
r
x i +  y j + z k
v = lim — = lim ————————
t0 t
t0
t
•
dr
dx
dy
dz
v = —— = —— i + —— j + —— k
dt
dt
dt
dt
•
v = vx i + vy j + v z k
30
Velocidad instantánea (cont.)
• La dirección de v es tangente a la trayectoria en
el instante en el que calculemos la velocidad.
• El sentido es el del movimiento.
Ejemplo: Calcular la expresión del vector
31
velocidad del movimiento anterior:
r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en
los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
•
r
x i +  y j + z k
v = lim — = lim ————————
t0 t
t0
t
•
3(t+t) – 3t
[2(t+t)2–6 – [2t2–6]
v = ————— i + ————————— j =
t
t
•
3t + 3 t – 3t
[2t2 + 4t t + 2(t)2–6]–[2t2–6]
= —————— i + ————————————— j =
t
t
• v = dr/dt = 3 i + 4t j
ya que t  0
Ecuación de la
velocidad
Ejemplo (continuación): Calcular la expresión
del vector velocidad del movimiento anterior
r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en
los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j
t (s)
v(t) (m/s)
0
3i
2
3i + 8j
4
3 i + 16 j
6
3 i + 24 j
v(t) (m/s)
—2
3
———
32 + 82
———–
32 + 162
———–
32 + 242
=3
= 8’54
= 16’28
= 24’19
32
33
Aceleración media (am = am)
• La definición es similar a la de la velocidad,
si bien tiene un significado totalmente
distinto, pues indica la variación de velocidad
con el tiempo.
•
v vx i +  vy j + vz k
am = — = —————————
t
t
• am = amx i + amy j + amz k
• En el S.I. la unidad será el m/s2.
34
Aceleración instantánea (a = a).
•
v
vx i + vy j + vz k
a = lim — = lim —————————
t0 t
t0
t
•
dv
dvx
dvy
dvz
a = —— = —— i + —— j + —— k
dt
dt
dt
dt
•
a = a x i + ay j + a z k
• La dirección y el sentido de a son los mismos
que los del vector incremento de velocidad
v ya que t es un escalar.
Ejemplo: Calcular la expresión del vector acelera-
35
ción del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j,
cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los
instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
• Ecuación del movimiento
(de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j
• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j
• Ecuac. de la aceleración: a = dv/dt = 4 j
• Para todos los valores de tiempo
a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no
depende de “t”.
•
—2
2
a (m/s ) = 4 m/s2 = 4 m/s2
36
Componentes intrínsecas de la
aceleración
• Únicamente en los movimientos rectilíneos a tiene
la misma dirección y sentido que v. En general, a
tiene una dirección y sentido hacia dentro de la
curva, con lo que normalmente se descompone en
dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel.
normal) tangente y perpendicular a la
trayectoria.
Componentes intrínsecas de la
aceleración (at y an)
• a = at + an = at ·ut + an·un
siendo ut y un los vectores unitarios tangente y
perpendicular a la trayectoria en el punto en el
que calculamos la aceleración.
•
v dv
v2
at=at= lim —— = —— ; an=an= ——
t0 t
dt
R
• siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.
• Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R
•
———
Igualmente llamamos a = a=  at2 + an2
37
Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista
circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad
aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI.
Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración
normal y el módulo del vector a a los 6 s.
a)
dv 7(t+t) – 7t 7t + 7 t – 7t
7 t
at = —— = ————— = —————— = —— = 7 m/s2
dt
t
t
t
at = 7 ut m/s2
b)
v2
49 t2 m2·s-2
an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2
R
1000 m
an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76 un m/s2
————
—————
2
2
a (t= 6) =  at + an =  72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2
38
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