Asociación de Resortes
Recordaremos la Ley de Hooke para hacer mas fácil el
entendimiento es este tema.
LEY DE HOOKE.- En todo cuerpo elástico las fuerzas
deformadoras
son
proporcionales
sus
respectivos
deformaciones.
F=kx
F=fuerza deformadora
k= constante elástica
x= deformación
Si un cuerpo elástico esta sometido a una fuerza deformadora presentara una
reacción contraria, llamada “FUERZA RECUPERADORA”, de igual valor pero
de sentido opuesto a la fuerza deformadora.
FR = - F = - kx
En serie
Se dice que dos resortes están asociados en seria cuando se
sitúan como se muestra en la figura.
Este sistema puede ser reemplazado por un resorte equivalente
de constante elástica kE
Resorte equivalentes es aquel que tiene la misma
deformación que en conjunto al ser sometido a las
misma fuerza.
Calculo de “kE”.- Aplicando una fuerza “F” al conjunto.
Si: x1 = estiramiento del resorte “1”
x2 = estiramiento del resorte “2”
x = estiramiento del resorte equivalente.
Por definición de resorte equivalente: x = x1 + x2 .....(*)
Aplicando la ley de hook:
F= kE x
x= F
kE
Para el resorte “2”:
F = x2
k2
La misma fuerza “F”
se trasmite al resorte “1”
F = K1 X 1
x1 = F
k1
Reemplazando x, x1 y x2 en la ecuación (*) se
tiene:
F = F + F
kE
k1
k2
1
kE
=
1 + 1
k1
k2
En general, para “n” resortes:
1
= 1
kE
k1
+
1 +
k2
1 +… +
k3
1
kn
En paralelo
La característica fundamental de la asociación de resortes en
paralelo es que todos los resortes se estiran o comprimen por
igual; es decir, sus deformaciones son iguales al aplícaseles una
fuerza deformadora
Calcula “kE”.- Del D.C.L. del bloque “M” en la
posición
final:
F= k1x1 + k2x2
Como: F = kE . X
y
….(*)
x1 = x 2 = x
Reemplazando en (*) :
kE. x = k1x1 + k2x2
kE = k1 + k2
En general para “n” resortes:
kE =
k1 +
k2 + k3
+ …. +
kn
NOTA
No siempre la asociación en paralelo es notoria a simple
vista, en algunos casos es confuso.
Aparentemente “1” y “2” están asociados en paralelo y 3 en serio
con ambos resortes. ¡lo cual no es cierto!. Los tres resortes están
asociados en paralelo, pues si el bloque se mueve hacia la
derecha, “3” se comprime una longitud “x”, y “1” y “2” se estiran
también una longitud “x”.
D.C.L
Por la segunda ley de Newton:
k1x + k2x +k3x = m.a
k1 + k2 + k3 . X = a
m
Si el sistema fuese reemplazado por un unico
resorte equivalente: a = (kE/m) x
Donde kE = k1 + k2 + k3 lo cual demuestra que los
tres resortes están asociados en paralelo.
Aplicaciones del M.A.S.
1.- Oscilaciones de un cuerpo Unido a un Resorte
CASO 1.- Cuerpo apoyado sobre una superficie lisa.
Si llevamos el bloque de masa “m” al punto “N”, el resorte se
estira una longitud “A”, que viene a ser la amplitud del MAS.
Por la segunda ley de Newton:
Pero:
F = m.a
F = fuerza recuperador = kx
kx = ma
a = (k/x).m …(*)
Como la característica fundamental del MAS es
a = Rx o a = ω2 x, comparando con (*):
ω2 = k/m
2π/T
=
ω=
k/m
k/m
T = 2π
m/k
Caso 2.- Cuerpo suspendido
En la posición de equilibrio:
kλ= mg
Si el resorte es estirado una longitud “A” desde
la posición de equilibrio y se libera en esa
posición, el cuerpo oscila con una amplitud
“A”.
En un punto “P” cualquiera, por la Segunda Ley
de Newton:
- mg + k( x + λ) = ma
- mg + k λ + kx = ma
Como k λ = mg, resulta :
Kx = ma
a = (k/m). X
Luego:
ω2 = k/m
T = 2π
m/k
Observaciones
a) Cuando se trate de cuerpos unidos a resortes es
recomendable adoptar la siguiente conversión de los signos
para la elongación:
El lado hacia donde se estire el resorte será considerado
positivo y el lado hacia donde se comprime será considerado
negativo.
Observaciones
b) Para la solución de algunos problemas, la velocidad puede
considerarse positiva cuando su sentido apunte hacia el
extremo positivo y será negativa cuando apunte al extremo
negativo.
Observaciones
c) Los valores de la fase inicial “α” varían entre 0º y 360º, según
sea la dirección del movimiento.
-Si va de la P.E. al extremo positivo : 0º < α < 90º
-Si va del extremo positivo a la P.E.: 90º < α< 180º
-Si va de la P.E. al extremo negativo : 180º < α < 270º
-Si va del extremo negativo a la P.E.: 270º < α< 360º
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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE