Movimiento armónico simple
Problema
No
1
Un resorte cuelga verticalmente. Cuando un cuerpo de masa
M=1.65kg se suspende de él, su longitud aumenta 7.33cm.
Después se monta el resorte horizontalmente y se sujeta de él un
bloque de masa m=2.34kg. El bloque puede deslizarse
libremente por la superficie horizontal sin fricción, a)¿Cuál es la
constante de fuerza k del resorte?. b)¿Cuál es la magnitud de la
fuerza horizontal necesaria para estirarlo una distanci de
11.6cm?. c)¿Cuándo se desplaza una distancia de 11.6cm y se
libera, ¿con qué periodo oscilará?.
a) La constante de fuerza k se determina a partir de la fuerza MG
necesaria para estirar el resorte, el desplazamiento vertical medio
y=-7.33cm. Cuando el cuerpo suspendido cuelga en reposo
SFy=0; el componente y de la fuerza neta en el cuerpo es SFy=ky-Mg así que ky=-Mg, esto es
k
 Mg
y

 (1.65 kg )( 9.8 m / S 2 )
 0.0733 m
 221N / m
b) La magnitud de loa fuerza horizontal necesaria para
alargar el resorte 11.6cm se determina mediant la ley de
Hooke, usando para ello la constante de fuerza que
encontramos en la parte a)
F  kx  (221N / m)(0.116m)  25.6 N
c)El periodo no depende de la amplitud, sino tan sólo de
los valores de la masa del bloque y de la constante de
fuerza que se da en la ecuación del movimiento armónico
simple,
T  2
m
k
 2
2.43 kg
221 N / m
 0.6589 s  659 ms
Problema
No
2
Un bloque de 50kg se desplaza entre guías verticales, como se
muestra. Se tira del bloque 40mm hacia debajo de su posición de
equilibrio y se suelta. Para cada una de las dispociciones de los
resortes, determínese el periodo de vibración, la velocidad y
aceleración máxima del bloque.
b)
a)
k1=4kN/m
k2=6kN/m
a) En primer lugar, se determina la constante k de un solo resorte
equivalente a los dos resortes mediante el cálculo de la magnitud
de fuerza P requerida para producir una deflexión d las magnitudes
de las fuerzas ejercidas por los resortes son, respectivamente, k1d y k2d
k 1d
P  k1d  k2d  (k1  k2 )d
k2d
d
La constante k del resorte equivalente es:
P
P
k   k1  k 2  4kN / m  6kN / m  10 kN / m  10 N 4 / m
d
Periodo de vibración: Como m=50kg, la ecuación  n 
  
2
n
k
m
104 N / m
50 kg
 n  2 
n  14.14rad / s
 n  0.444s
n
k
m
da
Velocidad máxima:
m  xmn  (0.040m)(14.14rad / s)
m  0.566m / s
vm  0.566m / s 
Aceleración máxima:
am  xm n2  (0.040m)(14.14rad / s) 2
am  8.00m / s 2
am  8.00m / s 2 
b) En primer lugar, se determinará la constante k de uno solo
resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo del
alargamiento total d de los resortes sometidos a una carga estática
dada P. Para facilitar rl cálculo, se utiliza una carga estática de
magnitud P=12kN
d  d 1  d 2  kP  kP  412kNkN/ m  612kNkN/ m  5m
1
2
k  dP  125kN
m  2.kN / m  2400N / m
l1
l1+d1
l2
l2+d2
d
P
Periodo de vibración:
N /m
  mk  2400
50 kg
2
n
 n  2 
n
 n  6.39rad / s
 n  0.907s
Velocidad máxima:
m  xmn  (0.040m)(6.93rad / s)
m  0.277m / s
vm  0.277m / s 
Aceleración máxima:
am  xm n2  (0.040m)(6.93rad / s) 2
am  1.920m / s 2
am  1.920m / s 2 
Problema No 3
Una partícula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el
origen con una fuerza igual a – 40x (n), estando x
expresada en metros. Si inicialmente se encuentra a 5 m
del origen y con una velocidad de 15 m/s dirigida hacia
el mismo, calcular:
a) La amplitud del movimiento
•En primer lugar debemos ordenar los datos,
mientras los memorizamos, y expresarlos en el S.I.
Esto nos va a evitar utilizar unidades inadecuadas
cuando vayamos a sustituirlas en las fórmulas:
m=10 Kg
F=- 40x N
x0=5 m
v0=15 m/s
Aplicamos las fórmulas que relacionan los datos
entre sí: F=- 40x
F=m·a=- m  2x
- 40x=- m 2x ; 40=10 2 ;  =2 rad/s
La ecuación de la velocidad en función de la
posición es:
b) El instante en que pasa por primera vez por el origen.
El enunciado dice que está a 5 m del origen y esto da lugar a dos
posibilidades: ir hacia el extremo o volver del extremo. El dato de la
velocidad nos indica que vuelve hacia el centro (Ojo, podían darnos
en el enunciado su valor como negativo). Por lo tanto podemos
poner la fórmula de la posición partiendo del extremo (usando el
coseno). Llegará al centro cuando el desfase inicial más el ángulo
girado sea / 2
5=9cos( ·0 + j 0) ; j 0=0’98 rad
(coseno en vez de seno puesto que el movimiento se
dirige hacia el centro y para t=0-> x=A)
Pasa por el origen cuando el ángulo girado (
Q ·t + j 0) valga  /2
 /2=( 2t + 0’98 ) ; t=0’29 s
Al colgar la masa, el muelle se estira hasta A, por lo
tanto
k·OA=m·g=> 1000· OA=1·9,8
(suponemos g=10)
OA=0,01 m=1 cm
El peso nos ayuda a alcanzar la fuerza recuperadora
de 40 N en consecuencia sólo tenemos que tirar con
una fuerza de 30 N.
Frecup= Fracción + peso
La elongación se mide desde el punto de equilibrio
(A) y por lo tanto la amplitud será de 3 cm.
Sólo cuenta como fuerza recuperadora ejecutante
del M.A.S la que sobrepasa el peso.
La oscilación tiene punto de equilibrio el A y en él la
fuerza resultante es cero y la aceleración también es
cero.
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