VECTORES EN EL PLANO
Nivel 4º E.S.O.
Curso 2012
El concepto de vector está motivado por la
idea de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q determina
un segmento de recta dirigido con punto
inicial P y punto final Q

PQ
P
Q
La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por

PQ
S
R
P
R
Q
S


Vectores de la misma magnitud PQ  RS
Un vector es un segmento orientado
La dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este sentido


RS  SR
Q
S
R
Q
P
Vectores de la
misma dirección
P
R
R
S
S
Vectores en
direcciones distintas
Vectores Equivalentes

Tienen
la
misma
magnitud y dirección

PQ  RS
Q
P
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los
segmentos dirigidos equivalentes
Eje y
O
Eje x
Representante del vector por el origen de
coordenadas
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
Eje Y
P(a,b)
b
u
O
a

u  OP  (a, b)
Eje X
(a,b) son las coordenadas del vector u y
también del punto P
Y a la inversa: dado (a,b) perteneciente a un
plano se le asocia el vector u así:
Eje Y
P(a,b)
b
u
O
a
Eje X
Definición algebraica
Un vector es un par ordenado de
números reales
Dado
Dado el
el vector
vector u(1,-4)
u(-2,3)
u(-2,-4)
u(0,3)
u(-2,0)
i(1,0) representarlo
j(0,1)
representarlo
representarlo
representarloen
en
en
enel
el
el
elplano
plano
plano
plano
Eje Y
O
Eje X
Punto P
Vector u=OP
en el plano
desde el origen hasta P
(a,b)2
Esta correspondencia se llama:
Sistema de coordenadas rectangulares
6cm
31º
10cm
6cm
38º
7,67cm
6cm
45º
6cm
6cm
65º
2,8cm
¿b?
27º
¿a?
¿b?
62º
¿a?
¿b?
11º
¿a?
9cm
74º
¿a?
24º
3cm
¿a?
¿b?
48º
8cm
¿b?
23º
6,4cm
Dirección  de u
Magnitud o módulo
de un vector u
2
u  a b
Angulo positivo que
forma con el eje X
2
b
tag  
a
Eje Y
Un vector de
módulo uno se
llama unitario
(a,b)
b
u

El vector nulo (0,0)
no tiene dirección
O
a
Eje X
Halla
Hallael
el
elmódulo
módulo
módulo
módulodel
del
del
delvector
vector
vector
vectoru(-4,-1)
u(-4,1)
u(0,-3)
u(2,2)
u(0,5)
u(4,1) yyyyyel
u(1,4)
el
el
elángulo
ángulo
ánguloθθ
Halla
Halla
el
módulo
del
vector
u(3,-2)
u(4,-1)
el
ángulo
θθ
que
queforma
forma
formacon
con
conel
el
eleje
eje
ejeXX
que
que
forma
con
el
eje
XX
Eje Y
O
2
u  a b
2
Eje X
b
tag  
a
Halla
Halla las
las componentes
componentes del
del vector
vector uu si
si el
el módulo
módulo
vale
vale 3
12
6
4 yy el
el ángulo
ángulo θθ =
= 315º
150º
220º
28º
60º
Eje Y
¿b?
O
¿a?
Eje X
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Eje Y
y
yj u
xi
j
O
i
x
Eje X
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j
Halla el
el módulo
módulo
módulodel
del
delvector
vector
vectoru(-2,3)
u(1,3)
u(1,1)=-2
== i i+3
+3
+ jjj yy el
ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O
2
u  a b
2
Eje X
b
tag  
a
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el
plano y  un número real. Se define el
vector:
 suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
 producto por un escalar  u como
 u=(x, y).
Operaciones con vectores
Eje Y
u
u+ v
v
O
Eje X
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la
diagonal mayor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
u- v
u
v
O
u- v
Eje X
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la
diagonal menor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
u
u+ v
v
O
Eje X
Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b)
es la diagonal mayor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
b
y
b
y
u+ v
u
b
x
v
O
x
a
Eje X
a
x
u+v=(x+a,y+b)
Operaciones con vectores
Eje Y
u
>0
u
0<<1
<0
u
O
Eje X
Si u=(x,y),  u=(x, y)
Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=│u││v│cos
:

Se define el ángulo
entre dos vectores u y v
como el ángulo  no
negativo mas pequeño
entre u y v.
El producto escalar de los vectores
canónicos
i=(1,0),
j=(0,1)
será
i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
Nueva definición de Producto
escalar:
u  xi  yj
v  ai  bj
u.v  xai.i  xbi. j  yaj.i  ybj. j
u.v  xa  yb
Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by

Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
el ángulo  no negativo
mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Eje Y
Eje X
Dos vectores son
paralelos
si
el
ángulo entre ellos
es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si
forman un ángulo de /2
Propiedades del producto escalar
 u.0 = 0
 u.v = v.u (propiedad conmutativa)
 Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces
los vectores son perpendiculares.
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre
ellos,
entonces si calculamos el producto
escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:
u.v  u v cos 
u.v / u v  cos 
u
Interpretación
geométrica:

ucos
v
Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y
determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo
entre A y B.
Ejemplo: Sean los vectores A = 3i -2 j y B = -i - j . Representarlos y
determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo
entre A y B.
Ejemplo: Sean los vectores A = -4i +2 j y B = -3j . Representarlos y
determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo
entre A y B.
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Vectores en el Espacio