Cap. 3 y 4 – Movimiento en
Dos o Tres Dimensiones
Para describir un movimiento en una dimensión
sólo necesitabamos un núero real. Ahora
necesitaremos por lo menos dos. En su forma
más intuitiva serían la distancia recorrida y la
dirección que puede ser determinada dando un
ángulo (un segundo número real). Un concepto
como éste en el cuál la dirección es importante
se trabaja matemáticamente con la herramienta
llamada vector. El desplazamiento es el ejemplo
clásico de un vector. Veremos que hay otros
vectores como velocidad, aceleración y fuerza.
Trabajando con Vectores Geométricamente
Una forma matemática muy intuitiva de
trabajar con vectores es haciendo un
dibujo geométrico. El vector es una
flecha apuntando en cierta dirección. La
longitud de la flecha indica la magnitud.
Por ejemplo, para un desplazamiento, la
magnitud es la distancia entre el punto
inicial y el punto final del movimiento.
En estos dibujos la localización del vector no importa. Uno puede mover el
vector y obtiene un vector igual después que no cambie la dirección de la
flecha ni su longitud. Todos los vectores en este dibujo son iguales.
Suma de Vectores Geométricamente
Para desplazamientos el dibujo de vectores es un dibujo a escala de lo
que ocurre en la realidad. Aquí tenemos un primer movimiento que
empieza en A y termina en B (dibujado como el vector →a)seguido por un
segundo movimiento que empieza en B y termina en C (vector →b). El
resultado neto de estos dos movimientos (desplazamientos) es que se
empezó en A y se terminó en C (vector →s). Queremos llamarle “suma” al
resultado neto. Del dibujo es obvio que la manera de encontrar el vector
resultante de esta suma es poniendo el rabo de →b en la cabeza de →a.
El vector resultante,→s, la suma, va del rabo de →a a la cabeza de →b.
Esto se llama sumar vectores “rabo con cabeza”.
Resta de Vectores Geométricamente
Queremos que el álgebra de vectores sea lo más parecida posible al
álgebra con números que ya conocemos. Para la situación de la
transparencia anterior, →a + →b = →s. Queremos que →a = →s - →b tal
como ocurriría si fuesen números. Y queremos que restar sea el
equivalente de sumar el inverso, →a = →s + (-→b) donde (-→b) es un
vector que llamamos “el inverso de →b”. Vemos que (-→b) tiene que ser
un vector de la misma magnitud que →b pero en dirección contraria.
Otra Manera de Sumar Vectores Geométricamente
El Método del Paralelograma
Para otros tipos de vectores es más intuitivo
dibujarlos rabo con rabo. Cuando hacemos
este tipo de dibujo, se forma un
paralelograma y la suma de los vectores es
una de las diagonales del paralelograma.
El dibujo aquí también es una prueba de la ley comutativa de la suma de
vectores, o sea, →A + →B = →B + →A.
Resta de Vectores Geométricamente
Aquí hemos dibujado el rabo de B en la
cabeza de A y hemos calculado A - B
como A + (-B) poniendo el rabo de (-B) en
la cabeza de A.
Aquí nos fijamos que el vector que
obtuvimos arriba (A – B) es igual a un
vector que va de la cabeza de B a la
cabeza de A, o sea, es la otra diagonal del
paralelograma!!
Con el paralelograma podemos calcular la
suma y también la resta de dos vectores.
Multiplicación de un Vector por un Escalar
Un escalar es una variable que no tiene dirección, o sea, se puede medir
sencillamente con un solo número real que puede tener signo negativo.
Si usamos la letra k para designar un escalar, quisiéramos definir cuál es el
vector que es el resultado de multiplicar k por el vector A. La contestación es
que kA (el producto) tendrá una magnitud que es el producto de la magnitud de
k por la magnitud de A. La dirección de kA será la misma que la de A, si k es
positivo y será opuesta a A, si k es negativo.
Fíjate que ahora podemos escribir – B como (-1)B.
Trabajando Algebráicamente
Componentes de Un Vector
Aunque el dibujo geométrico puede ser muy útil para entender fácilmente,
no se pueden calcular las variables con precisión. Para cálculos
típicamente se trabaja usando los “componentes” del vector. Los
componentes son variables reales que facilitan el cálculo de la suma y la
resta de vectores. Están basados en un sistema de coordenadas en el
espacio real. La definición detallada se desprende de la figura. Para el
caso de desplazamientos los componentes corresponden a las
coordenadas del punto final en un sistema con el origen en el rabo del
vector.
Suma de Vectores Algebráicamente
Es muy sencilla, simplemente se suman los componentes!
Ax + Bx = Cx
Ay + By = Cy
Lo mismo ocurre con la resta.
Dos Maneras de Especificar un Vector
• Ambas usan dos números reales.
• La primera es más intuitiva ya que usa la magnitud (un número
positivo) y el ángulo que define la dirección. (A,θ)
• La segunda usa los componentes (Ax, Ay).
• Relaciones entre las dos descripciones:
• Ax = A cosθ ; Ay = A sinθ
• A = (Ax2 + Ay2)½ ; θ = tan-1 (Ay / Ax)
• Al usar la calculadora para encontrar θ, siempre dará un
número entre –π/2 y + π/2 . Hay que mirar (Ax, Ay) y sumarle π a
la contestación, si es necesario.
Cuidado al Usar Estas Descripciones
Es importante tener claro cómo es que se define θ.
Para tenerlo claro, es útil poner un eje de coordenadas
con el origen en el rabo del vector.
Para vectores, los ejes de coordenadas se usan
solamente para determinar direcciones; la posición del
origen se puede mover. Los componentes no
dependen de la posición del origen!!
Vectores Unitarios
• Otra manera de escribir un vector
Movimiento en Dos o Tres Dimensiones
Las Ecuaciones son las Mismas pero Ahora son Vectoriales
Posición es un vector
Desplazamiento
Velocidad promedio
Es un vector también
Posición son dos/tres funciones
Velocidad Instantanea
Los componentes de la
velocidad instantanea
La dirección de la velocidad instantanea
La velocidad instantanea es en dirección de la tangente a la trayectoria.
Movimiento de Proyectil
Dos Movimientos Independientes en Uno
Son Independientes!!!
El mov. Horizontal no afecta al mov. Vertical
El componente vertical del movimiento de la bola amarilla (proyectil) es
igual que el de la bola roja que sólo tiene movimiento vertical (caida
libre).
Más Dramático
El blanco se suelta a la misma vez que se hace el “disparo”
apuntando a la posición inicial del blanco. La bala tiene
ambos movimientos, horizontal y vertical; el blanco sólo
tiene el vertical. Al final llegan al mismo sitio!!
Lo interesante es que esto trabaja no importa cuán duro sea
el disparo!!!
Y al Revés!!!
El mov. Vertical no afecta al mov. Horizontal
El componente horizontal del movimiento del paquete (proyectil) es igual
que el de la avioneta que sólo tiene movimiento horizontal (velocidad
constante).
Más Dramático
El tiene ambos movimientos, horizontal y vertical; la tabla
sólo tiene el horizontal. Al final llegan al mismo sitio y el cae
en la tabla.
Movimiento de Proyectil
Vel. Constante en x, Acel. Constante en y
Variables t, Δx, Δy, vy,v0x,v0y (vx=v0x)
Afortunadamente, la gran mayoría de las variables están
separadas en las ecuaciones.
La única variable que aparece en todas las ecuaciones es t.
A veces la velocidad inicial se da en términos de su magnitud
y dirección (v0, θ0).
Las mismas ecuaciones escritas en términos de la magnitud y la dirección
de la velocidad.
Para las ecuaciones en “y” a veces será más útil usar alguna de las otras
formas de las ecuaciones de mov. con acel. constante.
Por ejemplo
La parte vertical se brega exactamente igual que caida libre. Son las
mismas ecuaciones!!! O sea se usa solo una de las cinco ecuaciones que
es la que no contiene la variable que el problema ni me da ni me pide.
Análisis con las Ecuaciones
No se aprendan las siguientes ecuaciones.
Sí deben ser capaces de derivarlas usando las ecuaciones fundamentales que son las ecuaciones de velocidad y aceleración constante.
En el examen no vendrán problemas que se puedan resolver usando
estas ecuaciones.
Problema Típico – La bola pasará la cerca?
Solución –
(1) Usando v0, θ0 calcular v0x v0y
(2) Usando Δx, v0x (conocidos), calcular t, el tiempo para llegar a
la posición de la verja.
(3) Usando t, v0y calcular Δy.
(4) Comparar la altura de la verja con la posición vertical de la
bola.
Movimiento Circular con Rapidez Constante (uniforme)
Ni la velocidad ni la aceleración son constantes porque su
dirección está cambiando!!!!!
En estos casos es más conveniente no usar un sistema de
coordenadas fijo sino usar coordenadas longitudinal (tangente
a la trayectoria) y transversal (perpendicular a la trayectoria).
Sistema de Coordenadas (Longitudinal, Transversal)
(Util cuando la aceleración no es constante, e.g. movimiento circular
uniforme)
 También se usan los términos tangencial, radial.
 La velocidad tiene sólo componente longitudinal (es tangencial) así que en
este sistema de coordenadas la velocidad tiene un sólo componente.
 La magnitud de la velocidad es la derivada del desplazamiento en arco con
respecto al tiempo. (v = ds/dt)
 La aceleración puede tener dos componentes.
 Siempre tiene Transversal (radial) --- ar = v2 / R (R = radio de curvatura)
 Puede tener Longitudinal (tangencial) --- at = dv/dt (si la rapidez cambia)
Movimiento Circular con Rapidez Constante (uniforme)
 Descripción usando Coordenadas Longitudinal, Transversal es
muy simple.
 v = 2 π R / T donde T es el periodo.
 La aceleración sólo tiene componente radial (transversal).
 ar = v2 / R . La magnitud de la aceleración es constante.
Las ventajas de las coordenadas (tangencial, radial) en el
Movimiento Circular Uniforme
 Los vectores de velocidad y aceleración
tienen un sólo componente. Velocidad es
tangencial; aceleración es radial.
 La posición se puede describir con una sola
variable ya que su posición radial no cambia
(es constante). Se puede usar un ángulo
para describir la posición (θ) o equivalentemente se puede usar la longitud de arco (s).
s=rθ
v = ds/dt
a = v2 / r
Sistemas de Coordenadas en Movimiento
• El sistema de coordenadas (longitudinal, transversal) es un
ejemplo de un sistema de coordenadas que se mueve con el
tiempo. Es un movimiento complicado porque también rota.
Sin embargo, las ecuaciones que se obtienen con este sistema
son sencillas y son las más útiles para ciertos casos (e.g. el
caso de movimiento circular uniforme).
• En otros casos es más útil considerar sistemas de
coordenadas con movimientos más sencillos, i.e. sistemas que
no rotan y que se mueven con velocidad constante.
• Los casos en que tales sistemas de coordenadas son útiles
son aquellos en los cuales hay tres cosas en el problema. Casi
siempre una de estas cosas es la tierra que es el sistema de
coordenadas más común en cualquier problema.
• Problemas típicos de este tipo son problemas de movimiento a
través de un medio, e.g. un bote en el agua o un avión en el
aire.
Sistemas de Coordenadas en Movimiento Relativo con
Velocidad Constante
Hay tres vectores de posición, la del objeto (el punto P)
con respecto al sistema A, la de P con respecto al
sistema B, y la del sistema B con respecto a A.
Del dibujo, es obvio que:
Tomando la derivada
con respecto al tiempo:
Sin embago, como la velocidad de B con respecto a A
es constante, al tomar otra derivada, obtenemos:
Esto es un indicio de que la aceleración es una variable importante que mide algo
muy real que es independiente del sistema de coordenadas que se usa para medirla.
No podemos decir lo mismo para la velocidad. Más adelante veremos que en la ley
fundamental del movimiento lo que aparece es la aceleración y no la velocidad.
Problemas de Velocidad Relativa Típicos
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Cap. 2 – Movimiento en Una Dimension