SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS
VARIABLES
PROF: JAIME QUISPE CASAS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
a1 x  b1 y  c1
a 2 x  b2 y  c 2
1
I.E.P.Nº2874 Ex 451
 Una ecuación de primer grado con dos variables es
una expresión de la forma:
a 1 x  b 1 y  c1
a 2x  b2y  c2
 Donde : a1;a2; b1;b2;c1;c2 son números (coeficientes) y
las incógnitas son x e y.
Por ejemplo es un sistema de esta forma
4 x  3 y  23
12 x  2 y  14
2
I.E.P.Nº2874 Ex 451
 METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMA
DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON DOS VARIABLES
• Existen diversos procedimientos que permiten hallar el conjunto
solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables
• Entre ellas tenemos :
• 1.-Método de eliminación
a) Reducción
b) Sustitución
c) Igualación
• 2.- Método de determinantes
• 3.- Método gráfico
3
I.E.P.Nº2874 Ex 451
a) IGUALACIÓN
• Por este método, se obtiene de las dos ecuaciones del sistema una
tercera ecuación de una sola variable, aplicando los siguientes pasos:
• 1. Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones (la que te
parezca más fácil de despejar)
• 2. Se igualan las expresiones quedando una ecuación con una
incógnita
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las
ecuaciones y operando sacas la otra incógnita. También se puede sustituir
en una de las dos ecuaciones obtenidas en el punto 1.
• Ejemplo Nº 1
7 x  4 y  13
(I)
5 x  2 y  19
(II)
4
I.E.P.Nº2874 Ex 451
• Despejamos x en (I)
7x  13 - 4y
 x
• Despejamos x en (II)
13 - 4y
7
5x  19  2y
 x
19  2y
5
• Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido
13 - 4y
7

El valor y = -2 ; reemplazamos en cualquiera de
las ecuaciones dadas, por ejemplo en I (
generalmente se sustituye en la mas sencilla)
19  2y
5
Luego
multiplicamos
extremos con los medios
5(13 - 4y)  7(19  2y)
65 - 20y  133  14y
65 - 133  14y  20y
- 68  34y
y  -2
los
7 x  4 y  13
7 x  4 (  2 )  13
7 x  8  13
7 x  21
x  3
cs  3;  2 
5
I.E.P.Nº2874 Ex 451
b) SUSTITUCIÓN
• Por este método, se trata de obtener una tercera ecuación a partir de
las dos ecuaciones del sistema, aplicando los siguientes pasos:
• Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más
fácil de despejar)
2. Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer
grado.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las
ecuaciones y operando sacas la otra
• Ejemplo Nº 1
2 x  5 y   24
8 x  3 y  19
(I)
(II)
6
I.E.P.Nº2874 Ex 451
• Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x , en
una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (I)
2x  24 - 5y
 x  - 24 - 5y
2
• Este valor de x se sustituye en la ecuación (II)
 - 24 - 5y 
8
  -3y  19
2


Y ya tenemos una ecuación con una
incógnita; hemos eliminado la «x»
Resolvamos esta ecuación ,simplificando 8
y 2, queda
4(-24 - 5y) - 3y  19
- 96 - 20y - 3y  19
- 115  23y
y  -5
El valor y = -5 ; reemplazamos en cualquiera de las
ecuaciones dadas, por ejemplo en I ( generalmente
se sustituye en la mas sencilla)
2 x  5 y   24
2 x  5 (  5 )   24
2 x  25   24
2x  1
x
1
2
1

cs   ;  5 
2

7
I.E.P.Nº2874 Ex 451
c) REDUCCIÓN
Para aplicar el método de reducción se multiplican las dos ecuaciones o
una de ellas por un número conveniente de manera que una de las
incógnitas tenga el mismo coeficiente cambiado de signo en las dos
ecuaciones.
1. Se elige la incógnita (la que te parezca más fácil)
2. Se hace que los coeficientes de dicha incógnita en las dos ecuaciones
sean opuestos.
3. Se suman las dos ecuaciones quedando una ecuación con una
incógnita que se resuelve.
4. Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones.
2 x  3 y  14
• Ejemplo Nº 1
2 x  3 y  14
(I)
x  y  3
(II)

x  y  3
(3)
2 x  3 y  14
(I)
3x  3y  9
(III)
8
I.E.P.Nº2874 Ex 451
• Sumamos la ecuación (I) y (III)
2 x  3 y  14
(I)
3x  3y  9
(III)
5x 
0
5
5x  5
x 1
Sustituyendo; x = 1 en cualquiera de las ecuaciones
dadas por ejemplo en (I)
2 x  3 y  14
2 (1)  3 y  14
2  3y  14
3 y  12
y 4
cs  1; 4 
9
I.E.P.Nº2874 Ex 451
• EJERCICIOS:
1
 2 x  3 y  13 


3
x


2
y

12


2
 4 x  y  24 


 5 x  3 y  37 
3
4
RPTA
RPTA
2 ;3
5 ; 4 
 x  4 y  16 

 RPTA 0 ;  4 
3
x

2
y


8


 5 x  y   10 


3 x  2 y   6 
RPTA  2 ; 0 
 4 x  3 ( x  y )  24

5  3 ( x  1)  ( x  y )  10  RPTA 3;  1


6
 x  2 y   26 


 7 x  5 y   22 
7
x  2 y  9 


4
x

3
y


3


RPTA
RPTA
 3;  3
5( x  2 )  2 y   5



3
(
x

y
)

8

2
(
y

2
)


8
9
10
 6 ;  4
RPTA
3;5
 x  5 ( y  1)  2 ( x  4 )  9 
 4 ; 0 

 RPTA
 4 ( x  2 )  3 ( y  3 )  33  0 
3( x  y )
17 
x  y 1





2
4
4 


2
(
x

y
)
x

y
11






3
2
6


RPTA
4 ;1
10
I.E.P.Nº2874 Ex 451
• EJERCICIOS:
3 x  2 y  7 
1 5 x  6 y   7 


x  3y  3 
2 2 x  6 y  12 


3
4
5
RPTA 1;  2 
6
3 3
RPTA ; 
2 2
2 x  3y  7 

 RPTA 8 ;3
x

5
y

23


 5 x  7 y  34 

RPTA 4 ;  2 
6 x  8 y  8 
x  y  2 


2
x

y

5


RPTA 3;  1
7
2 x  4  5 y 


y

11


3
x


RPTA
3 ; 2 
 5 x - 2y  1 

 RPTA 1; 2 
3
x

5
y

13


 5( x  2)  2 y



1



RPTA
5

8 3( x  y )  8 2 ( y  2 ) 





5
5


9
 6 x  4 y  14



10 x  12 y   14 
10
 

3

8
t

m

13




8
 




2


 3 t  m  11 




3

 

3;5
RPTA
1;  2 
RPTA
 1; 7 
11
I.E.P.Nº2874 Ex 451
GRACIAS POR SU VISITA
12
Descargar

BIENVENIDO A NUESTRA CLASE DE MATEMATICA