BIENVENIDO A
NUESTRA CLASE DE
MATEMATICA
PROF: JAIME QUISPE CASAS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2010
1
ECUACIONES CUADRATICAS
• Es un tipo de ecuación particular en la cual la
variable o incógnita está elevada al cuadrado,
es decir, es de segundo grado.
•
EJEMPLO:
ax
2
 bx  c  0
 Donde a,b,c, son números reales, a  0 y x es la
variable. Esta es la forma estándar de la
ecuación cuadrática
• En esta ecuación: ax2 es el termino cuadrático;
bx es el termino lineal y c es el termino
constante
2
Toda
ecuación
de
segundo grado tiene
dos raíces o soluciones
PROPIEDADES
1 .  Si x  R entonces
x
2
Esta propiedad nos dice que cualquier
 0 número real elevado al cuadrado es
positivo o cero; nunca negativo.
Si x  R;
(3x)  R;
Si x  R;
(x - 2)  R;
Si x  R;
(3x - 7)  R;
(3x)
2
0
(x - 2)
2
0
(3x - 7)
2
0
Por ejemplo, si estamos trabajando en R y nos dijeran que ( 4x – 9 )2 = - 5
; si aplicamos la propiedad, afirmamos que es FALSA. No existe ningún valor
real para x que haga que se cumpla la igualdad
3
2 .  Si x
2
 b entonces
x 
b
x -
b
a) x  144 entonces x  144  x  - 144  x  12
• Entonces su conjunto solución es : {12; -12}
2
 x  - 12
b) (x - 5)
2
9

x  5  9 
   x  5  3   cs  8 ; 2 





 x  5   3
x  5   9 

c) (x  7)
2
 25
 cs   2 ;  12 
d) (3x - 1)
d) (7x - 9)
2
2
2

  10 
1  2 1  2 
cs  
;

3 
 3
cs 
  
4
• En la ecuación cuadrática:
2
ax  bx  c  0
• a) Si b = 0 y c = 0, tenemos la ecuación : ax2 = 0
• b) Si b = 0 , tenemos la ecuación: ax2 + c = 0
• c) Si c = 0 , tenemos la ecuación : ax2 + bx = 0
Son ecuaciones cuadráticas incompletas : ax2 = 0 ; ax2 + c = 0; ax2 + bx = 0
Son ecuaciones cuadráticas incompletas
x 0
x
2x  0
2x
2
80
3x
 3x  0
5x
2
 75
25x
2
2
2
2
90
x
2
 2x  0
2
 27  0
2
 8x
• d) Si b  0 y c  0, tenemos la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Las ecuaciones que
tienen esta forma estándar se llaman ecuaciones cuadráticas completas
• Son ecuaciones cuadráticas completas:
• x2 + 7x + 10 = 0.
• 5x2 – x – 6 = 0
• x2 + 6x = -8
• 3x2 = - 7x + 10; etc
5
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS
a) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 = 0; Puesto que a  0; el
único número que multiplicado por «a» da cero ; entonces x = 0
x
 0;
2
2x
3
 0;
2
x
2
 0;
2x
2
 0;
4
tienen
como conjunto
solución
al cero
b) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + c = 0; una forma sencilla
de resolver estas ecuaciones es por el método de raíces cuadradas
ax
2
 c  0
 ax
2
 c
 x
2

c
Ejemplo
a
a) 3x
2
 48  0
3x
2
 48
x  16
x   16
2
x  4
x  -4
c s  {4;-4}
b) 2 x
2
 18  0
2x
2
  18
x
2
 9
x  
 9
cs  
6
Ejemplos
Verificación
1) (3x  4)(3x - 4)  5(x
9x
9x
2
2
 16  5 x
 5x
4x
2
2
2
2
- 3)
(3x  4)(3x - 4)  5(x
- 15
para
2
(
x  
3
 4)(
2
x  
1
2
3
- 4)  5(
2
1
9
4
4
1
- 3)
4
5
 16 
- 15
4
1
9 - 64
2
cs  {
- 3)
1
x 
  15  16
1
2
;-
1

5 - 60
4
}
2
- 55
4

4
para
x  
- 55
4
1
( verifica)
2
7
Resolver
2)
3x  1
x
2
 25
3

x  5
x
1
2
 25  ( x  5 )( x  5 )
x 5 
( x  5)
n .c .m  ( x  5 )( x  5 )
3x  1
-
( x  5 )( x  5 )
3 x  1  3( x  5 )
( x  5 )( x  5 )
3
( x  5)

1
( x  5 )( x  5 )
( x  5 )( x  5 )
3 x  1  3 ( x  5 )  ( x  5 )( x  5 )
3 x  1  3 x  15  x
 16  x
2
9  x
x  
2
 25
 25
2
9
 x  3
o
x  -3
cs  {3;  3}
8
Resolver
1) x
2
 36  0
2) x
2
 23  0
3) 2 x
4 ) 3( x
2
-
Rpta
 10  0
2
6;-6 
Rpta
Rpta
 25 )  0
8 ) ( x  1)( x  1)  2
10 )
x  5


3
11 ) x  3 -
15
x
2x
2

2 ; 3
 -1 1 
;


2
2

2

-10;10 
Rpta
5
5 ;-
Rpta
  10 x  50
2

5
23
5;-5 
Rpta
5 ) 4x(x  1)  4x  1
2
x
1
6)

 4
3
Rpta
4
2
20
x  9
9
Rpta
7)


x
5
5
9 ) (x - 5)
23 ;
Rpta
Rpta
- 3
3;
3

-5;5 
5 ;3
5

3
 5x
x 3
 5
Rpta
-
6;
6

9
c) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0.El método practico para resolver ecuaciones de esta forma es por factorización
ax
2
 x ( ax  b )  0
 bx  0
donde
x  0
o
ax  b  0
Ejemplos
1)
2x
2x
2
2
 x  4x
 x  4x
 2x
 x
x
2
2
2
2
2
 3x
 3x  0
x  2-
2)
 3
x -2
(x - 2)(x  2) - (2x - 10)

x -2
 4x  0
 2x  0
2x - 10
 3( x  2 )
x  2
(x - 2)(x  2) - (2x - 10)   3 ( x  2 )
 2x  0
(x
x ( x  2)  0
x  0
o
x  0
2
( x  2)  0
o
cs  { 0 ; 2}
x  2
x
- 4) - (2x - 10)   3 ( x  2 )
x
2
2
- 2x  3 x  6  4  10
- 4 - 2x  10   3 x  6
x
2
 x  0
x(x  1)  0  x  0
cs  { 0 ;  1}
o x 1  0
10
EJERCICIOS
2
1) x
 2x  0
2
 12 x  0
3 ) 2x(x
2
2) 2 x
4 ) 4 (x
2
5) x
6)
x
- 5)  x

6
7)
x
 x
4x
8)

2x
2
2
x
2
 4x
 x )  6 x ( x  1)
7

x  0
3
2
2
x  2

x 5


x
5
2
- 6;0 
0;6 
Rpta
0;5 
Rpta
7

 0;

3

Rpta
0;1 
 0
 2
Rpta
1 
 
3
Rpta
0;8 
6
 3
2
9 ) (x  2)(x - 2)  (x  2)
10 ) x
Rpta
3
12 x
 6
0;2 
Rpta
2
x
Rpta
3x  0
2
 (2 x
2
 8)
Rpta
Rpta
0 ; 2
0;2 
3

11
12
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