ANGULOS CENTRALES
EN POSICION ESTANDAR
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
EN ESTA PRESENTACION ENCONTRARAS
LOS SIGUIENTES TEMAS:
•ANGULOS CENTRALES EN POSICION ESTANDAR
•CIRCULO DE RADIO r
•CIRCULO UNITARIO
•ANGULOS DE REFERENCIA
•USANDO LA CALCULADORA
Un ángulo central en posición estándar es un
ángulo central localizado en el plano cartesiano de tal
forma que su vértice corresponde al origen del plano. El
lado inicial del ángulo corresponde a la parte positiva del
eje de x.
 es un ángulo
central

OBSERVA que el lado
en que termina

intercepta el círculo
dibujado en el punto
P(a,b)
Imagina un triángulo rectángulo donde el cateto
adyacente a  es el lado inicial, y la hipotenusa
de dicho rectángulo es el radio ( r ) del círculo.

La coordenada
del punto del
ángulo  y que
intercepta el
círculo es
P()= (a,b)
OBSERVACIONES
IMPORTANTE
Sea P()= (a,b) la coordenada del
punto que intercepta el lado
terminal del ángulo  y el círculo;
C

A
B C la hipotenusa, A el cateto
adyacente a  y B el cateto
opuesto a , del triángulo rectángulo,
entonces: la medida del cateto A es a
unidades; la medida del cateto B es
b unidades
Con esta información podemos establecer las seis
relaciones trigonométricas para el ángulo  .
Las tres relaciones trigonométricas básicas
C

B
HIPOTENUSA
c 
a b
2
c 
3 3
2
2
2

2 x9  3 2
A
sen  
medida cateto opuesto a 

hipotenusa
cos en  
b
hipotenusa
medida cateto adyacente
a 
hipotenusa
medida cateto opuesto a 
medida cateto adyacente
a

b
a

3
3
2

2
3 2
a

hipotenusa
tan  

3
1

3
3 2

2
2
Podemos utilizar la información anterior
para determinar la medida de  (Debe
estudiar previamente la Sección 1 y 2)
tan  
b

a

3
1
3
1
  tan (1)  45
0
Calcula las tres funciones trigonométricas
básicas utilizando la coordenada del punto en el
lado terminal de  que intercepta el círculo
violeta. (VER RESPUESTA)

RESPUESTA
La coordenada del punto es

P() = (1,1)
HIPOTENUSA
b
sen  

hipotenusa
a
cos en  
hipotenusa
tan  
b
a

1
1
1
1

2
1 2

2
1
1 2

2
2
c 
a b
c 
1 1 
2
2
2
2
2 x1 
2
Las tres relaciones trigonométricas básicas para
cualquier punto P() = (a,b) ; donde  es la
medida del ángulo central en posición estándar, r
es el radio del círculo que intercepta ese punto y
(a,b) es la coordenada del punto, se establecen
de la siguiente manera:
sen  
b
r
cos en  
a
r
tan  
b
a

Halla las tres
relaciones
trigonométricas
utilizando la
coordenada del punto
que intercepta el
círculo cuyo radio es
uno.
HIPOTENUSA (RADIO DEL
CIRCULO)
r 

a b
2
2
r 1
La coordenada
a a
2
2a
2
1
2
de ese punto es ( a , a ).
1
;a 
1

2
a 
2
sen  
b
2
1

r
2
2

cos en  
r

b 
2
2
1
2
2
2
2
tan  
b
a


2
2
2
a
2
1
2
2

2
2
2
 1
Observasión Importante
AL TRABAJAR CON EL
PUNTO QUE INTERCEPTA
EL CIRCULO CUYO RADIO
ES UNO SE SIMPLIFICA
EL PROCEDIMIENTO AL
NO TENER QUE
COMPUTAR LA MEDIDA
DEL RADIO (CUANDO NO
ME LA DAN)
Observasión Importante
NO IMPORTA CUAL PUNTO
SELECCIONE DEL LADO
TERMINAL DEL ÁNGULO
CENTRAL EN POSICIÓN
ESTÁNDAR LAS
RELACIONES
TRIGONOMETRICAS SERÁN
CORRESPONDIENTEMENTE
IGUALES
Por lo tanto, nuestro trabajo se
simplifica si trabajamos con el círculo
cuyo radio mide una unidad al cual
llamamos círculo unitario.
Las relaciones trigonométricas
para puntos P()=(a,b) que
descansan en el círculo unitario son
las siguientes:
sen   b
cos en   a
tan  
b
a
EL CIRCULO UNITARIO
En el círculo unitario están marcadas las
coordenadas de los ángulos mayormente
utilizados.
En el primer cuadrante
encontramos las
coordenadas de los
ángulos especiales
El signo de la coordenada de cada
punto varia según su localización en
el plano cartesiano
En el siguiente PLANO se
resume los signos de las
relaciones trigonométricas
seno y coseno según la
localización del ángulo
Sen  > 0
Cosen  < 0
Sen  < 0
Cosen  < 0
Sen  > 0
Cosen  > 0
Sen  < 0
Cosen  > 0
Utiliza el círculo unitario para identificar
las relaciones trigonométricas de los
siguientes ángulos
EJERCICIO
 
sen  
1
EJERCICIO
 
4

3
cos en  
sen  
tan  
cos en  
sec  
tan  
cos ec  
sec  
cot an  
cos ec  
cot an  
2
RESPUESTAS
EJERCICIO
 
4
2

3
EJERCICIO
1
 
sen   0
cos en    1
tan   0
sen  

3
2
cos en  
2
tan  
3
sec    2
sec    1
cos ec   indef
cot an   indef
1
cos ec  
2 3
3
cot an  
3
3
Es difícil memorizar toda la información que nos
da el círculo unitario, sin embargo es
recomendable memorizar la información de
algunos de los ángulos.
Observa que los ángulos
cuadrantales son fáciles de recordar
ya que son interceptos en los ejes del
plano cartesiano.
Recordar las coordenadas de los
ángulos especiales es importante
también.   
,
3
,
4
6
Llena la siguiente tabla
(INDICA LOS VALORES EXACTOS, UTILIZA LAS COORDENADAS
DEL CIRCULO UNITARIO)
MEDIDA DEL
ANGULO EN
GRADOS
30 °
45°
60°
90°
180°
270°
360°
MEDIDA DE L
ANGULO EN
RADIANES
SENO
COSENO
TANGENTE
ANGULOS DE REFERENCIA
Los ángulos de referencia nos permiten
determinar el valor exacto de un ángulo dado.
Necesitamos las siguientes observaciones:
•identificar en cuál cuadrante se encuentra el
ángulo dado
•asignar a la relación trigonométrica el signo
correspondiente
ANGULOS DE REFERENCIA
Un ángulo de referencia es un ángulo
agudo formado por el lado terminal del
ángulo dado y el eje positivo o
negativo de x.
OBSERVA R

Obtenemos la medida del Ángulo de referencia si
 se encuentra en el segundo cuadrante de la
siguiente forma:
Medida en GRADOS
R =180 - 
Medida en RADIANES R =
-
OBSERVA

R
Obtenemos la medida del Ángulo de referencia
si  se encuentra en el tercer cuadrante
de la siguiente forma:
Medida en GRADOS
R =  -
Medida en RADIANES R =
180
- 
OBSERVA

R
Obtenemos la medida del Ángulo de referencia
si  se encuentra en el cuarto cuadrante
de la siguiente forma:
Medida en GRADOS
R = 360 - 
Medida en RADIANES R = 2
-
OBSERVA
 = R
Todo ángulo que se encuentra en el primer
cuadrante es un ángulo de referencia.

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