RUBÉN ALVA CABRERA
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TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B
2
(C A TETO )  (C A TETO )
5
3
4
C
CATETO
2
12
13
 (H IP O T E N U S A )
5
21
29
20
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
CATETO
AGUDOS
HIPOTENUSA
OPUESTO
A

CATETO ADYACENTE A
SENO
CatetoO puestoa q
sen q =
H ipotenusa
TANGENTE
C ateto O p u esto a 
tan  
C ateto A d yacen tea 
SECANTE
sec  
H ip o ten u sa
C ateto A d y acen tea 
COSENO


C ateto A d yacen tea 
co s  
H ip o ten u sa
COTANGENTE
co t  
C ateto A d y acen tea 
C ateto O p u esto a 
COSECANTE
csc  
H ip o ten u sa
C ateto O p u esto a 
EJEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H

sen 
cos  
12
37
35
37
2
 12
H 
35
12
H
ta n  
cot  
12
35
35
12
2
 35
2
1369  3 7
sec  
csc  
37
35
37
12
EJEMPLO :
Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
3

2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
sen 
1
csc 
sen csc   1
cos  
1
ta n  
se c 
o
o
C ) ta n 4 9 c o t 4 9  1
B)
cot 
ta n  c o t   1
cos  sec   1
EJEMPLOS
1
o
A)

c
s
c
3
6
o
sen36
1
1
cos 17
o
 se c 1 7
o
D )se n2  c sc 2   1
E ) c o s 6 3 se c   1
o
  63
F ) ta n 2  c o t   1
2  
o
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b

c
a

sen  cos 
c o t   ta n 
c o s   sen
sec   csc 
ta n   c o t 
csc   sec 
EJEMPLOS
A )se n2 5
o
 c o s 6 5 ............... 2 5 o  6 5 o  9 0 O
B ) ta n 4 3
o
 c o t 4 7 o ............... 4 3 o  4 7 o  9 0 O
o
o
o
o
o
O
C ) sec 60  c sc 3 0 ............... 6 0  3 0  9 0
D )sen   cos 20
  20
o
 90
o
O
  70
o
E ) ta n 5   c o t 
5    90
  
F )s e n 
 
5


5


2
o
  15
o
cos 
 

2


5
 
3
10
ra d
TRIÁNGULOS NOTABLES
1
60
2
O
45
1
2
o
30 (
o
45
1
3
3
53
o
5
o
4
37 (
sen30
o
se c 4 5
o
ta n 3 0
o
sen45



o

1
2
2
1
3
1
2
x
x
o
(
ta n 6 0
o
cot 37
o
3
3
2
2


3
3
2
2


3
4
3
CALCULAR : c o t 
3 3
37
o
30
4 3
3 3
o
8
45
o

4
cot  
3 3
4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO 
H
H sen
5

H cos 
62
5 s e n6 2
o
5 cos 62
o
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L ta n 
L sec 
L

8 sec 
8 ta n 

8

o
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
L csc 
L

L cot 
k csc 24
24
o
k
o
k cot 24
o
EJEMPLO
Calcular L en términos
de m ;  y 
)
L


m
SOLUCIÓN

m

L
L  m ta n 
m
m ta n 
 cot 
L  m c o t   m ta n 
L  m ta n   m c o t 
L  m (c o t   ta n  )
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
Y
F

Fx
Fx  F c o s 
Fy
X
Fy  F se n 
ÁREA DEL TRIÁNGULO
C
S 
a
b
S 
A
c
B
ab
senC
2
bc
senA
2
ac
S 
2
se n B
EJEMPLO
S 
(5 )(8 )
2
5m
60
S 
O
8m
(5 )(8 )
2
(
s e n6 0
3
2
o
)  1 0 3m
2
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
)
)
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
EJEMPLO :
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
12k =H
12k
53
O
9k
37
o
+
16k
9k +70 = 16k
k = 10
H = 120
ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A
es N 30 o E o E 60 o N
La dirección de C respecto de A
es S 5 6 o O o O 34 o S
N
B
30
O
C
56
O
A
RUMBO
El rumbo de Q respecto de P
47
o
al oeste del norte
El rumbo de M respecto de P
o
27 al este del sur
Q
O
N
47
E
O
o
E
P
27
S
S
o
M
ROSA NÁUTICA
Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección
o
'
forma entre ellas un ángulo cuya medida es 11 15
En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables,
cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 22 o 30 '
NNO
N
NNE
NE
NO
ONO
ENE
E
O
OSO
ESE
SO
SE
SSO
S
SSE
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de
los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
N 1 4 NO
NO 1 4 N
NNO
NO 1 4 O
O 1 4 NO
N 1 4 NE
NE 1 4 N
N
NNE
NO
NE
ONO
NE 1 4 E
ENE
O
E
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones
N E1 / 4 N y N O1 / 4 O ?
Rpta. 9 0
o
E 1 4 NE
EJEMPLO :
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección
N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente
recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el
insecto de F ?
SOLUCIÓN
OBSERVA QUE EL
TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLE
45
o
24
40 2
X = 20
N
40
53
37
O
45
16
o
40
32
20
60
o
F E
o
x
16
12
S
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN
ÁNGULO AGUDO (método gráfico)

c
)

2 2
c
+

2
a
c  a
b
  
ta n   

2
b
c  a
b
EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula
tan2
SOLUCIÓN
ta n 4  
24
25
4
25
4
4
25  7
ta n 4  
ta n 4  
ta n 2  
5
3
8
7
24
2
5
3
9
24
32
3
4
ta n 2  
1
3
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