ECUACIONES
Ing. Robin Anguizaca F.
Igualdad
Es aquella que se compone de dos
expresiones numéricas unidas por el signo
igual.
Ejemplo
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
1º miembro
2º miembro
Ecuación
Es aquella que contiene en sus
miembros
letras
(incognitas)
y
números relacionados por operaciones
aritméticas. También se puede llamar
igualdad algebraica.
Ejemplo:
x+10=20-12
Definiciones
Ecuación: Igualdad que contiene variables.
Ecuación Lineal: Ecuación en la cual el
exponente de la variable es 1.
Solución de una ecuación lineal: Son los
valores de la variable que cuando se
sustituyen en una ecuación hacen cierta la
misma.
Resolver la ecuación: Es hallar el valor de la
variable que representa la solución de la
ecuación.
Propiedades de la Igualdad
Para
que una ecuación permanezca
balanceada Hay que aplicar las propiedades
de la igualdad:
Propiedad Aditiva
Propiedad Multiplicativa
Una ecuación es como
una balanza de dos
platillos…
Lo que se hace en un
lado de la ecuación hay
que hacerlo en el otro
lado para que se
mantenga la relación de
igualdad.
Si añado 2 en el
lado izquierdo
Hay que añadir 2
también, en el lado
derecho
Propiedad Aditiva
Asegura que en una igualdad al sumar una
misma cantidad en ambos lados, se obtiene el
mismo resultado.
Si
a = b,
entonces,
Ejemplo:
Dada la Ecuación
a+c=b+c
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
Propiedad Multiplicativa
Asegura que al multiplicar una misma
cantidad en ambos lados, excepto 0, se
obtiene el mismo resultado.
Si
a = b entonces
a.c=b.c
Ejemplo:
Dada la Ecuación
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
2x = 6
2 2
x=3
Consiste en poder cambiar el orden de
los miembros sin que la igualdad se
altere.
Si a - b = c, entonces c = a - b
Ejemplos:
Si
5-1 = x
entonces x = 5-1
Si
39 + 11 = 50 entonces 50 = 39 + 11
Propiedad transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un
miembro en común, los otros dos miembros
también son iguales.
Si a = c y b = c, entonces
a=b
Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
Propiedad cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden suprimir
dos elementos iguales en ambos miembros y
la igualdad no se altera.
Si a + b = c + b, entonces a = c
Ejemplos:
*Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12
*Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2
*
*
6x – 9 = 27
Se desea despejar la variable que está en el lado
izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el lado
donde está. En este ejemplo la variable x está
acompañada de la suma de 5 y la multiplicación
por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas y
después las multiplicaciones y divisiones.
6x – 9 = 27
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad
aditiva de la igualdad. Para eliminar la
multiplicación o división se aplica la propiedad
multiplicativa de la igualdad.
Se elimina una operación haciendo la operación
contraria:
Se elimina una suma restando
Se elimina una resta sumando
Se elimina una multiplicación dividiendo
Se elimina una división multiplicando.
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x + 0 = 36
6x = 36
6
6
x=6
*
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1
3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7
7x = 7
7
7
x=1
2(x – 8) = 10
2x – 16 = 10
2x = 10 + 16
2x = 26
2
2
x = 13
Pasos para resolver ecuación de
primer grado
1. Quitar paréntesis
2. Suprimir de ambos términos los
miembros iguales
3. Pasar a un miembro los términos que
contengan la incógnita, y al otro
miembro los números
4. Reducir términos semejantes
5. Despejar la incógnita.
Pasos para resolver ecuación de
primer grado
3x+4=(2x+8)-(6+x)
1. Quitar paréntesis:
3x+4=2x+8-6-x
2. Pasar la incógnita al 1º miembro:
3x-2x+x=8-6-4
3. Reducir términos semejantes:
2x=-2
4. Despejar la incógnita:
x=-1
Pasos para resolver problemas
literales de Ecuaciones
1·Leer el problema
2·Apuntar datos
3·Escribir la ecuación
4·Resolver la ecuación
5·Interpretar el resultado
6·comprobar el resultado obtenido
PROBLEMA
Paula tiene 16 años y su madre
38.¿cuántos años hace que la edad
de la madre de Paula era el triple
que la edad de su hija?
Paula:16 años // Madre:38 años //
años : x
38-x=3(16-x) // 38-x=48-x //
x+x=48-38 // 2x=10 // x=10/2=5
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para
eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones:
x–4 = x+4
3
2
2x – 4 = x + 8
3
5
En una proporción
si se multiplica
cruzado se obtiene
la misma cantidad.
Método de Proporciones
x–4 = x+4
Se multiplica
cruzado.
3
2
2 (x – 4) = 3 (x + 4)
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una
proporción.
5 - 2x = 9
3
x + 3 = 2x - 5
4
5
3
Método de No-Proporciones
Cuando no es una
proporción se
multiplica cada
término por el MCD.
5 - 2x = 9
3
5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 1
15 – 2x = 27
-2x = 27 – 15
-2x = 12
-2
-2
x = -6
Esta ecuación tiene solución infinita o la solución son
todos los Reales (que es un conjunto infinito).
Ejemplo:
2x + 1 = 5x + 1 - 3x
2x + 1 = 2x + 1
2x – 2x = 1 – 1
0=0
Enunciado cierto
Solución son todos los números Reales
Esta ecuación no tiene solución.
Ejemplo:
2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)
6x + 2 = 9x + 3 – 3x
6x + 2 = 6x + 3
6x – 6x = 3 – 2
0=1
Enunciado falso
No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.
*
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
*
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
*
x – 8 = 20
6 = 4 - 5x
x + 4 = 52
3 (x – 4) = 8
3x = 81
16 + x = 3x - 5
-5x = 45
2 (x + 1) = 7 – (x + 3)
2x + 4 = 10
6 – 4x = -12
7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5
5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)
x = 28
x = 2/-5
x = 48
x = 20/3
x = 27
x = 21/2
x = -9
x = 2/3
x=3
No tiene solución
x = 9/2
La solución es todos los Reales
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Ecuaciones Lineales