El rompecabezas de dos piezas
Material extraído de:Rompecabezas de dos piezas, de Developing geometrical reasoning in the secondary
school: outcomes of trialing teaching activities in classrooms; de Brown, M; Jones, K. y Taylor, R. 2003.
Este rompecabezas de dos piezas se hace a partir de
un cuadrado, con un corte que va desde un vértice
hasta el punto medio de un lado.
LA ELABORACIÓN DE ESTE PPT HA SIDO REALIZADA
POR ADRIANA MANRIQUE, NÉSTOR ROBERTS Y
ANA BRESSAN en el marco del
POSTÍTULO DOCENTE DE ACTUALIZACIÓN ACADÉMICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA
EL NIVEL PRIMARIO. ISFD 813. PUELO. CHUBUT
Primera parte (Trabajo en parejas). Con estas
dos piezas:
a)¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer
haciendo coincidir los lados de igual longitud?
b)¿Qué figuras son? ¿Puedes nombrarlas?
c)¿Cómo pueden asegurar que las piezas
determinan cada una de esas figuras?
d) ¿Cuál de ellas posee mayor área? ¿Y mayor
perímetro? Justifica tus apreciaciones.
(Respondan en un poster haciendo los dibujos y
dando las respuestas correspondientes)
Primera parte
1.a)¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer haciendo coincidir
los lados de igual longitud? 1.b)¿Qué figuras son? ¿Puedes
nombrarlas?
Cuadrado
Paralelogramo propiamente dicho
Trapecio isósceles
Trapezoide rectángulo
Triángulo rectángulo
Pentágono irregular convexo
Pentágono Irregular convexo
Pentágono irregular cóncavo
1. c) ¿Cómo pueden asegurar que las piezas determinan cada una
de las figuras (antes mencionadas)?
Respuestas empíricas
•
Porque utilizamos material concreto para realizar las distintas figuras.
•
Podemos asegurar que las piezas forman esas figuras porque compusimos cada una de
las figuras nombradas.
•
Se puede asegurar recortando las piezas y formando las diferentes figuras.
Explicación correcta pero sin demostración
•
Cuando cumplen con las propiedades de las figuras formadas por las piezas.
Trapecio isósceles: “tiene un par de lados paralelos llamados base”, “tiene dos lados no
paralelos iguales”
•
Polígono cóncavo: “es la región del plano delimitada por tres o más segmentos”, “tiene un
ángulo que mide 180º”, “una diagonal es exterior”.
Razonamiento deductivo:
•
Es una pentágono irregular cóncavo porque tiene 5 lados no todos iguales (tres valen lo
mismo que el lado del cuadrado original, y dos son iguales a la hipotenusa del triángulo
rectángulo original) y 5 ángulos distintos (uno recto, uno mayor que un recto pero
convexo, dos agudos distintos y un cóncavo mayor que dos rectos)
(Con trigonometría podemos sacar el valor de los ángulos agudos del triángulo rectángulo
usando la función tangente y luego calcular todos los ángulos del pentágono).
•
Es un trapecio porque es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos (porque uno es
igual a un lado del cuadrado y otro es parte de un lado opuesto al mismo) y es isósceles
porque los lados no paralelos son iguales ya que corresponden a la hipotenusa del
triángulo original.
d) ¿Cuál de ellas posee mayor área? ¿Y mayor perímetro?
Justifica tus apreciaciones.
Las figuras obtenidas tendrán todas la misma área ya que son partes
del mismo cuadrado. El ÁREA de “todas” las figuras obtenidas será de:
X²
(Dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en sumas
de polígonos respectivamente congruentes, la equivalencia es la
igualdad en áreas).
El PERÍMETRO sí será diferente, algunas figuras tendrán mayor
perímetro que otras: “las figuras de mayor perímetro serán aquellas en
las que los lados de contacto son los de menor longitud.”
Para poder calcular el perímetro de algunas figuras modelizamos, para
ello calculamos primero la medida de la hipotenusa del triángulo
rectángulo(“Y”) y lo hicimos aplicando el Teorema de Pitágoras
(triángulo rectángulo).
C²= X² + (1/2X)²

C²= X² + ¼ X²
 C²= 5/4X²  C=√5 . X
2
Comprobación del perímetro
Segunda parte:
a)¿Por qué hay solo 8 figuras?
b)¿Qué pasa si el corte va de vértice a vértice? ¿Y si el
corte va de un vértice al punto que está a 1/3 del lado?
¿Y si el corte va de un vértice al punto que está a ¼ del
lado?
c)¿Cómo obtener un trapecio isósceles?
d) El lugar en el que se hace el corte, ¿afecta el número y
el tipo de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué?
e)¿Cuál es la razón entre el área de las dos piezas en
cada una de las figuras obtenidas? Explique cómo llegó
al resultado.
f)¿Qué pasa con el área si se usa un rectángulo en que la
razón de sus lados es 1:2? ¿1:3? ¿1:n?
g)¿Qué pasa si se superpone una pieza sobre la otra?
(considerando los casos anteriores)
Segunda parte:
2.a) ¿Por qué hay solo 8 figuras?
• Hay solo 8 figuras porque los dos polígonos
en que se descompone el cuadrado original
(triángulo rectángulo escaleno y trapecio
rectángulo) tienen 4 pares de combinaciones
de lados de igual longitud. Cada par de lados de
igual longitud tiene solo dos formas posibles
de combinación distintas (anverso y reverso del
triángulo). Es por eso que las figuras distintas
que se pueden hacer haciendo coincidir los
lados de igual longitud son ocho en total.
2.b) ¿Qué pasa si el corte va de vértice a vértice?
Darían 6 figuras pero tres son coincidentes con las otras tres.
Paralelogramo propiamente
dicho
Cuadrado
Triángulo isósceles
2.b) ¿Y si el corte va de un vértice al punto que está a 1/3 del
lado?
• Si ocurre esto se
forman un
cuadrilátero (trapecio
rectángulo) y un
triángulo (rectángulo).
Las figuras posibles
de formar en este
caso son en total seis
y todas ellas son
distintas entre sí.
a
f
f”
b
e
c
d
Trapezoide rectángulo
Trapecio isósceles
Pentágono irregular convexo
Paralelogramo propiamente
dicho
Cuadrado
Pentágono irregular convexo
2.b) ¿Y si el corte va desde un vértice al punto que está a
¼ del lado?
a
f
e
f”
b
c
d
• Si ocurre esto
también se forman un
cuadrilátero (trapecio
rectángulo) y un
triángulo (rectángulo).
Las figuras posibles
de formar aquí
también son seis y
todas ellas son
distintas entre sí.
Trapecio
isósceles
Cuadrado
Paralelogramo
propiamente
dicho
Pentágono
irregular convexo
Pentágono
irregular
convexo
Trapezoide rectángulo
Conviene mirarlo
así para no
saltearse ni
repetir figuras
2.c) ¿Cómo obtener un trapecio isósceles? (Distintas respuestas)
•Con un triángulo rectángulo y un trapecio rectángulo se puede armar un
trapecio isósceles. Solo se deben colocar los ángulos rectos de ambas
piezas de manera que queden suplementarios y adyacentes, en lo que
será la base mayor de un trapecio isósceles.
•Cuando el corte que sale desde un vértice del cuadrado va hacia la
mitad, la tercera y/o la cuarta parte de un lado del mismo se generan,
como ya dijimos antes, un cuadrilátero (trapecio rectángulo) y un
triángulo (rectángulo), en estos casos ubicando de determinada forma a
ambas figuras se puede formar un trapecio isósceles. En el caso en que
el corte va de vértice a vértice como las figuras que se generan son dos
triángulos jamás se podrá armar un trapecio isósceles.
Para que se forme el trapecio isósceles, en los casos donde sí se puede
hacerlo, se debe hacer coincidir el cateto mayor del triángulo rectángulo
con el lado no paralelo perpendicular a la base del trapecio rectángulo,
de modo que el cateto menor del triángulo sea consecutivo a la base
mayor del trapecio. Cateto menor del triángulo más la base mayor del
trapecio rectángulo formarán la “base mayor” del “trapecio Isósceles”
que se origine.
• Siempre es posible obtener un trapecio isósceles con
estos cortes (menos con el que va de vértice a
vértice).Tomé el triángulo original y lo invertí tomando
como eje de simetría la extensión de la base menor;
luego lo trasladé dos veces (primero según la base
menor y luego según el lado perpendicular del trapecio
igual al cateto mayor) hasta hacer coincidir el ángulo
recto del triángulo con el del trapecio. Dado que quedan
dos ángulos adyacentes rectos, sus lados son
semirrectas opuestas, por lo tanto pertenecen a la
misma recta que será la base mayor del trapecio (por lo
tanto se mantiene el paralelismo de las bases) y cuyos
lados no paralelos son iguales a la hipotenusa del
triángulo.
(Nótese que en esta respuesta existe justificación geométrica de la figura
obtenida)
2.d) El lugar en el que se hace el corte ¿afecta el número y el tipo
de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué?
• El lugar en el que se hace el corte, afecta el número y el
tipo de figuras que se pueden hacer porque determina la
cantidad de lados congruentes que quedarán entre
ambas figuras y que por lo tanto podrán o no
superponerse (coincidir). Las posibilidades son de ocho
figuras distintas en el caso de que se una un vértice con
el punto medio del lado del cuadrado, y serán seis las
posibilidades cuando el corte salga desde un vértice y
vaya a cualquier otro punto del lado.
¿Qué movimientos del triángulo permiten transformar el cuadrado en el
trapecio?
Una simetría axial y una traslación
Simetría axial
traslación
Trapecio Isósceles
2.d) El lugar en el que se hace el corte, ¿afecta el número y el tipo
de figuras que se pueden hacer? ¿Por qué?
• Pensamos que sí, porque determina la
cantidad de lados congruentes que quedarán
entre ambas figuras y que por lo tanto podrán o
no superponerse (coincidir). Las posibilidades
son de ocho figuras distintas en el caso de que
se una un vértice con el punto medio del lado
del cuadrado, y son seis las posibilidades
cuando el corte salga desde un vértice y vaya
a cualquier otro punto del lado.
Razones entre áreas
¿Cuál es la razón entre el
área del triángulo y del
cuadrado según los
distintos cortes?
2.3)¿Cuál es la razón
entre el área de las dos
piezas en cada una de
las figuras obtenidas?
X
X/2
X
X/2
X
1 : (2n - 1)
1 : (2.2 – 1)
1 : (4 – 1)
1:3
2.f)¿Qué pasa con el área si se usa un rectángulo en que la razón
de sus lados es 1:2? ¿1:3? ¿1:n?
CORTES
ÁREA
TRIÁNGULO
ÁREA
TRAPECIO
RAZÓN ENTRE
ÁREAS
TRIÁNGULO/TRAPE
CIO
1/2
2
1/4
3/4
1/3 o 1:3
1/3
3
1/6
5/6
1/5 o 1:5
….
….
1/n
n
1/2n
(2n-1)/2n
1/(2n-1)
DISTANCIA AL
CORTE
NÚMERO DE
Conclusiones sobre la razón entre áreas en el
Rompecabezas de 2 piezas
•
No importa si es un cuadrado o un rectángulo lo que importa
son los puntos de corte.
•
No importan las dimensiones del rectángulo o del cuadrado.
Lo que importa son los puntos de corte que determinan la
cantidad de triángulos en que se dividen, y por lo tanto, sus
áreas.
•
Si el corte es de 1/n el número de triángulos será 2n.
•
Cuanto mayor es n quedarán triángulos de área menor y la
razón área triángulo/área trapecio se irá achicando (o lo que
es lo mismo, la de área trapecio/área triángulo se agrandará).
•
Cuando la razón es 1 implica que el corte va de un vértice al
vértice opuesto y quedan dos triángulos congruentes lo que
justifica ese resultado.
2.g)¿Qué pasa si se superpone una pieza sobre la otra?
(considerando los casos anteriores)
•
Las razones resultan iguales que las
que se dan en el cuadrado.
Extensión: Haz lo mismo que en la primera parte con un
rompecabezas de tres piezas, usando siempre todas las piezas.
¿Cuántas figuras distintas se pueden hacer haciendo
coincidir los lados de igual longitud?
• Nosotros pudimos armar 19 figuras distintas.
¿Cuál de ellas posee mayor área?
•Todas las figuras poseen la misma área. Dos polígonos son
equivalentes si se pueden descomponer en sumas de
polígonos respectivamente congruentes, la equivalencia es la
igualdad en áreas .
¿Cuál de ellas tiene mayor perímetro?
•Tendrán mayor perímetro aquellas figuras en donde los lados
que se contacten sean los de menor longitud
Extensión b) Si lo deseas, haz lo mismo que en la primera parte con
un rompecabezas de 5 piezas.
Contenidos que consideraron los docentes que se trabajan con el
Rompecabezas de dos piezas (Adaptado del trabajo de García-BertinettiBarría)
Primera parte:
• Relaciones espaciales de ubicación (arriba, adelante, frente, ...); de
orientación (a la izquierda, hacia abajo, …); de dirección (horizontal,
vertical, paralela, …).
• Relaciones entre rectas. Paralelas. Perpendiculares. Oblicuas.
• Figuras: elementos, propiedades que las caracterizan.
Identificación, comparación, clasificación y análisis con distintos
criterios. Dibujo y construcción. Relaciones entre perímetros y
áreas.
• Congruencias y semejanzas de figuras. Propiedades.
Representaciones a escala.
• Transformaciones isométricas: traslaciones, rotaciones y simetrías.
Segunda parte: ponen lo mismo, pero omiten Relaciones entre rectas.
Ustedes ¿Sacarían algo?
¿Agregarían algo?
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El rompecabezas de dos piezas