GEOMETRÍA EUCLIDEANA
Sesión 3
AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS
Dra. Nieves Vílchez G.
Axiomas y Teoremas Básicos
Axiomas sobre puntos, rectas y planos
Axiomas de separación del plano
Axiomas de separación del espacio
Teoremas
Definiciones a partir de axiomas y teoremas.
Definición de sistema de coordenadas
Axiomas
1. Postulado de la recta:
Dados dos puntos cualesquiera, hay exactamente una recta
que los contiene
A
B
2. Postulado sobre plano y espacio:
a) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están
alineados.
b) El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están
en un plano
Más….Axiomas
3. Postulado :
Si dos puntos están en un plano entonces la recta esta
en el mismo plano.
A
B
Mas..Axiomas
4. Postulado del Plano :
tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y
tres puntos cualesquiera no colineales están exactamente
en un plano.
5. Postulado :
Si dos planos diferentes se
cortan, su intersección es una
recta.
Axioma de separación del plano
6. Postulado :
Se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos
que no están en la recta forman dos conjuntos tales que:
a) Cada uno de los conjuntos ex convexo y
b )Si P esta en uno de los conjuntos y Q en el otro,
entonces el segmento PQ corta a la recta.
B
A
P
Q
convexo
Axioma de separación del espacio
7. Postulado : Los puntos del espacio que no
están en un plano dado forman conjuntos tales
que:
• a) cada uno de los conjuntos es convexo
• b) si R esta en uno de los conjuntos y S esta en
el otro, entonces el segmento RS intersecta al
R
plano.
H
Q
1
P
V
U
S
H2
T
Teoremas
Basados en los axiomas anteriores podemos
probar varios teoremas. Mostremos un caso y
dejamos otros para que el lector los resuelva.
Como consecuencia del Postulado del Plano:
TEOREMA: Dado una recta y un punto fuera de
ella, hay exactamente un plano que contiene a
ambos.
.
R
S
E
l
P
DEMOSTRACIÓN
Sean R y S puntos distintos de la recta l, existen
debido al Postulado 1. Consideramos entonces los
puntos R, S y P que son no colineales, pues P es
punto P fuera de la recta l .
Luego,
R, S y P por Postulado del plano, están contenidos en
un único plano, que era lo que se quería probar en
este primer teorema.
R
S
E
.
P
l
Otros teoremas….
Probar los siguientes Teoremas:
1. Si una recta intersecta a un plano que no la
contiene , entonces la intersección contiene
un solo punto.
2.
Dadas dos rectas que se intersectan, hay
exactamente un plano que las contiene.
Definiciones a partir de los axiomas
Conjunto Convexo: Un conjunto A se dice convexo , si
para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo el
segmento PQ está en A.
Dada una recta y un plano que la contiene, los dos
conjuntos determinados por el Postulado de separación
del plano, se llaman semiplanos o lados de l . Y l se
llama la arista o el borde de cada uno de ellos.
EJERCICIO: Atendiendo al Postulado de separación del
espacio define semiespacio.
Sistema de Coordenadas
Postulado de la distancia: A todo par de puntos distintos , le
corresponde un único numero AB, llamado la distancia entre A y
B.
Un Sistema de Coordenadas sobre una recta es una
correspondencia 1-1 entre los números reales y los puntos de la
recta, de manera que la distancia entre dos puntos cualquiera
el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas.
A
-2
a
B
-1
0
1
b
BA = AB = |a-b |= |b-a|
2
Ejemplos de Sistema de Coordenadas
En el siguiente ejemplo consigue la coordenada de B y de A .Y la
distancia AB.
B
A
-4
a
-2
0
2
b
4
Solución: A= - 3 y B= 3
BA = AB = |-3 -3 |= |3- (-3)|= |-6|= 6
Reflexiona sobre ejemplos de la vida real que ilustran
sistemas de coordenadas. Ejemplo: El termómetro o el
dial radial.
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