Trigonometría
Moderna
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Y SUS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
AREA DE MATEMÁTICA
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el
semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen
de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en
cualquier cuadrante del plano cartesiano.
Lado final del ángulo
en posición normal
Y
Medida del ángulo
en posición normal

o
Origen de
Coordenadas
Ángulo en el 2do
Cuadrante
x
Lado inicial del ángulo
en posición normal
También
son
llamados
∢s en
posición
canónica o
estándar.
Y
Ángulo
ubicado en el
3er
cuadrante
Medida del ángulo en
posición normal

X
Lado inicial
Y
Lado Final
Lado inicial
X

Ángulo
ubicado en el
4to
cuadrante
Lado Final
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea “  ” un ángulo trigonométrico en posición
normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0)
el radio vector de dicho punto, entonces las Razones
Trigonométricas de “  ” , se definen como sigue:
ordenada
Sen θ 

y
radiovecto r
r
abscisa
x
Cos θ 

radiovecto r
Tan θ 
ordenada
abscisa
Csc θ 

x
Ctg θ 
r
y
r
x
r
y
r
y
Sec θ 
PP x;x y; y 
x
y
x
Y

X
x
Calcula todas las R.T. de
y
1. Del gráfico:
  5 ; 12 
y
r x y
2
Como:


2
2
r    5   12 
2
2
Entonces:
2
x

r  13
Luego:
Sen  
Csc  
y

12
r
13
r
13
y

12
Cos  
Sec  
x

5
Tan  
y

12
r
13
x
5
r
13
x
5
x

5
Ctg  
y

12
2) Calcula: Sec θ  Csc θ en:
-2
-1
  2 2    1 2
r
r
θ
θ
2
Resolución.Lo primero será calcular el valor del radio vector r
Entonces: x   2 ; y   1 ; r 
Luego:
Sec θ  Csc θ
Sec θ  Csc θ

5


r
x
5
2



r
y
2 5
2
5
-2

5

-1
3 5
2
3. En el gráfico:
Calcula:

Sen   Sec 
( 4 ; 5)
( -4 ; -5)
Resolución.Trasladamos el punto (4;5) por simetría, haciendo rotaciones de
90°.
Luego:
21
21
5
41


Sen φ  Sec φ =
=
=
41
4
 4
41
4
41
Oj0 .. ESTçN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR
TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE
LAS R.T. POR CUADRANTES
θ
(x;y)
+;-
SEGUNDO
CUADRANTE
El SENO y la
CO-SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.
TERCER
CUADRANTE
La TANGENTE y la
COTANGENTE son
Positivas, las demás
Negativas.
PRIMER
CUADRANTE
Todas las Razones
Trigonométricas
son Positivas
CUARTO
CUADRANTE
El COSENO y La
SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.
ÁNGULOS CUADRANTALES
Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en
posición normal cuyo lado final coincida con cualquier
semieje del plano cartesiano. La medida de este
ángulo siempre tendrá la forma π
ó “90ºn” ; n  Z
2
n
Ejemplo:
Para diferentes valores enteros de “n”
tendríamos:
n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;
El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos
Cuadrantales y su medida.
y
(0; 1)
90º
-1; 0)
180º
270º
R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º
0; 2 /2
 3/2
sen
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
(1; 0) tg
0
N
0
N
360º
x
cot
N
0
N
0
sec
1
N -1
N
csc
N
1
N -1
(0; -1)
sen 90 º 
y
r

r
r
 1
cos 90 º 
x
r

0
r
 0
tg 90 º 
y
r

r
0
 /
Veamos unos problemitas …
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Ejemplo 1 :
Del siguiente gráfico calcular:
E 
10 sen   12 cot 
Con el par ordenado del
dato calculamos “r”:
y
E 
r2 = 12 + (-3)2 
r = 10
10 sen   12 cot 

x
10
Reemplazamos las definiciones:
E 
(1; -3)
 3 
 1 
10 . 
  12 

3
 10 
E = -3 + 4

E=1
Ejemplo 2 : Indicar el signo resultante de la siguiente
operación: E = sen130º . cos230º . tg330º
II C
E =
E =
E =
III C
IV C
sen130º . cos230º . tg330º
+
.
.
+
Ejemplo 3 : Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular
“” si: tg < 0  csc > 0
tg = csc = +
{ IIC  IVC }
{ IC  IIC }
  IIC
Ejemplo 4 : Calcular: E =
(a + b) sec360 º+(a  b) cos180 º
2
2
2 ab csc270 º
E 
 a  b 2  1   a  b 2   1
2 ab    1
E 
E 
a  b 
2
 a  b 
 2 ab
4 ab
 2 ab
E  2
2
Ejemplo 5 : Del gráfico calcular:

   
3 cos 
  sen (   )
6


E 
   
3 sen 

2



Tenemos que:     180 º
Entonces:
E 
3 cos 30 º  sen 180 º
3 sen 90 º
Por lo tanto E 
3
2
3
E 
3
0
2
3 1
Te recomiendo practicar un poco más , sé
perseverante, nada en la vida es fácil.
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