Trigonometría
Moderna
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Y SUS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Por el
Licenciado:
Ramfis Omar
Centeno Ramírez
[email protected]
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el
semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen
de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en
cualquier lugar del plano cartesiano.
Lado final del ángulo
en posición normal
Y
Medida del ángulo
en posición normal

o
Origen de
Coordenadas
Ángulo en el 2do
Cuadrante
x
Lado inicial del ángulo
en posición normal
Y
Ángulo
ubicado en el
3er
cuadrante
Medida del ángulo en
posición normal

X
Lado inicial
Y
Lado Final
Lado inicial
X

Ángulo
ubicado en el
4to
cuadrante
Lado Final
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea “  ” un ángulo trigonométrico en posición
normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0)
el radio vector de dicho punto, entonces la Razones
Trigonométricas de”  “ , se definen como sigue:
Sen θ 
Ctg θ 
y
Cos θ 
x
Tan θ 
r
r
x
x
r
r
y
Sec θ 
x
Csc θ 
P x; y 
y
y
r
y
x
Y

X
x
Calcula todas las R.T. de
y
Del gráfico:
  5 ; 12 
y
r x y
2
Como:


2
2
r    5   12 
2
2
Entonces:
2
x

r  13
Luego:
Sen  
Csc  
y

12
r
13
r
13
y

12
Cos  
Sec  
x

5
Tan  
y

12
r
13
x
5
y
13
x
5
x

5
Ctg  
y

12
2) Calcula: Sec θ  Csc θ en:
-2
-1
  2 2    1 2
r
r
θ
θ
2
Resolución.Lo primero será calcular el valor del radio vector r
Entonces: x   2 ; y   1 ; r 
Luego:
Sec θ  Csc θ
Sec θ  Csc θ

5


r
x
5
2



r
y
2 5
2
5
-2

5

-1
3 5
2
En el gráfico:
θ
( 4 ; 5)
( -4 ; -5)
Calcula: Sen φ  Sec φ
Resolución.Trasladamos el punto (4;5) por simetría, asiendo rotaciones de 90°.
Luego:
21
21
5
41


Sen φ  Sec φ =
=
=
41
4
 4
41
4
41
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Como las razones trignométricas dependen de dos cantidades
(abscisas, ordenadas y/o radio vector), nos percatamos que las
razones trigonométricas tienen un signo que se obtiene de la
combinación de los signos que poseen estas cantidades.
+;+
( x ; y)
Senθ = y : r = + : + = +
Cosθ = x : r = + : + = +
θ
Tanθ = x : r = + : + = +
Ctgθ = x : r = + : + = +
Secθ = x : r = + : + = +
Cscθ = x : r = + : + = +
-;+
( x ; y)
Senθ = y : r = - : + = Cosθ = x : r = - : + = θ
Tanθ = x : r = - : - = +
Ctgθ = x : r = - : - = +
Secθ = x : r = + : - = Senθ = y : r = + : + = +
Cscθ = x : r = + : - = -
Cosθ = x : r = - : + = -
θ
Tanθ = x : r = + : - = Ctgθ = x : r = - : + = Secθ = x : r = + : - = Cscθ = x : r = + : + = +
( x ; y)
-;-
θ
TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE
LAS R.T. POR CUADRANTES
(x;y)
+;-
Senθ = y : r = - : + = Cosθ = x : r = + : + = +
Tanθ = x : r = - : + = Ctgθ = x : r = + : - = Secθ = x : r = + : + = -
Cscθ = x : r = + : - = +
2do CUADRANTE
El SENO y el
CO-SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.
1er CUADRANTE
Todas las Razones
Trigonométricas
son Positivas
3er CUADRANTE
La TANGENTE y
La COTANGENTE
son Positivas, las
demás Negativas.
4to CUADRANTE
El
COSENO y La
SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.
ALGUNAS
APLICACIONES
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo3.html
http://www.sig.upv.es/asignaturas/gc/Vision3d.pdf
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080604174349AAhWLfs
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