Funciones.
Presentado por: Steffany Serebrenik, Hellen Kreinter y
David Castañeda
Presentado a: Patricia Cáceres
Colegio Colombo Hebreo
Grado Décimo
Área de Matemáticas
Funciones
Generalidades.
¿Qué es?
Clases
Representación
Dominio, rango, puntos de
corte con x y con y
Funciones: inyectivas,
biyectivas y sobreyectivas
Funciones pares
e impares.
Referencias de consulta.
¿Qué es una función?
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades.
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés
René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x.
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” A
uno y solo un elemento “y” B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x).
Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones:
a. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
b. Esta imagen debe ser única.
El conjunto formado por todos los
elementos de B que son imagen de algún
elemento del dominio se denomina
conjunto imagen o recorrido de f.
FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.
Verbal: como su mismo nombre lo
dice es con palabras.
Ejemplo:
P(t) es la población del mundo en el
instante t.
Algebraica: A través de una
fórmula.
Ejemplo:
X+25=y
Visual: Es decir a través de
diagramas y gráficas.
Numérica: A través de la
organización mediante tablas
Ejemplo:
Onzas
dólares
x
1
2
3
4
5 …
y
11 12 13 14 15…
Rango: conjunto formado por las imágenes.
Sea f(x) : A
B
R= {y/y
B
Punto de corte
con Y:
y R x}
El conjunto de llegada contiene los elementos
Para hallar el punto de corte
con Y, se debe reemplazar en
la función X por 0.
que son la imagen de los valores del conjunto de salida.
Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes
que debe ser igual al conjunto de salida.
B
A
Sea f(x) : A
R= {x/x x
AxRy
y
B}
conjunto de salida se llama al conjunto que
contiene los elementos del dominio de una función.
Punto de corte
con X:
Para hallar el punto de corte
con x, se debe igualar la
función a 0 y así despejar x.
Crecimiento
La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta
Y.
Ej.:
La función es decreciente, cuando al aumentar los valores de X,
disminuye Y.
Ej.:
Este tipo de función cumple la condición de que a cada valor del conjunto A (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto B (imagen) de f . Es decir, a cada elemento
del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos
o más elementos que tengan la misma imagen.
d
e
g
h
Este tipo de función se da cuando todo elemento de "Y" es la imagen de como mínimo
un elemento de "X".
d
e
g
Este tipo de función se da cuando es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Para ser
más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto
de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es
la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le
corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que
exige la función sobreyectiva.
d
e
f
h
Función par
El término función par suele referirse a una clase especial de funciones
de variable real: una función es una función par si para x se cumple la
relación:
.
f ( x)  f (  x)
Es decir es una función cuadrática o polinomica de grado par incompleta que solo
tiene c , un ejemplo de estas es:
f ( x)  x 2  1
Simétricas con respecto al eje Y.
Función Impar
Es una función donde se cumple que:
f (  x)   f ( x)
En la que para todo x perteneciente al Dominio de D
f ( x)  x 2n1  n
Simétricas con respecto al eje
de las coordenadas.
Racional
Polinómica
Exponencial
Clases de funciones.
Trigonométricas
Por Partes o a Trozos
Valor Absoluto
Logarítmica
Función Polinomica.
Función de
Grado impar.
Función
lineal.
Función
Cubica.
Función de
Grado par.
Función
Cuadrática.
Constante.
Funciones Polinómicas
Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están
definidos.
Dominio= Conjunto de Salida= IR
Conjunto de llegada=IR
Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:
Grado
Nombre
Expresión
0
función constante
y=a
función lineal
y = ax + b es un
binomio del primer
grado
función cuadrática
y = ax² + bx + c es
un trinomio del
segundo grado
1
2
3
función cúbica
Y=ax3+bx2+cx+d
Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un
número par. Está dada por la ecuación:
2n
2 n1
2 n 2
f ( x)  ax  bx
 cx
 ... dx  e
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de los máximos y mínimos que tenga la
función)
Ejemplo : f ( x)  x 2 1
Función cuadrática
Punto de corte con y= -1
Puntos de corte con x={1,-1}
Vértice= (0,-1)
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada =IR Rango=(-1,
∞)
F(x) ≥0 en x
( - ∞.-1) U (1, ∞)
F(x) ≤0 en x (-1,1)
Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un
número impar . Está dada por la ecuación:
f ( x)  ax( 2n1)  bx( 2n1)1  cx( 2n1)2  ... dx  c
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada=IR Rango =IR excepto en la lineal
constante.
Ejemplo :
f ( x)  x3  x  1
Función cúbica
Punto de corte con y= 1
Punto de corte con x=-0.7
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada =IR= Rango
F(x) ≥0 en x
( -0.7, ∞) F(x) ≤ 0 en x
(- ∞,-0.7)
Función lineal.
Lineal.
Generalidades.
Afín.
Idéntica.
Conclusiones.
Generalidades
x-y son variables
m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la
recta.
m se halla a través de la expresión:
y2  y1
m
x2  x1
CABE ANOTAR QUE :
si m > o: la función es creciente
si m < 0:la función es decreciente
si m = 0 : la función es constante
La Función lineal es una función
polinómica
f ( x)  m x  n
Dominio= Conjunto de Salida= R
Rango= R (a excepción de la constante).
Conjunto de llegada=R
Indica el punto de corte
con y Y por tanto el
desplazamiento vertical.
Lineal.
La función lineal esta definida por la ecuación:
f ( x)  m x
En esta función el punto de corte con x y con y se da en
la coordenada (0,0).
Dominio=Conjunto de salida= IR
Rango=Conjunto de llegada= IR
Afín.
La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento
vertical, esta dada por la ecuación:
EJEMPLO:
f ( x)  m x  n
Dominio= Conjunto de Salida= R
Rango=Conjunto de llegada=R
Punto de corte con y=n
y=2x+3
Constante.
La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se
relacionan con un único elemento del conjunto de llegada.
La podemos representar como una función matemática de la forma:
f ( x)  a
donde a pertenece a los números reales.
•Dominio=Conjunto de Salida= IR
•Conjunto de llegada= IR
•Rango= {a}
•Punto de corte con Y= a.
Ejemplo:
Y= 3
Idéntica.
La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le
corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto
son idénticas .
EJEMPLOS:
Esta dada por la ecuación:
f ( x)  x
Rango = Conjunto de llegada = IR
Dominio= Conjunto de salida=IR
Conclusiones.
La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín es que la
primera no tiene desplazamiento mientras que la otra sí.
 La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que
esta última cumple la condición de que para todo elemento del dominio la
imagen es la misma.
 La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica es
que en esta última la pendiente siempre es igual a 1 y en la otra puede variar.
Función Cuadrática.
Es un tipo de función polinómica que
se define mediante un polinomio de
segundo grado
y se expresa como:
2
f ( x)  ax  bx  c
Es una de las funciones mas estudiadas
en los diferentes campos, debido a sus
propiedades simétricas y a su presencia
en la naturaleza. La grafica que forma se
le da el nombre de parábola y en ella hay
un eje de simetría y un mínimo o máximo
relativo lo que indica la parte mas baja o
alta a la que llega la parábola
respectivamente.
Máximo relativo.
Mínimo relativo.
El rango es desde( –∞, hasta el máximo relativo) o desde
(mínimo relativo,
∞).
Para hallar: el mínimo y máximo relativo, el vértice y el eje de simetría
se usa la ecuación:
b
x
2a
Es importante recordar que la parábola, formada
por la función cuadrática, tiene un eje de simetría,
es decir que si se divide exactamente en dos, un
lado es el reflejo del otro lado.
El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o
también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los
diferentes métodos o usando la siguiente formula general:
 b  b 2  4ac
x
2a
 b  b 2  4ac
x
2a
Función Cúbica.
Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma:
y  ax3  bx2  cx  d
Conjunto de salida= IR=Dominio
Conjunto de llegada=IR=Rango
Función decreciente
f(-x)>f(x)
Función Creciente f(-x)<f(x)
Ejemplo:
y  3x 3  4 x 2  3x  1
Conjunto de salida=Dominio= IR
Conjunto de llegada=Rango= IR
Punto de corte con x= 0.3
Punto de corte con y= -1
F(x) > 0 en x ∈ (0.3, infinito)
F(x) < 0 en x ∈ (0.3,-infinito)
Función Racional
Una función racional tiene la forma:
P( X )
y
Q( X )
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x)
Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las
funciones racionales se construyen de polinomios,
sus graficas se ven bastante diferentes de las
graficas de funciones polinomiales.
El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto
aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se
debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos
valores, debido a que poseen asintotas.
En términos informales, una asíntota
de una función es una línea a la que
la grafica de la función se aproxima
cada vez mas cuando se va a lo
largo de esta línea.
Ejemplo Gráfico.
Para entender mejor como hallar las asíntotas es importante volver a plantear la
ecuación general:
xa
P( X )
y
Q( X )
La recta
donde a es un cero del denominador es una asíntota
vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a
a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas
verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es
cero.
yb
La recta
es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se
aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.
Asíntota
vertical x=3
2
y
x 3
Asíntota
horizontal
y=0
Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una
asíntota horizontal.
Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota
horizontal.
Para m > n, no hay asíntotas horizontales
1
y
x
Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma:
ax  b
y
cx  d
Se utiliza debido a la capacidad de desplazar,
alargar o reflejar.
Ejemplo: Grafique la función racional:
2x2  7x  4
y 2
x  x2
Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las
intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica.
Factorizar:
y
(2 x  1)(x  4)
( x  1)(x  2)
Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros
del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4.
Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0
en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección
y= 2
Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador
es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se
puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2.
Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para
saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.
y
(2 x  1)(x  4)
( x  1)(x  2)
 2
 2
( )( )
( )()
( )( )
( )( )
(  )( )
( )( )
(  )( )
(  )( )
-
+
-
+
1
1

Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador
son los mismos y
Coeficiente principal del numerador
Coeficiente principal del denominador
2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2
Por ultimo se grafica.
Asíntota inclinada y comportamiento extremo.
Si
y
P( x) es una función racional en la que el grado del numerador
Q( x)
es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la
división para expresar la función en la forma
R( x)
y  ax  b 
Q( x)
Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto
significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los
valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta
y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o
una asíntota oblicua.
Aplicaciones.
Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones
científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de
electricidad. (resistencia eléctrica)
La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación:
y  f ( x)  c
•en clase estudiaremos la forma
y  ax  b  c
Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier
numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades.
1) IaI 0
2) IabI= IaIIbI
3) Ia+bI IaI+IbI
Para todas las funciones de valor
absoluto, el conjunto de salida y el
Así por ejemplo: I2I = I-2I = 2
Dominio son reales (IR)
I2x3I = I2II3I = 6
I(-2)+3I=1
Al igual que estos, el conjunto de
I-2I+I3I =5
llegada también son los reales.
El rango varia, dependiendo hacia
donde se desprende. Este, puede ser
desde el mínimo hasta infinito, o desde
el máximo hasta menos infinito.
Es una función (donde c = 0)
Si f(x) = IxI
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
x
y
1 2 3 4 5 6 …
1 2 3 4 5 6…
F(x) > 0 en X Є IR
Dominio = conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada = IR
Rango= [ 0 , oo )
y x
y  x  10
y  x2
Si f(x) = IxI
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
Dominio = conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada = IR
Rango= [ 0 , oo )
F(x) > 0 en X Є IR
Dominio = conjunto de salida= IR
Conjunto de llegada = IR
Rango= [ 10 , oo )
Si f(x) = IxI + 10
x 1 2 3 4 5 …
y 11 12 13 14 15…
Es una función (donde c = 0)
F(x) > 0 en X Є IR
La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta
función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento
poblacional y el decaimiento radioactivo.
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x
por:
f ( x)  a
x
Donde a ≠ 0 y a≠1.
y2
x
f(x)=ax Para a>1
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞) = IR+
Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
Punto de corte con y en y = 1
Función creciente
Asíntota horizontal
y  2 x
f(x)=-ax Para a>1
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (-∞, 0) = IRConjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
Punto de corte con y en y =- 1
Función decreciente
Asíntota horizontal
reflexión de la gráfica
y  0.5
x
y  0.5
x
f(x)=-axPara 0<a<1
f(x)=ax Para 0<a<1
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, ∞) = IR+
Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
función decreciente
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0,- ∞) = IRConjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0
función creciente
A la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical
y  ax  c
Ej.:
y  2x 1
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (1, ∞)
Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=1
Función creciente
Punto de corte con y en y=2
Punto de corte con x= no
existe
A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal
x b
ya
y2
x2
Dominio= IR
Conjunto de salida=
IR
Rango= (0, ∞)
Conjunto de llegada=
IR
Asíntota en y=0
Función creciente
Punto de corte con y en y=4
Punto de corte con x= no
existe
A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a
f(x) = 2^x
g_1(x) = (1 / 2)^x
f(x) = 4^x
f(x) = (1 / 4)^x
f(x) = 6^x
f(x) = 8^x
f(x) = (1 / 6)^x
f(x) = (1 / 8)^x
f(x) = 10^x
f(x) = (1 / 10)^x
Para todas estas:
Dominio= IR
Asíntota en y=0
Conjunto de salida= IR Punto de corte con y en y=1
Rango= (0, ∞)
Punto de corte con x= no exist
Conjunto de llegada= IR
La función exponencial natural es la función exponencial:
f ( x)  e
X
Es decir con base e=2.718
Puesto que 2<e<3, la grafica de la función
exponencial natural esta entre las graficas:
y2
x
y 3
x
Toda función exponencial, con a>0 y a≠1, es una función uno a uno por la
prueba de la recta horizontal, y por lo tanto tiene una función inversa. Tal
función inversa se llama función logarítmica.
Sea a un numero con a≠1. La función logarítmica con base a, denotada por
loga, se define:
Así Logax es el
Logax=y , entonces
exponente al que se
debe elevar la base a
para dar x.
ay  x
Propiedades de los logaritmos.
Propiedad
Razón.
1. Loga1=0
Se debe elevar a a la
potencia 0 para obtener
1.
2. Logaa
Se debe elevar a a la
potencia 1 para obtener
a.
3. Se debe elevar a a la potencia x para obtener x
a
4. Logax es la potencia a la cual se debe elevara para obtener x.
El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x
El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x
Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra
base para lo que se utiliza la siguiente formula:
1.
El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.
log(AB)  log A  log B
2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números
A
log( )  log A  log B
B
3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.
log An  n log A
log A
log A 
n
n
f ( x)  log x
Conjunto de salida=Dominio=IR+
Conjunto de llegada=IR= Rango
Asíntota en x=0
Función creciente
Asíntota vertical
Para un
desplazamiento
vertical:
f ( x)  log x  n
f ( x)  log x  3
Conjunto de salida= IR
Dominio= IR+
Conjunto de llegada=Rango=Reales
Creciente
Asíntota en x=0
Asíntota vertical
Para un
desplazamiento
horizontal:
f ( x)  log(x  n)
f ( x)  log(x  3)
Conjunto de salida= IR
Dominio= (-3 , ∞)
Conjunto de llegada=Rango=Reales
Creciente
Asíntota en x=-3
Asíntota vertical
Seno
Cosecante
coseno
Funciones
Trigonométricas
Secante
Tangente
Cotangente
Generalidades
Funciones trigonométricas.
Generalidades.
a. Circulo unitario: Las propiedades del circulo unitario son muy importantes en la
definición de las funciones trigonométricas, básicamente estas propiedades son:
1. Tiene radio 1.
2. Su centro está en el origen de un plano xy.
Su ecuación es:
a.1: Numero de referencia: Sea
t un numero real. El numero de
referencia t es la distancia mas
corta a lo largo del circulo
unitario entre el punto sobre la
circunferencia determinado por
t y el eje x.
Dominios de las funciones trigonométricas.
Función.
Dominio.
Sen, Cos.
Todos los números reales.
Tan, Sec.
Todos los números reales diferentes de
para cualquier entero n.
Cot, Csc.
Todos los números reales que no sean
Cuadrante.
Funciones
positivas.
Funciones
Negativas.
1
todas
ninguna
2
sen, csc.
cos,sec,tan,cot.
3
tan,cot.
sen,csc,cos,sec.
4
cos,sec.
sen,csc,tan,cot.
Propiedades pares e impares.
El seno, la cosecante, la tangente son funciones impares, el coseno y la
secante son funciones pares.
IDENTIDADES RECIPROCAS.
FUNCIÓN SENO
Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya
fórmula es
f ( x)  senx
asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en
radianes es x.
sen  
a
b
Tabla para la gráfica de la función seno sin alteraciones (algunos ángulos notables)
X ( en grados)
y  senx
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
f ( x)  senx
Conjunto de
salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= [-1,1]
Punto de corte con x en x= nπ
Punto de corte con y = 0
Periodo=2π
Amplitud=1
Máximos en x= ((2n)π) +π/2
Mínimos en x= ((2n)π) -π/2
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL FUNCIÓN SENO
y  sen( x  n)
y  senx

y  sen ( x  )
4

y  sen ( x  )
4
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=[-1,1]
Puntos de corte con x= nπ-(π/4)
Punto de corte con y=0.7
Periodo=2π
Amplitud=1
Máximos en x= ((2n)π) + π/4
Mínimos en x= ((2n+1)π) + π/4
DESPLAZAMIENTO VERTICAL FUNCIÓN SENO
y  senx  n
y  senx
y  senx  2
y  senx  2
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=[1,3]
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y=2
Periodo=2π
Amplitud=1
Máximos y mínimos en x no
cambian
AMPLIACIÓN PERIODO FUNCIÓN SENO
y  sennx
y  senx
y  sen2 x
y  sen2 x
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=[-1,1]
Puntos de corte con x en x=n(π/2)
Punto de corte con y=0
Periodo=π
Amplitud=1
AMPLIACIÓN FUNCIÓN SENO
y  nsenx
y  senx
y  2senx
Conjunto de salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= [-2,2]
Punto de corte con x en x= nπ
Punto de corte con y = 0
Periodo=2π
Amplitud=2
Máximos y mínimos igual a la
original
Para la función coseno sin modificaciones
Dominio= IR
cos  
Rango= [-1,1]
b
c
Periodo=2
Puntos de corte con x en x=(2n  1)

2
Máximos en x =(2n)
Mínimos= (2n  1)
Amplitud= 2
f(x) = cos(x)
Desplazamiento vertical f(x) = cos(x)+ c
Ejemplo:
f(x)= cos(x)+ 1
f(x)= cos (ax) a  1
f(x)= cos(1/ 2 x)
Dominio= IR
Rango= [-1,1]
Periodo= 4
Amplitud= 1
Máximos en x = (4n)
Mínimos=((2n)  2)
Puntos de corte con x en x= (2n  1)
Dominio= IR
Rango= [0,2]
Periodo=2 

Puntos de corte con x en x= (2n  1)
2
Máximos en x = (2n)
Mínimos= (2n  1)
Amplitud= 2
f(x) = cos(2 x)
Dominio= IR
Rango= [-1,1]
Periodo= 

Puntos de corte con x en x= (2n  1)
4
Amplitud= 1
Máximos en x = n

Mínimos= (2n  1)
2
f(x)= cos (a x) a  1
Amplitud: 2
f(x) = a cos(x)
Rango= [-2,2]
f(x) = 2 cos(x)
f(x)= - cos(x)
Dominio= IR= Conjunto de salida = conjunto de llegada
Rango= [-1,1]
Periodo=2
Puntos de corte con x en
Máximos en x =(2n  1)
Mínimos=  (2n)
Amplitud= 1
x

2
(2n  1)
f(x)= cos(x  c)
f(x) = cos(x + 1)
Simplemente se desplazó “c” cantidad
a la izquierda.
Si c (+) se desplaza a la izquierda
Si c (-) se desplaza a la derecha
Cambian los puntos de corte con “x” y
con “y”, cambia la ubicación de los
máximos y mínimos
No cambia el periodo ni la amplitud ni el
dominio ni rango ni conjunto de salida ni
conjunto de llegada
Función tangente: Sea t un numero real y P(x,y) el punto
del circulo unitario determinado por t. Definimos:
La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del
ángulo cuya medida en radianes es x.
Según las relaciones trigonométricas basándonos en el triangulo rectángulo
podemos definir tangente como:
Análisis de la función tangente.
Dominio:
Rango:
Continuidad: Continua en
Período:
Creciente en:
Máximos: No tiene.
Mínimos: No tiene.
Cortes con el eje OX:
Ejemplo:
Solución: El periodo es
y un intervalo adecuado es
. Los puntos
terminales es decir los intervalos nombrados anteriormente son asíntotas
verticales. Por lo tanto graficamos, un periodo completo de la función en estos
intervalos. La grafica tiene la misma forma que la de la función tangente, pero
esta acortada horizontalmente por un factor de ½. Entonces repetimos esa parte
de la grafica a la izquierda y a la derecha.
Ejemplo obtenido del libro Precalculo de James Stewart. (pág. 438).
Función cotangente: Es la recíproca de la
tangente.
Sea t un numero real y P(x,y) el punto del circulo unitario determinado por t.
Definimos:
La función cotangente asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del
ángulo cuya medida en radianes es x.
Según las relaciones trigonométricas basándonos en el triangulo rectángulo
podemos definir cotangente como:
Análisis de la función cotangente.
Dominio:
Rango:
Continuidad: Continua en
Período:
Creciente en:
Máximos: No tiene.
Mínimos: No tiene.
Impar: cotg(-x) = cotg x
Cortes con el eje x:
Solución: Primero debemos expresar la ecuación en la forma y= a cot k (x-b)
tomando como factor a 3 de la expresión
.
Por consiguiente, la grafica es la misma que la de y= 2 cot 3x pero esta desplazada a
la derecha . El periodo de y= 2 cot 3x es
, por lo que un intervalo adecuado es
(0,
). Para obtener el intervalo correspondiente para la grafica deseada,
Desplazamos este intervalo a la derecha
y esto nos da:
Para terminar graficamos el periodo en la forma de la cotangente en el
intervalo
y repetimos la parte de la grafica a la izquierda y a la
derecha.
Ejemplo obtenido del libro Precalculo de James Stewart. (pág. 438).
Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es
f ( x)  sec x
asocia a cada número real, x, el valor de la secante del ángulo cuya
medida en radianes es x.
sec 
1
cos
Tabla para la gráfica de la función secante sin alteraciones (algunos
ángulos notables)
X ( en grados)
y  sec x
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
1
indefinido
-1
indefinido
1
indefinido
-1
indefinido
1
f ( x)  sec x
Conjunto de
salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= (IR – (-1,1))
Asíntotas en x= (2n+1)π/2
Punto de corte con x no tiene
Punto de corte con y = 1
Periodo=2π
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL FUNCIÓN SECANTE
y  sec(x  n)
y  sec x
y  sec(x   )
y  sec(x   )
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-1,1)
Asíntotas en x= (2n+1)π/2
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y=-1
Periodo=2π
DESPLAZAMIENTO VERTICAL FUNCIÓN SECANTE
y  sec x  n
y  sec x
y  sec x  2
y  sec x  2
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(1,3)
Asíntotas en x= (2n+1)π/2
Punto de corte con y=3
Periodo=2π
AMPLIACIÓN FUNCIÓN SECANTE
y  n sec x
y  sec x
y  2 sec x
y  2 sec x
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-2,2)
Asíntotas en x= (2n+1)π/2
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y=2
Periodo=2π
AMPLIACIÓN PERIODO FUNCIÓN SECANTE
y  sec nx
y  sec x
y  sec 2 x
y  sec 2 x
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-1,1)
Asíntotas en x= (2n+1)π/4
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y=1
Periodo=π
FUNCIÓN COSECANTE
Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula
es
f ( x)  csc x
asocia a cada número real, x, el valor de la cosecante del ángulo cuya medida
en radianes es x.
csc 
1
sen
Tabla para la gráfica de la función cosecante sin alteraciones
X ( en grados)
y  csc x
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
indefinido
1
indefinido
-1
indefinido
1
indefinido
-1
indefini
do
f ( x)  csc x
Conjunto de
salida=Dominio=IR
Conjunto de llegada= IR
Rango= (IR – (-1,1))
Asíntotas en x=nπ
Punto de corte con x no tiene
Punto de corte con y no tiene
Periodo=2π
Máximos=((3π/2)+(2n+1)π)
Mínimos=(π/2)+(2n+1)π
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL FUNCIÓN
COSECANTE
f ( x)  csc(x  n)
y  csc x

y  csc( x  )
4

y  csc( x  )
4
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-1,1)
Asíntotas en x= nπ-(π/4)
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y=1.4
Periodo=2π
DESPLAZAMIENTO VERTICAL FUNCIÓN COSECANTE
f ( x)  csc x  n
y  csc x
y  csc x  2
y  csc x  2
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(1,3)
Asíntotas en x=nπ
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y no tiene
Periodo=2π
AMPLIACIÓN FUNCIÓN COSECANTE
f ( x)  n csc x
y  csc x
y  2 csc x
y  2 csc x
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-2,2)
Asíntotas en x=nπ
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y no tiene
Periodo=2π
AMPLIACIÓN PERIODO FUNCIÓN COSECANTE
f ( x)  csc nx
y  csc x
y  csc 2 x
y  csc 2 x
Conjunto de salida=dominio= IR
Conjunto de llegada=IR
Rango=IR-(-1,1)
Asíntotas en x=n(π/2)
Puntos de corte con x no tiene
Punto de corte con y no tiene
Periodo=π
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren
2
Por ejemplo: f(x)=
{ 4x
Si x<2
Si x>2
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango 1= [0, ∞); Rango 2= 4
Conjunto de llegada= IR
Tiene : de (-∞,0) – decreciente
de (0, 2) – creciente
de (2, ∞) – constante
El dominio, el conjunto de salida, el rango, y el conjunto de llegada dependen
de los intervalos en que esté definida la función.
Las funciones por trozos se dividen en:
Función mantisa
Función signo
Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte
entera
f ( x)  x  E ( x)
E(x) representa la parte dentera de x
Para todas las funciones matices, centradas en el origen
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= [0, 1)
Conjunto de llegada= IR
Ejemplo
Desplazamiento horizontal
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango = [ 0, 1)
Conjunto de llegada= IR
Gráfica
Se desplazó a la izquierda 0.5
f(x) = x + 0.5 - E(x + 0.5)
Para desplazar horizontalmente, se necesita sumar o restar, a cada una de las “x”
Desplazamiento vertical
f(x) = (x + 1) - E(x)
f(x) = x - E(x) + 1
}
Desplazamiento
vertical hacia
arriba
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango = [ 1, 2)
Conjunto de llegada= IR
f(x) = x - E(x + 1)
}
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango = [ -1, 0)
Conjunto de llegada= IR
Desplazamiento
vertical hacia
abajo
}
f(x) = x - E(x - 1)
Desplazamiento
vertical hacia
arriba
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (1, 2)
Conjunto de llegada= IR
}
f(x) = (x – 1) - E(x)
f(x) = x - E(x) - 1
Desplazamiento
vertical hacia
abajo
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango = [ -1, 0)
Conjunto de llegada=
IR
Está dada por la ecuación:
f(x) sgn(x)
 1 Si x<0
Si x=0
0
1
Si x>0
{
f(x)=
Para todas las funciones signo, centradas en el origen
Dominio= IR
Para entender mejor, los intervalos en x serían: (-∞,0), (0,∞)
Conjunto de salida= IR
Rango= {-1; 0; 1)
Conjunto de llegada= IR
Ejemplo
Desplazamiento horizontal
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (0, 1)
Conjunto de llegada= IR
Gráfica
f(x) sgn(x - 1)
f(x)=
Desplazamiento vertical
f(x) = sgn(x) + 3
Dominio= IR
Conjunto de salida= IR
Rango= (2, 4)
Conjunto de llegada= IR
f(x)=
{
2
3
4
Si x<0
Si x=0
Si x>0
 1 Si x<1
Si x=1
0
1
Si x>1
{
Referencias de consulta
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080913105146AA0LLFk
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Rango
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva
http://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionpar.htm
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03300.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones
http://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Libro Precalculo, James Stewart, Sección de funciones( como representar).
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