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Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas unidas por el signo igual
e.j: 20+5=10+5+5+5
1º miembro
2º miembro
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.También
se puede llamar igualdad algebraica.
e.j: x+10=20-12
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* Ecuación:
Igualdad que contiene variables.
* Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
* Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un
lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante
(número).
*
* Solución de una ecuación lineal:
Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una
ecuación hacen cierta la misma.
* Resolver la ecuación:
Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la
ecuación.
*
*Hay que aplicar las propiedades de la
igualdad:
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad
Propiedad Aditiva
Para todo número a, b, c:
Si
a = b,
entonces,
a+c=b+c
Esta propiedad asegura que en una igualdad
al sumar una misma cantidad en ambos
lados, se obtiene el mismo resultado.
Propiedad Multiplicativa
Para todo número a, b, c, c  0:
Si
a = b,
entonces,
a.c=b.c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al
multiplicar una misma cantidad en ambos
lados, excepto 0, se obtiene el mismo
resultado.
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Establece que toda cantidad
expresión es igual a si misma.
Ejemplos:
*2a = 2a;
*7 + 8 = 7 + 8;
*x=x
o
*
Consiste en poder cambiar el orden de
los miembros sin que la igualdad se
altere.
*Ejemplos:
*Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
*Si a - b = c, entonces c = a - b
*Si x = y, entonces y = x
Enuncia que si dos igualdades tienen un
miembro en común, los otros dos miembros
también son iguales.
*Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
*Si m = n y n = p, entonces m = p
Establece que si se aumenta o disminuye la
misma cantidad en ambos miembros, la
igualdad se conserva.
*Ejemplos:
*Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
*Si a = b, entonces a + x = b + x
Dice que en una igualdad se pueden suprimir
dos elementos iguales en ambos miembros y la
igualdad no se altera.
*Ejemplos:
*Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12
*Si a + b = c + b, entonces a = c
*Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2
*
*
2x + 5 = 11
Se desea despejar la variable que está en el
lado izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el
lado donde está. En este ejemplo la variable x
está acompañada de la suma de 5 y la
multiplicación por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas
y después las multiplicaciones y divisiones.
*
2x + 5 = 11
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad
aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o
división se aplica la propiedad multiplicativa de la
igualdad.
Se elimina una operación haciendo la operación
contraria:
Se elimina una suma restando
Se elimina una resta sumando
Se elimina una multiplicación dividiendo
Se elimina una división multiplicando.
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
2x = 6
2x = 6
*
2
2
x=3
*
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x + 0 = 36
6x = 36
6
6
x=6
*
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1
3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7
7x = 7
7
7
x=1
*
2(x – 8) = 10
2x – 16 = 10
2x = 10 + 16
2x = 26
2
2
x = 13
*
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
*
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
*
*
*
3x – 7 = 14
Hay que convertir la ecuación anterior a la
ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los
lados de la ecuación, el izquierdo o el
derecho.
*
*Una ecuación es como una
balanza
de dos platillos…
Lo que se hace en un lado
de la ecuación hay que
hacerlo en el otro lado
para que se mantenga la
relación de igualdad.
*
Si añado 2 en el
lado izquierdo
Hay que añadir 2
también, en el lado
derecho
*
*
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para
eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
*
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones:
x–4 = x+4
3
2
2x – 4 = x + 8
3
5
En una proporción
si se multiplica
cruzado se obtiene
la misma cantidad.
Método de Proporciones
x–4 = x+4
3
2
2 (x – 4) = 3 (x + 4)
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Se multiplica
cruzado.
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una
proporción.
5 - 2x = 9
3
x + 3 = 2x - 5
4
5
3
Método de No-Proporciones
5 - 2x = 9
3
5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 1
Cuando no es una
15 – 2x = 27 proporción se
-2x = 27 – 15 multiplica cada
término por el MCD.
-2x = 12
-2
-2
x = -6
*
Ecuación Condicional
Ecuación que tiene una sola solución
(Como todas las anteriores)
Hay ecuaciones especiales que no son
condicionales. Veamos...
*
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Ecuación Identidad
La solución es infinita o la solución son todos
los Reales (que es un conjunto infinito).
Ecuación Inconsistente
No tiene solución.
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Ecuación Identidad
2x + 1 = 5x + 1 - 3x
2x + 1 = 2x + 1
2x – 2x = 1 – 1
0=0
Enunciado cierto
Solución son todos los números Reales
Ecuación Inconsistente
2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)
6x + 2 = 9x + 3 – 3x
6x + 2 = 6x + 3
6x – 6x = 3 – 2
0=1
Enunciado falso
No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.
*
x – 8 = 20
6 = 4 - 5x
x + 4 = 52
3 (x – 4) = 8
3x = 81
16 + x = 3x - 5
-5x = 45
2 (x + 1) = 7 – (x + 3)
2x + 4 = 10
6 – 4x = -12
7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5
5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)
x = 28
x = 2/-5
x = 48
x = 20/3
x = 27
x = 21/2
x = -9
x = 2/3
x=3
No tiene solución
x = 9/2
La solución es todos los Reales
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Ecuaciones Lineales